610.12.005 Matematika

Diferensial/Turunan
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan dan Aplikasinya
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
D3 Analis Kimia FMIPA
Universitas Islam Indonesia
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Pendahuluan
Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk
menghitung laju perubahan.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Definisi Turunan
Definisi Turunan
Diberikan fungsi f dan a ∈ Df . Turunan fungsi f di a, dinyatakan
dengan f 0 (a), dan didefinisikan dengan
f 0 (a) = lim
h→0
f (a + h) − f (a)
h
asalkan limit ini ada.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Contoh 1
a. Tentukan turunan fungsi f (x) = x2 − 3x di x = 1.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Contoh 1
a. Tentukan turunan fungsi f (x) = x2 − 3x di x = 1.
Solusi:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Contoh 1
a. Tentukan turunan fungsi f (x) = x2 − 3x di x = 1.
Solusi:
f (1 + h) − f (1)
h
(1 + h)2 − 3(1 + h) − (12 − 3 · 1)
= lim
h→0
h
h2 − h
= lim
h→0
h
= lim (h − 1) = −1
f 0 (1) = lim
h→0
h→0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
b. Tentukan f 0 (2) jika diketahui f (x) = |x − 2|.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
b. Tentukan f 0 (2) jika diketahui f (x) = |x − 2|.
Solusi:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
b. Tentukan f 0 (2) jika diketahui f (x) = |x − 2|.
Solusi:
f (2 + h) − f (2)
h→0
h
|h|
|2 + h − 2| − |2 − 2|
= lim
= lim
h→0 h
h→0
h
f 0 (2) = lim
Tapi karena
|h|
= lim
h
h→0+
|h|
lim
= lim
h→0− h
h→0−
lim
h→0+
|h|
h→0 h
maka f 0 (2) = lim
h
=1
h
−h
= −1
h
tidak ada.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Perubahan Laju Sesaat
Perubahan Laju Sesaat
Perubahan laju sesaat dari f (x) terhadap x pada saat x = c
diberikan oleh f 0 (c)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Contoh 2
Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s, jaraknya
dari pusat (dalam
cm) setelah t detik, diberikan
√
s = f (t) = 5t + 1. Tentukan laju sesaat partikel tersebut setelah
3 detik.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Contoh 2
Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s, jaraknya
dari pusat (dalam
cm) setelah t detik, diberikan
√
s = f (t) = 5t + 1. Tentukan laju sesaat partikel tersebut setelah
3 detik.
Solusi:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Contoh 2
Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s, jaraknya
dari pusat (dalam
cm) setelah t detik, diberikan
√
s = f (t) = 5t + 1. Tentukan laju sesaat partikel tersebut setelah
3 detik.
Solusi:
f (3 + h) − f (3)
h→0
h
p
p
5(3 + h) + 1 − 5(3) + 1
= lim
h→0
h
√
16 + 5h − 4
= lim
h→0
h
v = lim
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Untuk mendapatkan solusi limit di atas, kalikan persamaan
terakhir dengan sekawannya.
√
√
16 + 5h − 4
16 + 5h + 4
v = lim
·√
h→0
h
16 + 5h + 4
16 + 5h − 16
= lim √
h→0 h( 16 + 5h + 4)
5
= lim √
h→0
16 + 5h + 4
5
=
8
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Signifikansi Tanda Turunan f 0 (x)
Signifikansi Tanda Turunan f 0 (x)
Jika fungsi f dapat diturunkan pada x = c, maka
f naik pada x = c jika f 0 (c) > 0
dan
f turun pada x = c jika f 0 (c) < 0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Turunan dan Kontinuitas
Turunan dan Kontinuitas
Jika f mempunyai turunan di a, maka f kontinu di a.
Catatan!
