Turunan Fungsi - Kamasian Unswagati
advertisement
5 4 3 PICTURE START introducing Turunan Fungsi Turunan Fungsi Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Turunan Fungsi Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Turunan Fungsi Penyusun Standar Kompetensi: Pendahuluan Menggunakan konsep limit fungsi dalam pemecahan masalah Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Kompetensi Dasar: 1. 2. 3. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya Turunan Fungsi Penyusun Tujuan Pembelajaran : Pendahuluan Setelah mempelajari materi turunan, siswa diharapkan mampu: Materi Contoh Soal Pemahaman 1. Menentukan turunan fungsi menggunakan definisi turunan 2. Menjelaskan arti fisis dan arti geometri turunan di satu titik 3. Menggunakan aturan turunan untuk menentukan turunan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri 4. Menentukan turunan fungsi komposisi menggunakan aturan rantai Latihan Soal 5. Menentukan interval dimana suatu fungsi naik dan turun 6. Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenisnya Turunan Fungsi Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Pada bab sebelumnya telah dipelajari tentang limit. Konsep limit mendasari pembicaraan tentang turunan, bahkan tentang kalkulus pada umumnya. Dalam hal ini, limit akan digunakan untuk menentukan rumus umum turunan fungsi. Konsep turunan sendiri ternyata memberikan bantuan nyata dalam mempelajari matematika, sehingga pada bab ini bukan hanya akan mempelajari bagaimana menentukan turunan dari suatu fungsi, tetapi juga penggunaan turunan untuk menyelesaikan masalah-masalah lain. Masalah tersebut adalah tentang kecepatan, percepatan, persamaan garis singgung, dan masalah tentang nilai stasioner yang telah banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Apa sebenarnya hubungan antara turunan dengan masalah-masalah tersebut? Turunan Fungsi Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Turunan Fungsi Definisi Turunan Penyusun Pendahuluan Materi Turunan fungsi f(x) dinotasikan dengan f’(x). f ( x h) f ( x ) Contoh: Jika f’(x) ada, maka: dikenal f ' ( x ) lim h 2 h0 Tentukan f’(x) jika diketahui f ( x) x 2 x ! sebagai rumus umum turunan fungsi f(x). Penyelesaian : f ( x) x 2 2 x f ( x h) ( x h) 2 2( x h) f ( x h) x 2 2 x(h 1) h 2 2h Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Sehingga : ( x 2 2 xh 2 x h 2 2h) ( x 2 2 x) f ' ( x) lim h 0 h 2 2 xh h 2h f ' ( x) lim h 0 h f ' ( x) lim (2 x h 2) 2 x 2 h 0 Turunan Fungsi Penyusun Arti Fisis Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Secara fisis, turunan fungsi f(x) di x=a merupakan kecepatan sesaat dari sebuah benda atau titik yang bergerakmengikuti kurva y=f(x) pada saat x=a v lim h 0 f ( x h) f ( x ) h Turunan Fungsi Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Contoh: Sebuah benda jatuh dalam ruang hampa, di mana jarak bendadari titik asal dirumuskan sebagai s (32t 2 2t ) meter. Berapa kecepatan sesaat benda tersebut saat t=2 