turunan fungsi - WordPress.com

TURUNAN FUNGSI
IKA ARFIANI, S.T.
DEFINISI TURUNAN
Turunan dari y  f(x) terhadap x
didefinisi kan dengan:
dy  y'  f' (x)  lim f(x h)-f(x)
h 0
dx
h
RUMUS DASAR TURUNAN















 k  xn 
n 1
fx
f ' x  k n x
f x  k  f ' x  0
n 1
n
f x u  f ' x  n u u'
























f ( x)  c  f ' ( x)  0
f ( x)  x  f ' ( x)  1
f ( x)  x 2  f ' ( x)  2 x
f ( x)  x 3  f ' ( x)  3x 2
f ( x)  x n  f ' ( x)  nx n 1









RUMUS JUMLAH DUA FUNGSI
Jika U dan V adalah fungsi - fungsi dari x yang
dapat diturunkan dan y  f(x)  U(x)  V(x),
maka :
y '  f ' (x)  U' (x)  V' (x)
atau
d
(U  V)  U'  V'
dx
RUMUS SELISIH DUA FUNGSI
Jika U dan V adalah fungsi - fungsi dari x yang dapat
diturunkan dan y  f(x)  U(x) - V(x), maka
y '  f ' (x)  U' (x) - V' (x)
atau
d
(u  v)  u' - v'
dx
RUMUS PERKALIAN DUA FUNGSI
Jika U dan V fungsi - fungsi dari x yang dapat
diturunkan dan f(x)  U(x).V(x), maka :
f ' (x)  U' (x).V(x)  U(x).V' (x)
atau
d
(U.V)  U'.(V)  U.(V' )
dx
RUMUS PEMBAGIAN DUA FUNGSI
Jika U dan V fungsi - fungsi dari x yang dapat diturunkan,
U(x)
dan f(x) 
, V(x)  0, maka :
V(x)
U' (x).V(x) - U(x).V' (x)
f ' (x) 
2
V(x) 
atau
d  U  U' V  UV'



dx  V 
V2
CONTOH :
f ( x)  x 3  3 x 2  4
1. Tentukan turunan pertama dari
Jawab :
f ' ( x)  3x 2  3.2 x  0  3x 2  6 x
f ( x)  ( x 3  1)( x 2  2 x  3)
2. Tentukan turunan pertama dari
Jawab :
f ' ( x)  3x 2 ( x 2  2 x  3)  ( x 3  1)(2 x  2)
 3x 4  6 x 3  9 x 2  2 x 4  2 x 3  2 x  2
 5x 4  8x3  9 x 2  2 x  2
3.Tentukan turunan pertama dari
Jawab :
f' ( x) 
1.( x 2  1 )  2 x( x  3 )
( x 1)
2
2
f ( x) 

x3
x2  1
x 2  1  6x  2x 2
( x 1)
2
2

 x 2  6x  1
( x 1)
2
2
.
4.Tentukan turunan pertama dari
f(x)  4x 2 3x
Jawab :
f(x)  4x 2 3x
1
f(x)  (4x2  3x) 2
1
f '(x)  1(4x2 3x) 2 (8x 3)
2
1
f '(x)  (4x  3)(4x 2 3x) 2
2
2
5. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (3x – 6x) (x + 2)
Jawab :
f(x)
= (3x2 – 6x) (x + 2)
Cara 1:
Misal :
U = 3x2 –6x
U’ = 6x – 6
V =x+2
V’ = 1
Sehingga:
’
2
f (x)
= (6x – 6)(x+2)+(3x +6x).1
f ’(x)
= 6x2+12x – 6x – 12+3x2 – 6x
f ’(x)
= 9x2 – 12
f(x)
2
= (3x – 6x) (x + 2)
Cara 2:
’
3
’
2
’
2
2
2
f (x) = 3x + 6x – 6x – 12x
f (x) = 9x +12x –12x – 12
f (x) = 9x – 12
5. Tentukan turunan pertama dari
Jawab :
f (x)  3x  2
4x 1
Cara 1:
Misal :
U
U’
V
V’
= 3x + 2
=3
= 4x - 1
=4
Maka:
f'(x)  U'V -2UV'
v
f '(x)  3(4x 1) (3x 2)4
(4x 1)2
f '(x)  12x 3 12x  8
16x2  8x 1
11
f '(x) 
16x2  8x 1
Soal Latihan 1
Tentukan fungsi turunan pertama dari :
1.
2.
f ( x)  x 1 / 2  3 x 2  1
f ( x)  ( x  1) ( x 3  2 x  1)
3.
x 1
f ( x) 
x 1
4.
x
f ( x)  2
x 1
5.
x2 1
f ( x)  2
x 1
Soal Latihan 2
Tentukan Turunan dari fungsi f(x) di bawah ini :
1. f(x) = 5x4 +2x2 -3x +6
2. f(x) = 2x7 + 5x
3. f(x) = 3x-2 + 4x-3 + 4
4
3
x
 2x 
4. f(x) =
3
2