Tidak berlaku sebaliknya. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa sebuah
fungsi kontinu f tidak akan dapat diturunkan di x = a jika f 0 (x)
bernilai tak hingga pada x = a atau jika fungsi f memiliki titik
yang runcing/tajam pada P (a, f (a)), yaitu titik di mana kurva
berubah arah secara tajam.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Kurva dari empat fungsi kontinu yang tidak dapat diturunkan di
x=0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Diferensial/Turunan
Latihan 1
1. Tentukan f 0 (x) jika f (x) =
2. Tentukan
f 0 (x)
x+1
x+2 ,
dengan x 6= −2
beserta domainnya apabila f (x) =
3. Tentukan f 0 (−3) jika f (x) =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
1
2−x
610.12.005 Matematika
√
x+1
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
4. (Perilaku Hewan) Sebuah eksperiman menunjukkan bahwa
ketika seekor kutu terbang, ketinggiannya (dalam meter)
setelah t detik diberikan oleh fungsi
H(t) = 4.4t − 4.9t2
a. Tentukan H 0 (t). Pada laju berapa H(t) berubah setelah 1
detik? Apakah naik atau turun?
b. Pada t berapa nilai H 0 (t) = 0?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
5. (Cardiology) A study conducted on a patient undergoing
cardiac catheterization indicated that the diameter of the
aorta was approximately D millimeters (mm) when the aortic
pressure was p (mm of mercury), where
D(p) = −0.0009p2 + 0.13p + 17.81
for 50 ≤ p ≤ 120.
a. Find the average rate of change of the aortic diameter D as p
changes from p = 60 to p = 61.
b. Use calculus to find the instantaneous rate of change of
diameter D with respect to aortic pressure p when p = 60. Is
the pressure increasing or decreasing when p = 60?
c. For what value of p is the instantaneous rate of change of D
with respect to p equal to 0? What is the significance of this
preesure?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Rumus-rumus Dasar dan Sifat-sifat Turunan
Fungsi Konstan
Jika f (x) fungsi konstan, maka f 0 (x) = 0
Fungsi Identitas
Jika f (x) = x, maka f 0 (x) = 1
Fungsi Pangkat
Jika f (x) = xn , maka f 0 (x) = nxn−1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Sifat-sifat Turunan
Jika f dan g keduanya mempunyai turunan dan k sebarang
konstan real, maka
1
2
3
4
d
d
d
dx (f (x) ± g(x)) = dx f (x) ± dx g(x)
d
d
dx (kf (x)) = k dx f (x)
d
d
d
dx (f (x) · g(x)) = f (x) · dx g(x) + g(x) · dx f (x)
d
d
g(x)· dx
f (x)−f (x)· dx
g(x)
f (x)
d
=
asalkan g(x)
2
dx g(x)
(g(x))
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
6= 0
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Contoh 3
a. Tentukan turunan dari f (x) = 3x2 − 6x + 7
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Contoh 3
a. Tentukan turunan dari f (x) = 3x2 − 6x + 7
Solusi:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Contoh 3
a. Tentukan turunan dari f (x) = 3x2 − 6x + 7
Solusi:
d
(3x2 − 6x + 7)
dx
d
d
d
(3x2 ) −
(6x) +
7
=
dx
dx
dx
d
d
= 3 (x2 ) − 6 (x) + 0
dx
dx
= 3(2x) − 6(1) = 6x − 6
f 0 (x) =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
b. Tentukan f 0 (x) dari f (x) = (3x3 + 2x + 1)(4x11 + 5x)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
b. Tentukan f 0 (x) dari f (x) = (3x3 + 2x + 1)(4x11 + 5x)
Solusi:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
b. Tentukan f 0 (x) dari f (x) = (3x3 + 2x + 1)(4x11 + 5x)
Solusi:
f 0 (x) =
d
f (x)
dx
= (3x3 + 2x + 1) ·
d
(4x11 + 5x)
dx
d
(3x3 + 2x + 1)
dx
= (3x3 + 2x + 1)(44x10 + 5) + (4x11 + 5x)(9x2 + 2)
+ (4x11 + 5x) ·
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
c. Tentukan f 0 (x) dari f (x) =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
x2 −1
2x
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
c. Tentukan f 0 (x) dari f (x) =
Solusi:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
x2 −1
2x
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
c. Tentukan f 0 (x) dari f (x) =
Solusi:
f 0 (x) =
=
=
=
=
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
x2 −1
2x
d
2
dx (x
− 1) − (x2 − 1) ·
(2x)2
2x(2x) − (x2 − 1)(2)
4x2
2
4x − 2x2 + 2
4x2
2
2x + 2
4x2
2
x +1
2x2
2x ·
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
d
dx (2x)
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi Trigonometri
1
2
3
4
5
6
d
dx (sin x) = cos x
d
dx (cos x) = −sin x
d
2
dx (tan x) = sec x
d
dx (sec x) = sec x tan x
d
2
dx (cot x) = −csc x
d
dx (csc x) = −csc x cot x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Contoh 4
a. Tentukan turunan dari 3 sin x − 2 cos x.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Contoh 4
a. Tentukan turunan dari 3 sin x − 2 cos x.