detik? Turunan Fungsi Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Penyelesaian : 2 Dalam hal ini f (t ) 32t 2t f (2 h) f (2) h 0 h [32(2 h) 2 2(2 h)] [32(2) 2 2(2)] v lim h 0 h 2 (128 128h 32h 4 2h) (128 4) v lim h 0 h 2 128 128h 32h 4 2h 128 4 v lim h 0 h 2 128h 32h 2h v lim h 0 h v lim (128 32h 2) 130 v lim h 0 Latihan Soal Jadi, kecepatan benda saat t=2 detik adalah 130meter/detik. Turunan Fungsi Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Arti Geometris Secara geometris, turunan fungsi f(x) di x=a merupakan gradien garis singgung kurva y=f(x) di titik (a,f(a)). Turunan Fungsi Penyusun Gradien tali busur adalah: Pendahuluan m Materi Contoh Soal Pemahaman f ( a h) f ( a ) f ( a h) f ( a ) aha h Jika titik Q semakin mendekati titik P, maka nilai h→0, dan tali busur tersebut menjadi garis singgung kurva di titik (a,f(a)), sehingga gradien garis singgung tersebut adalah: m lim h 0 Latihan Soal f ( a h) f ( a ) h Turunan Fungsi Penyusun Contoh: Tentukan gradien garis singgung kurva f ( x) 5 x 2 3x di titik yang berabsis x=-2! Pendahuluan Penyelesaian : f ( x) 5 x 2 3x Materi f (2) 5(2) 2 3(2) 14 f (2 h) 5(2 h) 2 3(2 h) Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal f (2 h) 5h 2 17h 14 f ( 2 h) f ( 2) h 0 h (5h 2 17 h 14) 14 m lim h 0 h m lim (5h 17) 17 m lim h 0 Turunan Fungsi Turunan Fungsi Aljabar Penyusun Turunan dari fungsi y = f(x) dinotasikan dengan y’ = f’(x). Notasi lain dari turunan fungsi y = f(x) adalah : Pendahuluan Materi dy d df y dx dx dx Rumus-rumus turunan, antara lain: 1. Jika f ( x) c, maka f ' ( x) 0 Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal 2. Jika f ( x) x, maka f ' ( x) 1 3. Jika f ( x) ax n , maka f ' ( x) anx n1 , a, n R. Turunan Fungsi Turunan Fungsi Aljabar Penyusun Contoh: Tentukan turunan dari fungsi berikut: a. f ( x) 4 x 2 Pendahuluan Materi b. f ( x) x 2 Jawab: a. f ( x) 4 x rumus (3) f ( x) 4(2) x 21 f ( x) 8 x Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal 1 2 b. f ( x) x x rumus (3) 1 1 ( 1) f ( x) x 2 2 1 1 f ( x) . 1 2 2 x f ( x) 1 2 x Turunan Fungsi Turunan Fungsi Aljabar Penyusun Pendahuluan 4. Jika f ( x) g ( x) h( x), maka f ' ( x) g ' ( x) h' ( x) Contoh: Tentukan turunan dari fungsi: a. f ( x) x3 3x 2 4 x 2 ( 31) ( 21) → f ( x) 3x 3(2) x 4(1) 0 f ( x) 3 x 2 6 x 4 Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal 1 b. f ( x) 2 x x x → 3 2 f ( x) 2 x x 1 ( ) 2 3 1 3 ( 1) 1 ( 1) f ( x) 2( ) x 2 ( ) x 2 2 2 1 2 3 1 ( 2 ) f ( x) 3x x 2 1 f ( x) 3 x 2x x Turunan Fungsi Turunan Fungsi Aljabar Penyusun Pendahuluan 5. Jika y u.v, maka y ' u ' v uv' Contoh: Tentukan y’ jika y (3x 2)( x 3 2 x 2 1)! Jawab: Misal : u 3x 2 u' 3 Materi Contoh Soal Pemahaman v x 3 2 x 2 1 v' 3x 2 4 x y ' u ' v uv' y' 3( x3 2 x 2 1) (3x 2)(3x 2 4 x) y' 3x3 6 x 2 3 9 x3 12 x 2 6 x 2 8x y' 12 x 3 12 x 2 8 x 3 Latihan Soal Turunan Fungsi Turunan Fungsi Aljabar Penyusun Pendahuluan u u ' v uv' 6. Jika y , maka y ' v v2 Contoh: 2x 3 y ! Tentukan y’ jika 4x 5 Jawab: Misal : u 2x 3 u' 2 Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal v 4x 5 v' 4 u ' v uv' y' v2 2(4 x 5) (2 x 3)4 (4 x 5) 2 8 x 10 8 x 12 y' (4 x 5) 2 22 y' (4 x 5) 2 y' Turunan Fungsi Turunan Fungsi Aljabar Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman 7. Jika y u n , maka y' n . u n1. u' Contoh: 2 3 Tentukan f’(x) jika f ( x) ( x 1) ! Jawab: Misal : u x 2 1 u ' 2.x 21 u' 2 x y' n . u n1. u ' y' 3.