BAB III TEOREMA GLEASON DAN t

BAB III
TEOREMA GLEASON DAN t-DESAIN
Dalam subbab 3.1, kita akan mempelajari salah satu sifat penting dari kode swa-dual
genap. Sifat tersebut diberikan oleh Teorema 3.1(Teorema Gleason), Teorema ini secara
mengesankan telah menentukan bentuk pencacah bobot dari sebarang kode swa-dual genap.
Di samping itu, pada subbab 3.2 kita akan mempelajari teori t-desain. Kemudian kita
tunjukan bahwa untuk sebarang kode linier C, jika banyaknya bobot tak nol pada C kurang
dari atau sama dengan jarak minimum pada kode dual 𝐶 ⊥ , maka setiap katakode di C
membentuk t-desain.
Dua hasil yang disebutkan di atas merupakan dua hal penting yang akan digunakan
dalam menentukan batas atas bagi jarak minimum kode swa-dual genap. Penentuan batas atas
tersebut dibahas pada bab IV.
3.1 Teorema Gleason
Teorema 3.1.1 Teorema Gleason(Gleason, 1970). Pencacah bobot sebarang kode swa-dual
genap
merupakan
polinom
dalam
𝑊1 𝑥, 𝑦 = 𝑥 8 + 14𝑥 4 𝑦 4 + 𝑦 8
dan
𝑊2 𝑥, 𝑦 =
n
, serta setiap
𝑥 4𝑦4 𝑥 4 − 𝑦4 4.
Bukti: Misal 𝐶 kode swa-dual biner dengan panjang n dan dimensi k 
2
bobot dari semua kata kode di C merupakan kelipatan 4. Misalkan WC  x, y  adalah
pencacah bobot kode swa-dual tersebut, karena C
swa-dual WC  x, y  = WC   x, y  .
Berdasarkan teorema Mac Williams, WC   x, y  dapat dihitung sebagai berikut :
WC   x, y 
=
1
2
n
2
WC  x  y, x  y 
13
=
1
2
n
2
n
=

n
 A  x  y  x  y
j 0
n j
Aj  x  y 
j 0
n
=
 Aj
n j
2
 x  y
j 0
j
j
 x  y
n
2
n j
 x  y
 n j 
2
j
2
2
j
j
2
 x y
=  Aj  1/2 
 2 
j 0
n j
 x y
 1/2 
 2 
j
 x y
=  Aj 

 2 
j 0
n j
 x y


 2 
j
n
n
 x y x y
= W
,

2 
 2
 x y x y
Sehingga diperoleh WC  x, y  = WC   x, y  = W 
,
.
2 
 2
(3.1.a)
Kita tinjau WC  x, y  berdasarkan definisi pencacah bobot, bentuk WC  x, y  dapat
dituliskan sebagai :
n
WC  x, y    Aj x n  j y j ; A j banyaknya kata kode berbobot j .
j 0
Karena setiap bobot dari semua kata kode di 𝐶 merupakan kelipatan 4, WC  x, y  hanya
memuat pangkat dari y 4 . Sehingga WC  x, y  dapat kita tulis sebagai :
WC  x, y 
n
=  Aj  x 
n j
j 0

1y

j
= WC  x, iy  , dengan i = 1 .
(3.2.b)
Persamaan (3.2.a) menunjukan WC  x, y  tidak berubah atau invarian terhadap
transformasi linier T1 :
14

Ganti x dengan
x y
2

Ganti y dengan
x y
2
Atau dalam bentuk matriks
 x
T1 : ganti  
 y
dengan
1
2
1 1   x 

  .
1 1  y 
Sejalan dengan hal di atas, persamaan (3.2.b) menunjukan bahwa WC  x, y  juga
tidak berubah atau invarian terhadap transformasi linier T2 :

