Page 1 HAMBURAN COMPTON DALAM KERANGKA

HAMBURAN COMPTON DALAM KERANGKA ELEKTRODINAMIKA
KUANTUM
Erika Rani
Agus Purwanto
Jurusan Fisika, Universitas Islam Negeri Malang
Jurusan Fisika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya 60111
Abstrak
Telah dikaji secara analitis hamburan Compton dalam elektrodinamika kuantum pada orde
terendah. Hubungan komutasi waktu bebas memberikan propagator bagi partikel bersangkutan. Hubungan
komutasi dimungkinkan setelah solusi persamaan gerak terkait diekspresikan Fourier dengan koefisienn
berupa operator kreasi dan anihilasi. Ekspansi ini lebih lanjut memungkinkan representasi diagram feynman
bagi interaksi elektron, positron dan foton. Dalam representasi diagram ini diperlihatkan bahwa hamburan
Compton secara mikroskopik mempunyai dua proses kreasi-anihilasi yang berlainan meskipun secara
makroskopik tampak sama.
Kata Kunci : elektrodinamika kuantum, matrik S, diagram Feynman
1. Pendahuluan
Konsep foton sebagai bentuk kuanta medan elektromagnetik telah diperkenalkan diawal abad
XX. Pada tahun 1900 Planck mempostulatkan bahwa proses emisi dan radiasi atom terjadi
dalam bentuk kuanta. Pada tahun 1905 Einstein memberikan interpretasi dari analisa statistik
hukum radiasi Planck dan efek fotolistrik, Einstein menyimpulkan bahwa radiasi
elektromagnet itu sendiri merupakan medan terkuantisasi, yakni sebagai foton. Eksperimen
Compton menguatkan gagasan tentang foton ini dengan memberikan kuantitas momentum
sebagai partikel klasik. Hamburan Compton digambarkan dengan proses tumbukan foton
dengan elektron yang dianggap diam. Dalam tumbukan ini foton dapat dipandang sebagai
partikel yang kehilangan sejumlah energi yang besarnya sama dengan energi kinetik yang
diterima oleh elektron.
Seiring dengan berkembangnya teori kuantum, hamburan Compton ditinjau ulang dalam
kerangka mikroskopis. Hamburan Compton ini dikaji dalam kerangka elektrodinamika
kuantum untuk mendapatkan fenomena ini secara mikroskopis.
Didalam bagian 2 dipaparkan kaidah-kaidah elektrodinamika kuantum. Bagian 3
dipaparkan Matrik S yang mana merupakan operator hamburan dari suatu interaksi dan
dihitung pula matrik S dari hamburan Compton. Kesimpulan diberikan pada bagian 4
2. Elektrodinamika Kuantum
Peralihan dari klasik ke kuantum secara sederhana dilakukan dengan operatorisasi kuantitas
energi dan momentum

t
p  i
E  i
(2.1)
Erika rani, M..Si adalah Dosen Jurusan Fisika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri
(UIN) Malang
Agus Purwanto, Guru Besar Jurusan Fisika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya 60111
Hal yang perlu dicatat dalam peralihan di atas adalah peralihan tersebut berlaku bagi
partikel bebas.
Untuk partikel bermuatan listrik yang berada di dalam ruang bermedan elektromagnetik
harus mengalami penyesuaian. Di dalam perumusan klasik Hamiltonian bila partikel dikenai
medan elektromagnetik dengan potensial skalar  (x) dan potensial skalar A (x) , maka energi
dan momentum berubah menjadi
E  i

 q
t
p  i 
(2.2)
q
A
c
Untuk elektron, q = -e
E  i

 e
t
(2.3)
p  i 
e
A
c
Bentuk vektor potensial-4 A (x) diberikan oleh A = ( , A) dan operator derivatif

  
x
Kehadiran medan elektromagnetik menimbulkan perubahan pada operator derivatif,
yakni



q
=



0
x
ct
ct ic
 iq
=

ct c
(2.4)
dan

x i
=
=

q i

A
i
cx ic

iq i

A
i
cx c

ie

Ai
i
cx c

Peralihan di atas secara kompak diberikan oleh
 

 D
x 
=  
iq
A ( x)
c
(2.5)
yang mana lebih dikenal sebagai turunan kovarian. Tambahan A di dalam turunan kovarian
di atas yang memungkinkan terjadinya inetaraksi medan listrik-magnet dan elektron. Hal ini
dapat dilakukan sebagai berikut. Persamaan Dirac bebas yang merepresentasikan medan
fermion dinyatakan dengan
i 
 ( x)
 mc ( x) = 0
x 
(2.6)
dimana  0 =  ,  i =  , i = 1,2,3 merupakan matrik 4 4 , dan kondisi hermitian
 0† =  0 dan  j † =  j untuk j=1,2,3.
Di dalam kehadiran medan elektromagnetik, persamaan Dirac juga mengalami peralihan
yaitu
 
ie
e
mc 
 mc 

 i   
A  
 =  i       A 
 = 0
c   
c
 



atau
mc 
 
 i   

 

