Ruang Vektor Euclidean (2)

Aljabar Linier & Matriks
1
Operator Rotasi
Sebuah operator yg memutar vektor dalam R2 sebesar sudut  disebut
operator rotasi pada R2.
Ilustrasi:
Bgmn menemukan w = T(x)?
Misalkan:
r : panjang vektor x
 : sudut putaran (rotasi)
 : sudut antara x terhadap sumbu x positif
2
Dari trigonometri dasar, berdasar gambar diperoleh:
Menggunakan identitas trigonometri,
Dengan substitusi diperoleh:
Sehingga operator rotasi sudut sebesar  dinyatakan sbb:
3
Example
 Dlm vektor R2, rotasikan x =[x y]T dengan sudut sebesar /6 (=30) ke
w.
Penyelesaian:
Shg jika
maka
4
Rotasi Dalam
3
R
Dalam R3, rotasi dilakukan di sekitar sumbu yg berasal dr titik asal O
yg disebut sumbu rotasi. Sumbu rotasi bisa sumbu x, y, z, atau yg lain.
Sudut rotasi diukur dgn basis kerucut yg mpy sudut puncak di titik
asal, searah jarum jam (arah negatif) atau berlawanan arah jarum jam
(arah positif).
vektor w yg dihasilkan
dr rotasi vektor x dgn arah

positif di sekitar sb l sebesar
sudut 
5
6
Yaw, Pitch, Roll
Dlm bid. Aeronotika, orientasi pesawat
angkasa relatif terhadap koordinat xyz
sering diistilahkan dgn sudut yg disebut
yaw, pitch, dan roll.
Misal pesawat y terbang sepanjang sb y
dan bidang xy mrpk bid horisontalnya,
maka sudut rotasi pesawat disekitar sb z
disebut yaw, sudut rotasi pesawat
disekitar sb x disebut pitch, dan sudut
rotasi pesawat disekitar sb y disebut
roll.
Bidang lain: memposisikan antena
satelit, memposisikan kapal utk
berlabuh.
7
Dilasi dan Kontraksi
Jika k adl skalar non-negatif, maka operator T(x) = kx dalam ruang 2D
atau 3D disebut kontraksi jika 0 ≤ k ≤ 1 dan disebut dilasi jika k ≥ 1.
Efek geometrisnya, kontraksi mengkompres setiap vektor dgn faktor
sebesar k dan dilasi mengembangkan setiap vektor dgn faktor sebesar
k.
kontraksi
dilasi
8
Dilasi dan Kontraksi Dalam
2
R
9
Dilasi dan Kontraksi Dalam
3
R
10