Ganti x dengan x

Ganti y dengan iy
 x
Atau dalam bentuk matriks T2 : ganti  
 y
dengan
1 0  x 

  .
0 i   y
Selain hal di atas, WC  x, y  tentulah invarian terhadap sebarang kombinasi
T12 , T2T1 , TT
1 2T1 ,.... dari transformasi ini. Tidaklah sulit untuk menunjukan bahwa matriks
transformasi T1 dan T2 ketika dikalikan dalam semua kemungkinan, menghasilkan sebuah
grup G1 yang memuat 192 matriks.
Sehingga permasalahan kita adalah mencari semua polinom WC  x, y  yang invarian
terhadap setiap matriks dari G1 . Polinom-polinom tersebut kita sebut sebagai polinompolinom yang invarian terhadap grup G1 . Akan tetapi, kita tidak akan mendapatkan
jawaban yang tunggal. Karena jika polinom f dan g invarian terhadap setiap matriks dari G1
, maka cf untuk semua c elemen 𝐹, f+g, f-g, dan fg juga invarian terhadap setiap matriks dari
G1 . Oleh karena itu, cukuplah kita cari banyaknya polinom homogen yang bebas linier dan
invarian terhadap semua matriks dari G1 untuk setiap derajat d, sebut sebagai ad .
15
Salah satu cara sederhana untuk menangani bilangan-bilangan a0 , a1 , a2 ,... adalah
dengan mengombinasikan a0 , a1 , a2 ,... dalam bentuk deret pangkat atau fungsi pembangkit
𝜙 𝜆 = a0  a1  a2 2  ... .
Sebaliknya, jika kita tahu Φ 𝜆 , kita bisa mendapatkan ad . Sampai pada tahap ini kita akan
memanfaatkan teorema Molien berikut ini :
Teorema 3.2.2 Teorema Molien. Untuk suatu grup hingga 𝒢 dari matriks-matriks
kompleks 𝑚 × 𝑚, 𝜙 𝜆 diberikan oleh :
𝜙 𝜆 =
1
1
𝐴∈𝒢 𝑑𝑒𝑡 𝐼−𝜆𝐴
𝒢
dimana 𝒢 adalah banyaknya matriks di 𝒢, det adalah determinan, 𝐼 adalah matriks
identitas, dan A merupakan matriks-matriks di 𝒢.
Bukti Teorema Molien tidak dituliskan dalam Tugas Akhir ini, demi menjaga
kefokusan Tugas Akhir ini. Bukti Teorema Molien dapat dilihat di [1].
1
Untuk grup G 1 , kita dapatkan 𝜙𝐺 𝜆 = 192
1
1
1−𝜆 2
+
1
1−𝜆2
1
+
1−𝜆 1−𝑖𝜆
+ ⋯ . Dengan
penghitungan langsung menggunakan program Maple, diperoleh :
𝜙𝐺 𝜆 =
1
Persamaan
(3.2.a)
diekspansi
1
(3.2.a)
1−𝜆8 1−𝜆24
dalam
pangkat
dari
𝜆,
menghasilkan
:
𝜙𝐺 𝜆 = 𝑎0 + 𝑎1 𝜆 + 𝑎2 𝜆2 + ⋯
1
= 1 + 𝜆8 + 𝜆16 + 𝜆24 + ⋯ 1 + 𝜆24 + 𝜆48 + ⋯
(3.2.b)
Persamaan (3.2.b) menunjukan 𝑎𝑑 sama dengan nol, kecuali untuk d kelipatan 8.
Artinya, derajat dari polinom homogen yang invariant terhadap grup G 1 haruslah
kelipatan 8. Hal ini membuktikan bahwa panjang dari sebarang kode swa-dual genap
merupakan kelipatan 8. Lebih lanjut, ruas kanan dari persamaan ini menunjukan bahwa
terdapat dua buah polinom ‘basis’ berderajat 8 dan 24 yang invarian terhadap grup G 1,
sedemikian rupa sehingga semua polinom homogen yang invarian terhadap grup G 1
16
dibentuk dari penjumlahan dan perkalian dua buah polinom berderajat 8 dan 24
tersebut. Sebut dua polinom tersebut sebagai 𝑊1 𝑥, 𝑦 dan 𝑊2 𝑥, 𝑦 .
Karena, 𝑊1 𝑥, 𝑦 berderajat 8 dan 𝑊2 𝑥, 𝑦 berderajat 24, akan membangkitkan
polinom-polinom yang invarian terhadap grup G1 berikut :
derajat (d)
poliom yang invarian
nilai 𝑎𝑑
0
1
1
8
𝑊1 𝑥, 𝑦
1
16
2
1
, 𝑊2 𝑥, 𝑦
2
, 𝑊1 𝑥, 𝑦 𝑊2 𝑥, 𝑦
2
𝑊1 𝑥, 𝑦
24
𝑊1 𝑥, 𝑦
32
𝑊1 𝑥, 𝑦
40
𝑊1 𝑥, 𝑦
48
𝑊1 𝑥, 𝑦
6
4
5
3
, 𝑊1 𝑥, 𝑦
3
, 𝑊1 𝑥, 𝑦
…
2
2
𝑊2 𝑥, 𝑦
𝑊2 𝑥, 𝑦 , 𝑊2 𝑥, 𝑦
2
…
Dari tabel di atas semua hasil kali 𝑊1 𝑥, 𝑦 𝑖 𝑊2 𝑥, 𝑦
3
…
𝑗
bebas linier, dengan kata
lain 𝑊1 𝑥, 𝑦 dan 𝑊2 𝑥, 𝑦 bebas aljabar, dan nilai 𝑎𝑑 pada tabel di atas merupakan
koefisien-koefisien pada persamaan
1 + 𝜆8 + 𝜆16 + 2𝜆24 + 2𝜆32 + 2𝜆40 + 3𝜆48 + ⋯
