bab i pendahuluan

BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Suatu himpunan E yang dilengkapi dengan operasi biner ⊕ akan membentuk struktur semigrup apabila operasi tersebut bersifat asosiatif. Apabila memiliki
elemen netral, maka E disebut monoid. Lebih lanjut, jika setiap elemennya mempunyai invers terhadap operasi ⊕, maka disebut grup. Selain dapat dilengkapi dengan operasi biner, suatu himpunan E juga dapat dilengkapi dengan relasi biner
ataupun keduanya secara bersama-sama. E disebut himpunan terurut apabila relasi
biner yang melengkapinya merupakan relasi urutan, yaitu memenuhi sifat refleksif,
transitif, dan anti-simetris. Didefinisikan suatu relasi biner ≤ pada (E, ⊕) sebagai
berikut: ∀a, b ∈ E, a ≤ b ⇔ ∃c, b = a ⊕ c. Himpunan (E, ≤) disebut himpunan
terurut secara kanonik apabila relasi ≤ tersebut memenuhi sifat-sifat relasi urutan
di dalam E. Di dalam himpunan terurut E dapat didefinisikan pengertian titik-tetap
suatu fungsi, yaitu elemen x ∈ E yang memenuhi x = f (x) untuk suatu fungsi
non-decreasing f dari E ke E. Persamaan linear tipe-titik tetap di dalam himpunan terurut adalah persamaan linear yang berbentuk x = f (x) dengan f : E → E
fungsi non-decreasing.
Diberikan sebarang monoid (E, ⊕) yang memuat paling sedikit dua elemen.
Jika (E, ⊕) merupakan suatu grup, maka (E, ⊕) bukan merupakan monoid yang
terurut secara kanonik. Sifat inilah yang mendorong munculnya definisi dari suatu
dioid. Berdasarkan sifat tersebut, maka di dalam suatu semiring (E, ⊕, ⊗) yang disertai relasi biner ≤ dengan definisi seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, jika
(E, ⊕) merupakan suatu grup, maka (E, ⊕, ⊗) membentuk struktur ring, sedangkan
jika (E, ⊕) merupakan monoid yang terurut secara kanonik, maka (E, ⊕, ⊗) disebut dioid. Selanjutnya, didefinisikan suatu dioid topologis, yaitu suatu dioid yang
1
2
dilengkapi dengan topologi, di mana dalam skripsi ini digunakan sup-topologi.
Diberikan dioid topologis (E, ⊕, ⊗). Persamaan linear tipe titik-tetap di
dalam dioid (E, ⊕, ⊗) dinyatakan dalam bentuk x = a ⊗ x ⊕ b dan x = x ⊗ a ⊕ b
dengan a dan b dua buah elemen di dalam E. Himpunan berhingga dari persamaanpersamaan linear disebut sistem linear. Sistem linear tipe titik-tetap di dalam dioid
(E, ⊕, ⊗) dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
Y =Y ⊗A⊕B
dan
Z =A⊗Z ⊕C
dengan A ∈ Mn (E), B ∈ E m×n , C ∈ E n×m (1 ≤ m ≤ n)). Dari sini muncul
pertanyaan bagaimana cara menyelesaikannya, seperti apa solusinya, apa saja sifatsifat dari solusi tersebut, dan sebagainya. Selanjutnya diketahui bahwa ternyata
suatu graf G(A) dapat berasosiasi dengan suatu matriks A ∈ Mn (E). Sebaliknya,
setiap matriks A ∈ Mn (E) dapat dipandang sebagai (generalisasi) matriks ikatan
dari suatu graf G(A). Dari sini muncul pertanyaan apakah sistem linear tipe titiktetap di dalam dioid ini dapat diaplikasikan untuk mennyelesaikan permasalahan
yang berkaitan dengan graf G(A) dan seperti apa interpretasinya. Hal inilah yang
melatar-belakangi penulisan skripsi ini. Di dalam skripsi ini akan dibahas mengenai
hal-hal tersebut, mulai dari bagaimana menyelesaikan sistem linear tipe titik-tetap
sampai dengan aplikasinya untuk menyelesaikan masalah lintasan terpendek di dalam teori graf.
1.2. Perumusan Masalah
Dari latar belakang yang sudah diuraikan pada subbab sebelumnya muncul
masalah-masalah yang selanjutnya akan dibahas di dalam skripsi ini. Masalahmasalah tersebut dirumuskan sebagai berikut:
1. Seperti apakah sistem linear tipe titik-tetap di dalam dioid topologis dan bagaimana mencari solusi dari sistem linear tersebut?.
3
2. Bagaimanakah eksistensi, minimalitas, serta sifat-sifat yang dimiliki oleh solusi dari suatu sistem linear tipe titik-tetap di dalam dioid topologis?.
3. Mengapa sistem linear tersebut dikerjakan di dalam dioid topologis dan apa
pengaruhnya?.
4. Untuk apakah kegunaan sistem linear tersebut di dalam teori graf dan seperti
apa pengaplikasiannya?.