( x 2 1)31.2 x y' 3( x 2 1) 2 .2 x Latihan Soal y ' 6 x( x 2 1) 2 Turunan Fungsi Turunan Fungsi Trigonometri Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Sama halnya turunan fungsi aljabar, turunan fungsi trigonometri dapat ditentukan dengan mudah dengan menggunakan definisi dan rumus turunan fungsi. Berikut adalah beberapa definisi dan rumus turunan fungsi trigonometri: 1. Jika f ( x) sin x, maka f ' ( x) cos x 2. Jika f ( x) cos x, maka f ' ( x) sin x 3. Jika f ( x) tan x, maka f ' ( x) sec 2 x 4. Jika f ( x) cot x, maka f ' ( x) csc 2 x 5. Jika f ( x) sec x, maka f ' ( x) sec x. tan x Latihan Soal 6. Jika f ( x) csc x, maka f ' ( x) csc x. cot x Turunan Fungsi Turunan Fungsi Trigonometri Penyusun Pendahuluan Contoh 1: Buktikan bahwa turunan dari fungsi f(x)=sin x adalah f’(x)=cos x ! Jawab: f ( x) sin x f ( x h) sin( x h) f ( x h) f ( x ) h 0 h sin( x h) sin x f ' ( x) lim h 0 h 1 2 cos x. sin( h) 2 f ' ( x) lim h 0 h 1 sin( h) 2 f ' ( x) 2 cos x. lim h 0 h 1 f ' ( x) 2 cos x. cos x (terbukti) 2 f ' ( x) lim Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Turunan Fungsi Turunan Fungsi Trigonometri Penyusun Contoh 2: Tentukan turunan dari fungsi f ( x) x 2 . sin x ! Jawab: Misal : u x 2 u ' 2 x Pendahuluan v sin x v' cos x f ' ( x) u ' v uv' f ' ( x) 2 x. sin x x 2 . cos x Materi Catatan: f ( x) sin n (ax b) Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal f ' ( x) an. sin n1 (ax b). cos(ax b) Aturan Rantai Untuk Mencari Turunan dari Komposisi Fungsi Penyusun Jika u = f(x), v = f(u), y = f(v), dimana u, v, dan y terdiferensialkan, maka berlaku: dy dy dv du dx dv du dx Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Contoh: a dy , jika y (2 x 2 3) 4 dx du Misal : u 2 x 2 3 4x dx dy y u4 4u 3 4(2 x 2 3)3 du dy dy du . dx du dx dy 4(2 x 2 3)3 .4 x 16 x.(2 x 2 3)3 dx Tentukan Aturan Rantai Untuk Mencari Turunan dari Komposisi Fungsi Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal b dy , jika y sin 3 ( x 2 ) dx du Misal : u x 2 2x dx dv v sin u cos u du dy y v3 3v 2 du dy dy dv du . . dx dv du dx dy 3v 2 . cos u.2 x dx dy 6 x. sin 2 u. cos u dx dy 6 x. sin 2 ( x 2 ). cos( x 2 ) dx Tentukan Fungsi Naik dan Turun Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Contoh fungsi : Diberikan kontinu dan terdiferensialkan dalam interval I. diketahui f ( x) x 3 12 x 2, Jika 1. Jika f’(x) ˃ 0 untuk tiap x Є I, maka fungsi f(x) naik dalam tentukan interval f ( x) naik dan f ( x) turun ! interval I. 2. Jika f’(x) ˂ 0 untuk tiap x Є I, maka fungsi f(x) turun Jawab f ( x) I. x 