Solusi:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Contoh 4
a. Tentukan turunan dari 3 sin x − 2 cos x.
Solusi:
d
d
d
(3 sin x − 2 cos x) = 3 (sin x) − 2 (cos x)
dx
dx
dx
= 3 cos x + 2 sin x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
b. Tentukan turunan dari x2 sin x.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
b. Tentukan turunan dari x2 sin x.
Solusi:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
b. Tentukan turunan dari x2 sin x.
Solusi:
d 2
d
d
(x sin x) = x2 (sin x) + sin x (x2 )
dx
dx
dx
= x2 cos x + 2x sin x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
c. Tentukan turunan dari
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
1+sin x
cos x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
c. Tentukan turunan dari
Solusi:
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
1+sin x
cos x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Diferensial/Turunan
c. Tentukan turunan dari
Solusi:
d
dx
1 + sin x
cos x
1+sin x
cos x
d
dx (1
+ sin x) − (1 + sin x)
=
cos2 x
cos2 x + sin x + sin2 x
=
cos2 x
1 + sin x
=
cos2 x
cos x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
d
dx (cos x)
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
d. Tentukan turunan dari xn tan x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
d. Tentukan turunan dari xn tan x
Solusi:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
d. Tentukan turunan dari xn tan x
Solusi:
d n
d
d
(x tan x) = xn (tan x) + tan x (xn )
dx
dx
dx
= xn sec2 x + nxn−1 tan x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Aturan Rantai
Jika f dan g keduanya mempunyai turunan, maka fungsi komposisi
f ◦ g juga dapat mempunyai turunan dan:
(f ◦ g)0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
Jika y = f (u) dan u = g(x) maka dengan menggunakan notasi
Leibnitz, rumus di atas dapat dinyatakan sebagai
dy du
dy
=
·
dx
du dx
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Diferensial/Turunan
Contoh 5
a. Tentukan turunan F (x) =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
√
x4 + 4
610.12.005 Matematika
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Diferensial/Turunan
Contoh 5
a. Tentukan turunan F (x) =
Solusi:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
√
x4 + 4
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Contoh 5
√
a. Tentukan turunan F (x) = x4 + 4
Solusi:
Fungsi F dapat dinyatakan sebagai f (g(x)) dengan
√
g(x) = x4 + 4 dan f (x) = x
Karena g 0 (x) = 4x3 dan f 0 (x) =
1
√
,
2 x
maka
1
2x3
F 0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x) = p
· 4x3 = √
x4 + 4
2 g(x)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
b. Tentukan turunan dari y = sin 2x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
b. Tentukan turunan dari y = sin 2x
Solusi:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
b. Tentukan turunan dari y = sin 2x
Solusi:
dy
= (cos 2x)
dx
= 2 cos 2x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
d
2x
dx
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
c. Tentukan turunan dari
d. Tentukan turunan dari
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
x2 (1−x)3
1+x
1
(2x−1)3
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Contoh 6
Sebuah larutan dituangkan ke dalam wadah berbentuk kerucut
dengan laju 8 cm3 per menit. Jika ketinggian wadah adalah 12 cm
dan jari-jari permukaan wadah adalah 6 cm, seberapa cepat
ketinggian larutan meningkat ketika larutan dituangkan setinggi 4
cm?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Solusi:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Solusi:
Volume wadah adalah V = 13 πr2 h, kita mempunyai
sehingga r = h2 , maka
2
1
h
V = π
h
3
2
πh3
=
12
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
r
h
=
6
12
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Dengan menggunakan Aturan Rantai,
dV
dV dh
=
dt
dh dt
3πh2 dh
=
12 dt
πh2 dh
=
4 dt
Diketahui laju larutan dV
dt = 8, maka laju ketinggian larutan ketika
larutan dituangkan setinggi 4 cm adalah
π(42 ) dh
4 dt
2
dh
= cm/menit
dt
π
8=
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika
Diferensial/Turunan
Pendahuluan
Turunan
Teknik Diferensiasi
Latian 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
610.12.005 Matematika