1.3. Tujuan dan Manfaat Penelitian
Penulisan skripsi ini ditujukan untuk memenuhi salah satu syarat guna mendapatkan gelar Sarjana Sains di Program Studi S-1 Matematika Universitas Gadjah
Mada. Selain itu, tujuan penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
1. Dapat mengetahui dan memahami sistem linear tipe titik-tetap di dalam dioid
topologis serta mengetahui cara mencari solusinya.
2. Dapat memastikan eksistensi, menunjukkan minimalitas, serta mengetahui
sifat-sifat dari solusi sistem linear tipe titik-tetap di dalam dioid topologis.
3. Dapat mengetahui maksud dan tujuan sistem linear tersebut dikerjakan di dalam dioid topologis serta mengetahui pengaruh yang ditimbulkan.
4. Dapat mengetahui kegunaan sistem linear tersebut di dalam teori graf serta
mengetahui cara mengaplikasikannya.
1.4. Tinjauan Pustaka
Penulisan skripsi ini secara keseluruhan mengacu pada buku karangan Michel Gondran dan Michel Minoux (2008) yang berjudul Graphs, Dioids and Semirings : New Models and Algorithms sebagai literatur utama. Pada dasar teori yang
berisi definisi, proposisi, teorema, serta contoh-contoh mengenai struktur aljabar
sampai pada pengertian dioid topologis juga diambil dari buku tersebut, serta sebagai tambahan dari buku Fundamental of Abstract Algebra karangan D.S. Malik,
4
John N. Mordeson, M.K Sen (1997) dan buku A First Course in Abstract Algebra
karangan J.B. Fraleigh (2002).
Pembahasan mengenai graf yang berasosiasi dengan suatu matriks banyak
mengambil dari buku Graphs and Algorithms karangan Michel Gondran dan Michel
Minoux (1984) serta jurnal karangan Gunter Rote (1989) yang berjudul Path Problems in Graphs. Untuk menambah pengetahuan tentang teori graf, penulis menggunakan buku Introduction to Graph Theory karangan R.J. Wilson (1972) meskipun
ada perbedaan dalam penggunaan istilah, sehingga harus disesuaikan dengan literatur utama. Teorema tentang eksistensi dan minimalitas solusi sistem linear tipe
titik-tetap diambil dari jurnal An Algebra for Network Routing Problems karangan
B.A. Carre (1971) serta Algebre Lineaire et Cheminement dans un Graphe karangan Michel Gondran (1975) dan Structures Algebriques Generalisees des Problemes
de Cheminement dans Les Graphes karangan Michel Minoux (1976) yang ditulis
dalam bahasa Prancis, tetapi telah diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris pada literatur utama. Penerapan sistem linear tipe titik-tetap untuk menyelesaikan masalah
lintasan terpendek dengan menggunakan algoritma Bellman diambil dari jurnal On
A Routing Problem karangan Richard Bellman (1958). Oleh karena pembahasan
sistem linear tersebut banyak menggunakan operasi matriks, maka penulis menggunakan buku Elementary Linear Algebra with Applications karangan Howard Anton
dan Chris Rorres (2000) untuk menambah pemahaman.
1.5. Metode Penelitian
Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan skripsi ini adalah dengan melakukan studi literatur terkait dengan materi-materi yang diperlukan. Penulis menggunakan litartur utama dari sebuah buku karangan Michel Gondran dan
Michel Minoux (2008) yang berjudul Graphs, Dioids and Semirings : New Models
and Algorithms ditambah dengan literatur-literatur lain, baik berupa buku maupun
jurnal internasional, untuk mendukung dan melengkapi materi yang dibutuhkan.
Literatur-literatur tersebut didapatkan dari dosen pembimbing, perpustakaan, maupun internet. Selanjutnya penulis mempelajari dan mengkaji literatur-literatur terse-
5
but, kemudian didiskusikan dan dipresentasikan di depan dosen pembimbing. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Memberikan pengertian serta sifat-sifat dioid topologis.
2. Menyelesaikan persamaan linear tipe titik-tetap beserta sifat-sifat solusinya.
3. Memperluas konsep persamaan linear tipe titik-tetap ke dalam bentuk sistem
linear tipe titik-tetap, termasuk cara penyelesaian dan sifat-sifat solusinya.
4. Memberikan hubungan antara suatu matriks anggota Mn (E) dengan suatu
graf.
5. Memberikan aplikasi sistem linear tipe titik-tetap di dalam dioid topologis
untuk menyelesaikan masalah lintasan terpendek di dalam teori graf.
1.6. Sistematika Penulisan
Di dalam karya tulis ini, penulis menggunakan sistematika penulisan sebagai berikut.
BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas tentang latar belakang masalah, perumusan masalah, maksud
dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, serta sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Pada bab ini diberikan definisi, teorema, proposisi, serta contoh-contoh yang menjadi dasar pembahasan pada bab selanjutnya.
BAB III SISTEM LINEAR TIPE TITIK-TETAP DI DALAM DIOID
Pada bab ini dibahas tentang bagaimana menyelesaikan persamaan dan sistem linear
tipe titik-tetap di dalam dioid, eksistensi dan minimalitas solusi, serta penerapannya
di dalam menyelesaikan masalah lintasan terpendek.
BAB IV PENUTUP
Pada bab ini diberikan kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan pada bab sebelumnya serta saran-saran untuk pengembangan materi atau penelitian lebih lanjut.