= 
e 
 A
c
(2.7)
Persamaan gerak di atas dapat diperoleh dari rapat Lagrangian
ie


L = c ( x) i  (  
A )  mc  ( x)
c



= c ( x)(i    mc) ( x)  e ( x)  ( x) A ( x)
= L0  L I
(2.8)
dengan  0 adalah rapat Lagrangian bebas
0
= c ( x)(i     mc) ( x)
(2.9)
dan  I adalah rapat Lagrangian interaksi
I
= e ( x)  A ( x) ( x)
Lagrangian interaksi inilah yang akan menentukan
elektromagnetik yang akan kita bahas pada bagian 3.
(2.10)
semua
variasi
interaksi
3. Matrik S
3.1. Gambaran Interaksi
Jika kita punya partikel yang merambat dengan keadaan awal i dan berinteraksi dengan
partikel lain yang memiliki beda potensial tertentu kemudian mengalami hamburan dengan
keadaan akhir
f , maka keadaan awal partikel | i
akan mengalami perubahan setelah
interaksi, dan menghasilkan keadaan akhir partikel | f .
Untuk menghubungkan antara | i dan | f , maka diperkenalkan suatu ide tentang matrik S
atau operator hamburan. Keadaan ini dapat dituliskan
(3.1)
| f = S| i
Jika didefinisikan
|i
= |  ()
|f
= |  ( )
(3.2)
maka persamaan (3.1) dapat juga dituliskan
|  () = S |  ()
(3.3)
Probabilitas transisi setelah interaksi dinyatakan dengan | f |  () |2
dimana
f|
menggambarkan variasi bentuk keadaan akhir. dan |  () menggambarkan semua keadaan
yang mungkin.
Bila terjadi perubahan pada keadaan akhir, maka densitas Lagrangian  keadaan akhir
adalah
 = 0   I
(3.4)
dimana
L0
=
LI
=
=
 
N  S ( x) A

N  ( x ) i     m  ( x ) 


( x)



1
 A ( x)  A  ( x) 
2

 ( x) ( x)
N e ( x) A
(3.5a)
(3.5b)
sedangkan Hamiltonian sistemnya
H = H0  H I
(3.6)
Dalam gambaran interaksi, medan interaksi memenuhi hubungan komutasi dan anti
komutasi sebagai medan bebas. Untuk menunjukkan bahwa gambaran interaksi identik dengan
medan bebas, kita memisalkan suatu notasi skalar yang memenuhi hubungan komutasi sebagai
berikut
 I (x, t ),  I (x, t )
= U  † (t  t 0 ) H (x, t )U (t  t 0 ),U  † (t  t 0 ) H (x , t )U (t  t 0 )


= U  † (t  t 0 )  H (x, t ),  H (x, t ) U (t  t 0 )
= U  † (t  t 0 )i 3 (x  x )U (t  t 0 )
= i 3 (x  x ).
(3.7)
dimana U merupakan operator uniter yang dinyatakan dengan
U  U (t , t0 ) = e
 iH ( t t0
(3.8)
)
Pers. (3.7) menunjukkan bahwa kuantisasi kedua dari medan skalar dalam gambaran
interaksi identik dengan kasus medan bebas.
Dalam gambaran interaksi, sistem digambarkan dengan vektor keadaan gayut waktu
|  (t ) . Jika keadaan awal didefinisikan | i pada t = ti adalah
|  (ti ) = i
(3.9)
Untuk menghitung matrik S, kita harus menyelesaikan persamaan gerak vektor dalam
gambaran interaksi, yakni
d
|  (t )
dt
|  (t1 )
| (t0 ) |  (t )
t
=  i  1 H I |  (t ) dt
|  (t1 )
t
= |  (t 0 )  (i )  1 H I |  (t ) dt
= H I |  (t )
i
t0
t0
(3.10)
untuk t0 = 
|  (t1 )
t
= |  ()  (i )  1 dtH I |  (t )

(3.11)
Dengan menukar indeks t  t1
t
= |  ()  (i )  dt1 H I (t1 )|  (t1 )
|  (t )