3 12 x 2 dalam: interval f ' ( x) 3x 2 12 Syarat fungsi naik : f ' ( x) 0 3 x 2 12 0 x2 4 0 + + -2 2 Harga nol ruas kiri : x2 4 0 ( x 2)( x 2) 0 x 2 atau x 2 Jadi, f(x) naik pada interval x 2 atau x 2 dan f(x) turun pada interval 2 x 2 Nilai Stasioner Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Apabila fungsi y = f(x) kontinu dan diferensiabel, maka f(a) dikatakan nilai stasioner dari f(x) jika dan hanya jika f’(a) = 0, sedangkan titik (a,f(a)) dinamakan titik stasioner. 1. Jenis-Jenis Nilai Stasioner a. Jika f’(a-) < 0 dan f’(a+) > 0 , maka f(a) merupakan nilai balik minimum. b. Jika f’(a-) > 0 dan f’(a+) < 0 , maka f(a) merupakan nilai balik maksimum. c. Jika f’(a-) dan f’(a+) bertanda sama, maka f(a) merupakan nilai belok horizontal. Keterangan: • f’(a-) artinya nilai f’(x) untuk x yang kurang dari a. • f’(a+) artinya nilai f’(x) untuk x yang lebih dari a. Nilai Stasioner Contoh: Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal 1 3 5 2 Tentukan nilai - nilai stasioner dari f ( x) x x 6 x 7 3 2 beserta jenisnya ! 1 5 3 2 2 f ' ( x) x 5 x 6 Jawab: f ( x) x 3 x 2 6 x 7 Nilai stasioner dari f(x) diperoleh jika f ' ( x) 0 x 2 5x 6 0 ( x 6)( x 1) 0 x 6 atau x 1 Untuk x -1, nilai stasioner nya f (1) nilai balik maksimum. 61 merupakan 6 Untuk x 6, nilai stasioner nya f (6) 47merupakan nilai balik minimum. Nilai Stasioner 2. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum di Suatu Interval Tertentu Penyusun Untuk mencari nilai maksimum dan minimum sebuah fungsi dalam suatu interval tertutup, dapat Pendahuluan Materi digunakan langkah-langkah sebagai berikut: a. Tentukan nilai-nilai stasioner untuk nilai-nilai x yang termasuk dalam interval. Contoh Soal Pemahaman b. Tentukan nilai-nilai fungsi di ujung interval. c. Dari nilai-nilai tersebut, nilai terkecil adalah nilai minimum Latihan Soal maksimum. dan nilai terbesar adalah nilai Nilai Stasioner Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal 1 Titik (a,f(a)) dikatakan titik belok dari f(x), jika: a. f’(a)=0 b. f”(a)=0, di mana f”(x) adalah turunan pertama dari f’(x) atau turunan kedua dari f(x). Atau Titik (a,f(a)) dikatakan titik belok dari f(x), jika: a. f’(a)=0 b. f’(a-) dan f’(a+) sama-sama positif atau samasama negatif Nilai Stasioner Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Contoh: Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f ( x) 3x 5 5 x 3 pada 1 x 2 ! Jawab: » Nilai-nilai stasioner diperoleh jika f’(x) = 0 f ' ( x) 0 15 x 4 15 x 2 0 x 2 ( x 2 1) 0 x 2 ( x 1)( x 1) 0 • f(x) mencapai maksimum untuk x = -1, f(-1) = 2 • f(x) mempunyai titik belok untuk x = 0, f(0) = 0, sehingga titik beloknya (0,0) • f(x) mencapai minimum untuk x = 1, f(1) = -2 » Nilai fungsi di ujung interval f(-1) = 2 f(2) = 56 Jadi, nilai maksimumnya 56 dan nilai minimumnya 2 Contoh Soal Pemahaman Penyusun 1. Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan turunan dari f ( x) 4 x 2 x ! Pendahuluan f ( x h) f ( x ) Jawab: Definisi turunan adalah f ' ( x) lim h 0 h 2 # f ( x h) 4( x h) ( x h) f ( x h) 4 x 2 8xh 4h 2 x h Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal (4 x 2 8 xh 4h 2 x h) (4 x 2 x) f ' ( x) lim h 0 h 4 x 2 8 xh 4h 2 x h 4 x 2 x f ' ( x) lim h 0 h 2 8 xh 4h h f ' ( x) lim h 0 h f ' ( x) lim (8 x 4h 1) h 0 f ' ( x) 8 x 1 Contoh Soal Pemahaman Penyusun Pendahuluan 2. Tentukan y' jika y x 3 cos x ! Jawab: Misal : u x 3 u ' 3x 2 Materi v cos x v' sin x y ' u ' v uv' Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal y' x3 ( sin x) 3x 2 cos x y' x3 sin x 3x 2 cos x Contoh Soal Pemahaman Penyusun 3. Tentukan t urunan pertama dari fungsi f ( x) sin 3 (2 x 1) ! Jawab: du 2 dx dv v sin u cos u du dy y v3 3v 2 du Misal : u 2 x 1 Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal dy dy dv du . . dx dv du dx dy 3v 2 cos u 2 dx dy 6. sin 2 u. cos u dx dy 6. sin 2 (2 x 1) cos( 2 x 1) dx Contoh Soal Pemahaman Penyusun Pendahuluan 4. Diketahui f ( x) a b cos x. Jika f (0) -2 dan f ' ( 2 ) 4, maka tentukan nilai dari a dan b ! Jawab: # f (0) 2 a b cos 0 2 ab 2 (1) Misal : u b u' 0 Materi Contoh Soal Pemahaman v cos x v' sin x f ' ( x) 0 [(0 cos x) (b sin x) f ' ( x) b sin x # f ' ( 2 ) 4 b sin( 2 ) 4 b 4 b -4 Latihan Soal (2) Masukkan (2) ke (1): a b 2 a 4 2 a6 Sehingga nilai dari a dan b adalah 6 dan -4. Latihan Soal Penyusun Pendahuluan x 2 3x x 1. Jika f ( x) , maka f' (1) ...... x 2. Turunan pertama dari f ( x) 3 sin 2 3x adalah f ' ( x) ...... 3. Jika f ( x) cos5 (4 x 2), maka f ' ( x) ...... Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal 4. Diberikan kurva dengan persamaan y x3 3x 2 9 x 7. Kurva naik pada interval ...... 5. Titik - titik stasioner dari kurva y x 3 3x 2 9 x 10 adalah ...... Latihan Soal Penyusun 6. Nilai maksimum dari y x 3 3x 2, pada interval 2 x 2 adalah ...... Pendahuluan 7. Nilai minimum dari f ( x) x 3 3x 2 9 x 2, pada interval 1 x 2 adalah ...... Materi 8. Koordinat titik belok kurva fungsi f ( x) 3x 4 4 x3 1 adalah ...... Contoh Soal Pemahaman 9. Diketahui f ( x) a b sin 3x. Jika f ( 2 ) 9 dan f ' ( 3 ) 12, maka tentukan nilai dari a dan b ! Latihan Soal 10. Tentukan gradien garis singgung kurva y x x di titik (4,8) ! Daftar Pustaka Penyusun Siti Lestari, dkk. (2011). Buku Ajar Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Acuan Pengayaan Matematika (Program IPA) untuk SMA/MA Semester 2. Solo: Sindunata Profile Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Nama : Andini Tresnaningsih Tempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 21 September 1994 Alamat : Jl. Kandang Perahu no. 6 Cirebon Hobby : Mendengarkan musik Saya mendapat bagian mengedit video Power Point pada Camtasia. Mulai dari menyusun video, mengedit audio sampai memproduce dalam bentuk Web. Lalu saya juga membantu dalam pembuatan peta konsep tentang bahan ajar. Pada perekaman video Camtasia, saya mendapat bagian menjelaskan pada: 1. Slide 1-10 yang menjelaskan tentang pembukaan materi bahan ajar Turunan Fungsi. 