= 1 + 𝜆8 + 𝜆16 + 𝜆24 + ⋯ 1 + 𝜆24 + 𝜆48 + ⋯
=
1
1−𝜆
8
1 − 𝜆24
yang sama dengan persamaan (3). Jadi, jika kita dapat menemukan polinom homogen
𝑊1 𝑥, 𝑦
berderajat 8 dan 𝑊2 𝑥, 𝑦
berderajat 24 yang bebas aljabar, kita dapat
menyatakan bahwa sebarang polinom homogen yang invarian terhadap grup G 1
merupakan polinom dalam 𝑊1 𝑥, 𝑦 dan 𝑊2 𝑥, 𝑦 .
17
Pandang Θ = 𝑥8 + 14𝑥4 𝑦4 + 𝑦8 suatu polinom homogen berderajat 8, dan
Φ = 𝑥4 𝑦4 𝑥4 − 𝑦4
4
suatu polinom homogen berderajat 24, Θ dan Φ bebas aljabar. Pilih
𝑊1 𝑥, 𝑦 = 𝛩 dan 𝑊2 𝑥, 𝑦 = Φ, maka sebarang polinom homogen yang invarian
terhadap grup G 1 merupakan polinom dalam 𝑊1 𝑥, 𝑦 dan 𝑊2 𝑥, 𝑦 . Pernyataan ini
Setara dengan menyatakan bahwa pencacah bobot dari sebarang kode swa-dual genap
merupakan polinom dalam 𝑊1 𝑥, 𝑦 dan 𝑊2 𝑥, 𝑦 .
Terbukti.
∎
3.2 t-desain
Definisi 3.2.1 Misal X merupakan suatu v-himpunan (himpunan dengan v buah elemen),
eleman-elemen di X disebut titik atau varietas. Suatu t(𝒗, 𝒌, 𝝀)-desain adalah suatu koleksi
dari k-subhimpunan (dinamakan blok) dari X, yang berbeda satu sama lain, dengan sifat
sebarang t-subhimpunan dari X termuat di tepat 𝜆 buah blok.
Dalam bahasa yang lebih ilustratif, t-desain merupakan koleksi dari komite-komite yang
dibentuk dari v orang, setiap komite beranggotakan k orang, sedemikian rupa sehingga
setiap t orang bekerja bersama-sama dalam tepat 𝜆 komite.
Contoh 3.2.2 Perhatikan gambar di bawah ini :
Gambar 3.2
Terdapat tujuh titik dan tujuh garis (salah satunya merupakan garis lengkung) pada
gambar di atas . Jika kita mengambil garis-garis sebagai blok, kita peroleh tujuh blok yaitu :
18
013, 045, 062, 165, 412, 463, dan 325. Selanjutnya kita dapatkan 2-(7,3,1) desain, karena
setiap dua buah titik dilewati oleh sebuah garis yang tunggal.
Teorema 3.2.3 Di dalam t-(v,k , 𝜆) desain, misalkan 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑡 merupakan t titik yang
berbeda, misal 𝜆𝑖 adalah banyaknya blok yang memuat 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑖 , untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, dan
misal 𝜆0 = 𝑏 merupakan jumlah keseluruhan dari blok-blok. Maka 𝜆𝑖 tidak bergantung pada
pemilihan dari 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑖 dan diperoleh fakta :
𝜆𝑖 =
𝜆 𝑣−𝑖
𝑡−𝑖
𝑘 −𝑖
𝑡−𝑖
=𝜆
,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡
𝑣−𝑖 𝑣−𝑖−1 …(𝑣−𝑡+1)
𝑘 −𝑖 𝑘−𝑖−1 …(𝑘−𝑡+1)
Hal ini menyebabkan suatu t-(v, k , 𝜆) juga merupakan i-(v, k , 𝜆𝑖 ) untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡.
Bukti : Teorema benar untuk 𝑖 = 𝑡 , karena menurut definisi t-desain, setiap t titik termuat
tepat pada 𝜆 blok. Kita lanjutkan dengan induksi pada i. Asumsikan 𝜆𝑖+1 tidak bergantung
pada pemilihan 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑖+1 . Untuk setiap blok B yang memuat 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑖 , dan untuk
setiap titik Q yang berbeda dengan 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑖 definisikan 𝜒 𝑄, 𝐵 = 1 jika 𝑄 ∈ 𝐵, dan
𝜒 𝑄, 𝐵 = 0 jika 𝑄 ∉ 𝐵. Maka dari hipotesis induksi kita peroleh :
𝑖)
=
𝑄
𝐵𝜒
𝑄
𝐵𝜒
𝑄, 𝐵 = 𝜆𝑖+1 (𝑣 −
𝑄, 𝐵 = 𝜆𝑖+1 (𝑘 − 𝑖), yang menunjukan bahwa 𝜆𝑖 bebas dari pemilihan
𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑖 ,dan menunjukan fakta pada teorema di atas.
Terbukti.
∎
Misal v dan w merupakan dua vektor di F n , v  v1...vn dan w  w1...wn . Misalkan