(3.12)
Deret gangguan ini memiliki solusi yang berulang-ulang. Hasil dari solusi ini adalah
deret H I , yang mana hanya akan berfungsi jika interaksi kecil. Solusi persamaan (3.12)
adalah
|  (t )

t
t
t


= 1  (i )  dt1 H I (t1 )  (i ) 2  1 dt1  1 dt 2 H 1 (t1 ) H I (t 2 )

t1
t1
t3



 (i ) 3  dt1  dt 2  dt 3 H 1 (t1 ) H I (t 2 ) H I (t 3 )  
 (i )
n
dt1  dt 2   n 1dt n H 1 (t1 ) H I (t 2 )  H I (t n )| i
t1
t



t
t
t




t1
 (i ) n 1  1 dt1  1 dt 2   ndt n 1 H 1 (t1 ) H I (t 2 )  H I (t n 1 )|  (t n 1 )
(3.14)
Untuk n   mengakibat suku terakhir dari rumusan di atas dapat diabaikan. Oleh
karena itu bentuk matrik S menjadi

(3.15)
S = (i ) n  1 dt1  1 dt 2   n 1dt n H 1 (t1 ) H I (t 2 )  H I (t n )



0
Pers. (3.15) dapatn =digeneralisasi
dengan mengoperasikan kali runut waktu T {} dari
faktor ke-n, dan didapatkan
t
t
t
(i ) n
 d1x d 4 x 2  d 4 x nT H I ( x1 )H I ( x 2 ) H I ( x n )


n
!
n=0

S
=
(3.16)
Pers. (3.16) dikenal sebagai ekspansi Dyson. Untuk menyederhanakan Pers. (3.16)
adalah dengan menerapkan teorema Wick
4. Hamburan Compton
Interaksi foton dan elektron dalam hamburan Compton digambarkan sebagai berikut
e    e  
(4.1)
Keadaan awal | i dan keadaan akhir | f diberikan
|i
=
| f
| e p, k
(4.2)
| e p, k 
=
dimana | i menggambarkan satu elektron dengan momentum p (dan spin s=1,2)ditambah satu
foton dengan momentum k (dan polarisasi r'=1,2), dan | f menggambarkan satu elektron
dengan momentum p' (dan spin s'=1,2) ditambah satu foton dengan momentum k' (dan
polarisasi r'=1,2).
Matrik S untuk hamburan Compton
S (2)

=  e 2 d 4 x1 d 4 x 2 N  A x  A x
1
2

(4.3)
dimana

=    

=   
A =

A  A
yang berturut-turut merupakan   (  ),  (  ), A ( A ) operator anihilasi (kreasi) untuk
elektron, positron dan foton.
Pada matrik di atas yang menyebabkan hamburan Compton adalah
(2)
S Compton
= S a  Sb
(4.4)
dimana

N 
  A  
A    A  
Sa
=  e 2 d 4 x1 d 4 x 2 N   A 
Sb
=  e d x1 d x 2
2
4
4



x1

x2


x1
x2


(4.5)
(4.6)
Transisi matrik S dapat dituliskan sebagai berikut
1
f S
(2)
a
i
=
1
 m 2  1 2  m
 
 
(2 ) 4  4 ( p  p   k  k )
 VE    2V    VE
k  
p
 p  

1
2  1
 
  2V
k
 



1
2


M a

(4.7)
dengan
 a = e 2 u (p) (k )iS F ( p  k ) (k )u (p)
(4.8)
Selanjutnya  dikenal sebagai amplitudo Feynman. Representasi diagram Feynman
untuk transisi matrik S a diberikan
Gambar. 4.1. Hamburan Compton dengan kontribusi matrik S a (x).
Sedangkan untuk transisi matrik S b
f S b(2) i
=
 m
(2 ) 4 ( p  k  p   k )
 VE
 p

dimana
 b = e 2 u (p) (k )iS F ( p  k ) (k )u (p)
Representasi diagram Feynman-nya adalah




