Soal-soal Vektor dan Proyeksi Vektor

Matakuliah
Tahun
: K0034-Aljabar Linear Terapan
: 2007
VEKTOR
Pertemuan 8
1
Vektor dalam bidang (R2)
Vektor posisi : Vektor yang berpangkal dari 0 ( ٥ , ٥ )
a
a
a
vektor posisi
0
2
Analisi Vektor : Suatu pasangan berurutan dari 2
bilangan real
Misal : (1,2)
(3,-1)
(0,-5)
(x1,y1)
A (3,2)
a
0
Koordinat : A (3 , 2)
0A = a = (3 , 2)
3
 Vektor ( ٥ , ٥ ) = vektor nol = 0 = (٥ , ٥ )
• Panjang vektor
Vektor a = (x1 , y1)
Panjang a = | a | =
2
x
1
+
2
y
1
• Kesamaan Dua vektor
a = (x1 , y1)
b = (x2 , y2)
a = b  x1 = x2 , y1 = y2
4
• Jumlah dan selisih dua vektor
a = (x1 , y1)
b = (x2 , y2)
( i ) a + b = (x1 + x2 , y1 + y2)
( ii) -a
= (-x1 ,- y1)
(iii) a - b = a + (-b) = (x1 - x2 , y1 - y2)
5
• Perkalian Vektor dengan skalar
a = (x1 , y1)
c bilangan nyata
( I) c a
= (cx1 , cy1)
(ii) |ca| = |c| . |a|
• Hukum
- hukum penjumlahan Vektor dan perkalian
Bilangan dangan Vektor
a,b,c : Vektor-vektor di R2
6
p , q : Bilangan-bilangan nyata
( i) a + b = b + a
(Komutatif )
( ii) a + (b + c) = (a + b) + c
(Asosiatif)
(iii) a + 0 = a (0 = Identitas Penjumlahan)
(iv) a + (-a) = 0
( v) (pq)a = p(qa)
(Keujudan Vektor (-))
(Asosiatif)
(vi) p(a + b) = (pa + pb)
(Distributif)
(vii) (p + q)a = pa + qa
(Distributif)
(viii) 1.a = a
(1 = identitas perkalian)
7
Vektor Satuan
a vektor satuan 
a = 1
Vektor satuan pada arah sumbu x positif : i
Vektor satuan pada arah sumbu y positif : j
Penulisan Vektor :
b = (x 1 , y 1 )
= x1 i + y1 j
Vektor satuan searah b
U =
X1
b
.i +
Y1
b
.j
8
• Perkalian Titik (perkalian Skalar)
= Dot Vector
a = (x 1 , y 1 )
b = (x 2 , y 2 )
a.b = x 1 x 2 + y 1 y 2
Hukum-hukum :
a, b, c di R2
9
p bilangan nyata
( i) a.b = b.a
( ii) a.(b + c) = a.b + a.c
(iii) p(a.b) = (pa).b = a.(pb)
(iv) 0.a = 0
( v) a.a = a
2
(vi) a  0  a.a > 0
a = 0  a.a = 0
10
Sudut antara Dua Vektor
 sudut anatara a dan b
a.b = a . b . cos 
• Vektor Satuan
Vektor satuan searah a : u = a / |a|
11
• Kesamaan Dua Vektor
a = (x1 , y1 , z1 ) , b = (x2 , y2 , z2 )
a = b ↔ x1 =x2 ,y1 =y2 ,z1 =z2
• Sudut Antara Dua Vektor
 sudut antara a dan b
a. b
cos  = a . b
12
• Perkalian Titik (Dot Vector)
a = (x 1 , y 1 , z 1 ) , b = (x 2 , y 2 , z 2 )
a.b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2
Hukum-hukum :
a, b,c di R
3
; p bilangan nyata
( i) a.b = b.a
( ii) a.(b + c) = a.b + a.c
(iii) (p a).b
= a.(pb)
(iv) 0.a
= 0
( v) a.a
2
= a , jika a  0
13
• Soal-soal Vektor dan Proyeksi Vektor :
1. Diketehui : Vektor di R2
a =(4,3)
b =(12,5)
φ adalah sudut apit antara a dan b .
Tentukan cos φ !
2. Diketehui : Vektor di R2
a =(2,4)
b =(7,3)
Tentukan proyeksi a pada b = (c1 ) !
14
3. Diketehui : Vektor di R2
a =(6,8)
b =(5,12)
φ adalah sudut apit antara a dan b .
Tentukan cos φ !
4. Diketehui : Vektor di R2
a =(4,3)
b =(15,8)
φ adalah sudut apit antara a dan b .
Tentukan cos φ !
15
5. Diketehui : Vektor di R2
a =(12,5)
b =(8,15)
φ adalah sudut apit antara a dan b .
Tentukan cos φ !
6. Diketehui : Vektor di R2
a =(12,5)
b =(6,-8)
φ adalah sudut apit antara a dan b .
Tentukan cos φ !
16