Iv  j v j  1; j  1...n dan Iw  i wi  1;i  1...n. Vektor w dikatakan menyelimuti v, jika
Iw  Iu .
Teorema 3.2.4(MacWilliams dan Sloane [1]). Misal [C] adalah matriks Mxn dengan barisbarisnya merupakan semua katakode di suatu kode C. Sebarang himpunan dari r  d'  1
kolom di [C] memuat setiap r-tuple sebanyak tepat M 2r kali, dan d ' merupakan bilangan
terbesar dalam kasus ini.
Bukti Teorema ini dapat dilihat pada [1].
19
Teorema 3.2.5(MacWilliams dan Sloane [1]). Misal kita pilih sebuah vektor u berbobot t di
F n , 0  t  d ' . Untuk  i  t , misal  i (u) adalah banyaknya katakode di C yang berbobot  i
yang menyelimuti u. Maka  i (u) memenuhi persamaan :
 i  t 
M nt 
  i (u)  t  j 

2  j 
j 
i 1 
s


2nt  j  n  t 
'

 , dengan 0  j  d  1  t . (3.2.1)
N  j 
Bukti : Kita gunakan Teorema 3.2.4 untuk menghitung (dalam dua arah) banyaknya
katakode berbobot t+j yang menyelimuti u dan terselimuti oleh sebuah katakode di C.
Terbukti
∎
Teorema 3.2.6 (Mac Williams dan Sloane[1]) Jika s  d ' , maka semua katakode berbobot
 i di C membentuk t  (n, i ,  ) desain, dengan t  (d ' s) , dan parameter  diberikan
i
s
oleh  i .  ( j   i ) 
j 1, j i
i
An .S (n) 1 n  n  t  S (r )
, memberikan  i  d '  s .
 

n  i
N r t  r  t   i  r
Bukti : Karena vektor 1= 1…1 di F n menyelimuti semua semua vektor di F n , kita dapat
menuliskan persamaan (3.2.1) menjadi :
 2nt  j
 n  t 
 i  t 

(
u
)

 An  



 i
.
j 
i 1 
 N
 j 
s
(3.2.2)
Jika kita dapat memilih t sedemikian rupa sehingga d '  t  s , maka kita dapatkan sebanyak
s persamaan yang bebas linier dalam veriabel  i (u) .
Dengan kata lain,  i (u) tidak
bergantung pada pemilihan u. Oleh karena itu, semua katakode berbobot  i membentuk tdesain, dengan t  d ' s . Parameter-paremeter dari desain ini diperoleh sebagai berikut :
Persamaan (3.2.2) memiliki solusi :
 g t ( i  t ) 
i
i
1 n t  n  t 
   g (r )  An gi t (n  t ),
N r 0  r   i t
dengan
20
g i t ( x ) 
 
s
j 1, j i
j

t  x .
Jelas bahwa g i t ( x  t )  g i ( x ) , sehingga solusi dari persamaan (3.2.2) adalah :
g i ( i )  i 
1 n nt 
   g (r )  An gi (n),
N r t  r  t   i
 .  ( j   i ) 
An .S (n) 1 n  n  t  S (r )
.
 

n  i
N r t  r  t   i  r
s
atau
i
j 1, j i
Terbukti
(3.2.3)
∎
21