1
2
 m 


 VE  
p


1
2
 1

 2V k
1
1

2  1 2 
 
 Mb
  2V k   

(4.9)
(4.10)
Gambar. 4.2 Hamburan Compton dengan kontribusi matrik S b (x )
Perhitungan trasisi matrik di atas dapat dilakukan dengan menerapkan kaidah diagram
Feynman dalam ruang momentum(apendiks A).
5. Kesimpulan
Hamburan Compton telah diilustrasikan dengan menggunakan diagram Feynman. Dalam hal
ini, perbedaan diagram hamburan Compton menurut mekanika kuantum dan medan kuantum,
yakni pada proses internalnya. Ternyata secara mikroskopik hamburan Compton memberikan
dua bentuk diagram yang mana secara makroskopik proses ini tak terdeteksi; yakni: pertama,
elektron mengabsorsi foton kemudian elektron berpropagasi selanjutnya menghamburkan
elektron dan foton. Kedua, elektron teranihilasi pada suatu titik lalu menghamburkan foton
dan elektron baru berpropagasi pada satu titik lain kemudian mengabsorbsi foton selanjutnya
menghamburkan elektron. Sedangkan persamaannya hamburan Compton menurut mekanika
kuantum dan medan kuantum yakni, teramatinya hamburan elektron dan foton setelah
berinteraksi
6. Referensi
[1] Rani, E. Medan Terkuantisasi Dan Terapannya Dalam Hamburan Compton, Jurusan
Fisika, ITS Surabaya, 2004.
[2] Mandl. F and Shaw. G, Quantum Field Theory, John Wiley and Sons, New York, 1984.
[3] Beiser.A, Konsep Fisika Modern ed. 4, Erlangga, Jakarta. 1987
[4] Gunion. J and Davis.U.C, "Class Notes Quantum Field Theory", 230A, U.C. Davis, Fall.
2002
7. Ucapan terimakasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Eny Latifah MSi atas ide-ide selama
penelitian.
Appendix
A. Diagram Feynman Dalam Ruang Momentum
Perhitungan elemen matrik, dengan | i dan | f merupakan keadaan eigen momentum
partikel yang dinyatakan dengan transformasi Fourier. Ekspansi Fourier dari medan Dirac dan
medan Foton ada
 ( x)

 ( x)

 ( x)

 ( x)

1/2
=
 m



rp  VEp

 cr (p)U r (p)e ipx


=
 m



rp  VEp

 d r† (p)Vr (p)e ipx


=
 m



rp  VEp

 d r (p)Vr (p)e ipx


=
 m



rp  VEp

 cr† (p)U r (p)e ipx


1/2
1/2
1/2
1/2
A  ( x)
=
 1


rk  2Vk

  r (k ) ar (k )e ikx

A  ( x)
=
 1


rk  2Vk

  r (k ) ar† (k )e ikx

1/2
dengan U r (p), U r (p), Vr (p) , dan Vr (p ) merupakan konstanta spinor dari empat solusi
persamaan Dirac.
Propagator untuk fermion dan foton
 ( x1 ) ( x2 ) = iS F ( x1  x2 )
1
ip ( x  x )
=
d 4 pe 1 2
4 
(2 )
pm
i 2  2
p  m  i
1
ip ( x  x )
=
d 4 piS F ( p)e 1 2
4 
(2 )
A ( x1 ) A ( x2 ) = iDF ( x1  x2 )
 ig
1
d 4 k 2  e ikx
4 
(2 )
k  i
1
=
d 4 kDF (k )e ikx
(2 ) 4 
=
dimana
S F ( p) = i
DF (k ) =
p  m
p  m 2  i
 ig
2
k 2  i
Dengan menggunakan antikomutator untuk operator kreasi dan anihilasi, operator
positif pada matrik S untuk partikel tunggal adalah sebagai berikut
1/2
 ( x)| e , p, r
 m 
 U r (p)e ipx | o
= 
 VE 
 p
 ( x)| e , p, r
 m 
 V (p)e ipx | o
= 
 VE  r
 p


1/2


 1
= 
sk   2Vk
A ( x)| k

  ( x)| 0
1/2
 
  s (k )e ikx | 0

=   ( x)| 0 = A ( x)| 0 = 0
Keadaan untuk satu elektron, satu positron dan satu foton dinyatakan dengan
| e  , p, s
= cr† (p)| 0
| e  , p, s
= d r† (p)| 0
|  , k, r
= ar† (p)| 0
B. Kaidah Feynman Untuk Elektrodinamika Kuantum
Amplitudo Feynman  diberikan

 = 
(n)
n =1
dengan  (n) merupakan orde ke-n dari ekspansi matrik S.
Kontribusi untuk  (n) pada setiap gambar ditentukan oleh kaidah-kaidah Feynman di
bawah ini :
- Pada setiap vertex, dituliskan faktor
ie 
-
Garis internal foton diberi label dengan momentum k,
iDF (k ) = i
ab
-
Garis internal fermion dituliskan dengan momentum p,
iS F ( p) = i
-
 g ab
k 2  i
1
p  m  i
Untuk garis eksternal
a. elektron awal : u r (p )
b. elektron akhir : u r (p )
c. positron awal :  r (p)
d. positron akhir :  r (p)
e. foton awal :  r (k )
f. foton akhir :  r (k )
-
untuk loop fermion tertutup, digunakan trace dan dikalikan dengan faktor (-1)