2. Slide 11 yang menyebutkan penusun pada materi bahan ajar Turunan Fungsi. 3. Slide 12 yang menjelaskan tentang Standar Kompetensi dan kompetensi dasar. 4. Slide 13 yang menjelaskan tentang Tujuan Pembelajaran. 5. Slide 25-28 yang menjelaskan tentang Turunan Fungsi Aljabar beserta contohnya. 6. Slide 29-31 yang menjelaskan tentang Turunan Fungsi Trigonometri beserta contohnya. 7. Slide 40 yang menjelaskan tentang contoh soal pemahaman yang pertama beserta penjelasannya. 8. Slide 46 dan 51 yang menjelaskan tentang referensi beserta penutup materi bahan ajar Turunan Fungsi. Profile Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Nama : Karina Tempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 29 Juli 1994 Alamat: Villa Intan 2 blok K1. no 3 Hobby: Mendengarkan musik Saya mendapat bagian mencari buku referensi untuk materi bahan ajar Turunan Fungsi serta membuat naskah skenario untuk diterpkan pada video Camtasia. Pada perekaman video Camtasia, saya mendapat bagian menjelaskan pada: 1. Slide 17-19 yang menjelaskan tentang Arti Fisis turunan di suatu titik. 2. Slide 20-22 yang menjelaskan tentang Arti Geometris turunan di suatu titik. 3. Slide 41 yang menjelaskan tentang contoh soal pemahaman yang kedua beserta penjelasannya. 4. Slide 42 yang menjelaskan tentang contoh soal pemahaman yang ketiga beserta penjelasannya. 5. Slide 44-45 yang menyebutkan tentang Latihan Soal pada bahan ajar Turunan Fungsi. Profile Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Nama : Marissa Dwi Andrianne Tempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 27 Maret 1995 Alamat: Jl. Sukasari VI no.85 Cirebon Hobby: Memasak dan membuat kue Saya mendapat bagian membuat dan mengedit Power Point untuk bahan ajar Turunan Fungsi. Dan saya juga membuat cover CD menggunakan TBS Cover Editor. Pada perekaman video Camtasia, saya mendapat bagian menjelaskan pada: 1. Slide 15yang meyebutkan subbab yang ada pada bahan ajar Turunan Fungsi. 2. Slide 16yang menjelaskan tentang contoh soal definisi turunan. 3. Slide 32-33 yang menjelaskan tentang Aturan Rantai beserta contoh dan penyelesaiannya. 4. Slide 34 yang menjelaskan tentang Fungsi Naik dan Turun pada Turunan Fungsi. 5. Slide 35-39 yang menjelaskan tentang Nilai stasioner. 6. Slide 43 yang menjelaskan tentang contoh soal pemahaman yang keempat beserta penjelasannya. Profile Penyusun Pendahuluan Materi Contoh Soal Pemahaman Latihan Soal Nama : Sylvia Nopiani Risa Prihatini Tempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 27 Maret 1995 Alamat: Jl. Sukasari VI no.85 Cirebon Hobby: Memasak dan membuat kue Saya mendapat bagian mengetik bahan ajar pada Ms. Word untuk dipindahkan pada Ms. Power Point. Pada perekaman video Camtasia, saya mendapat bagian menjelaskan pada: 1. Slide 14yang menjelaskan tentang Pengantar untuk bahan ajar Turunan Fungsi. 2. Slide 16yang menjelaskan tentang definisi Turunan. Perfection and the most TERIMA KASIH Perfection is ALLAH SWT