7
2
3
x 3x
5. f(x) = ( 2x + 3 )2
1 2
6. f(x) = (2  2 )
x
2
3
7. f(x) = 3x  2 x  2 x 
3x
3
2
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Rumus – rumus turunan fungsi trigonometri

jika f(x) = cos x,
maka f ’(x) = – sin x

jika f(x) = sin x,
maka f ’(x) = cos x

jika f(x) = tg x,
maka f ’(x) = sec2 x

jika f(x) = ctg x,
maka f ’(x) = – cosec2 x

jika f(x) = sec x,
maka f ’(x) = sec x tg x

jika f(x) = cosec x,maka f ’(x) = – cosec x ctg x
Contoh 1
Carilah turunan fungsi trigonometri
y  x 2 sin x
Jawab
Misalkan
Maka,
u  x 2  u'  2 x
v  sin x  v'  cos x
y'  u' v  uv'
 (2 x)(sin x)  ( x 2 )(cos x)
 2 x sin x  x 2 cos x
Contoh 2
Carilah turunan fungsi trigonometri
y  sin 5x  cos 6 x  sin 3x
Jawab
y  sin 5x  cos 6 x  sin 3x
y'  (5) cos 5x  (6)( sin 6 x)  (3)(cos 3x)
 y'  5 cos 5x  6 sin 6 x  3 cos 3x
Contoh 3
Carilah turunan fungsi trigonometri
Jawab
Misalkan
sin x
y  tan x 
cos x
y  tan x
u  sin x  u'  cos x
v  cos x  v'   sin x
u ' v  v' u (cos x)(cos x)  (sin x)( sin x)
cos 2 x  sin 2 x
y' 


2
2
(cos
x
)
(v )
cos 2 x

1
1
1
 sec x. sec x

.
2
cos x cos x cos x
 sec 2 x
A. Tentukan fungsi turunan pertama dari
4
2
2
y

cos
4
x
x
x  2x  5
4.
1. y  2

x  2x  3
2.
y   2x  310
3.
y  sin3 x
5.
 x 1
y

 x 1
6.
y = sin x tan [ x2 + 1 ]
2
B. Tentukan turunan kedua dari
1.
y  sin  2x  1
4
2. y   2x  3

3.
x
y
x 1
4.
y  cos2  x
CONTOH
Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:
1.
f(x) = 4sinx – 2cosx
2.
f(x) = 2sinxcosx
Jawab :
1. f(x) = 4sinx – 2cosx
f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx
=4cosx+2sinx
2. f(x) = 2sinxcosx = sin 2x
f ‘(x) = d2x.dsin2x
=2cos2x
LATIHAN :
Tentukan Turunan Fungsi - fungsi berikut :
a.
y  sin (ax  b)
f.
y  3sin2x  4cos2x
b.
y  cos(ax  b)
g.
y  1 - sin 2 x
c.
y  tan ax
h.
y  - 2sin 2 x  1
d.
y  tan (ax  b)
i.
y  cos 2 x  sin 2 x
e.
y  2sinx  4cos2x
j.
y  4cos 2 x - 4
TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI
DENGAN ATURAN RANTAI
DALIL RANTAI :
Jika y  f(u) merupakan fungsi dari u yang dapat diturunkan
dan u  g(x) merupakan fungsi dari x yang dapat diturunkan
serta y  f(g(x)) merupakan fungsi dari x yang dapat diturunkan
maka :
d
y' (x) 
(f(g(x))  f' (g(x)).g' (x)
dx
atau
dy dy du

.
dx du dx
CONTOH
Tentukan Turunan dari y  (4x 2  5 x  3) 6
SOLUSINYA :
U  4x 2  5 x  3 maka y  U6
dy
 6U 5  6(4x 2  5x  3) 5
du
du
dy dy du
 8x  5 

.
dx
dx du dx

 6(4x 2  5x  3) 5 .8x  5

 (48x - 30 )(4x 2  5x  3) 5
LATIHAN :
dy
1. Tentukan
pada soal berikut ini
dx
15
a. y  3u dan u  2x - 1
b.
2.
y  4u dan u  x  2 x
-3
2
Tentukan Turunan fungsi berikut :
a.
f(x)  7x - 2x  5
b.
f(x)  x  3 x  1 
2
2
3
2
Turunan Fungsi Logaritma
Turunan Fungsi Eksponensial
TURUNAN TINGKAT TINGGI

Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).
f



(n)

d
( x) 
f ( n 1) ( x)
dx
Turunan pertama

df  x
f ' (x ) 
dx
d 2 f x 
f " ( x) 
dx 2
Turunan kedua
d 3 f x 
f " ' ( x) 
dx 3
Turunan ketiga

n
d
f x 
Turunan ke-n f ( x) 
dx n
Contoh : Tentukan y ' ' dari
y  4 x3  sin x

Jawab : y'  12 x 2  cos x

n 
maka y' '  24 x  sin x
Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f ’ juga
berupa fungsi, dan dimungkinkan f ’ juga mempunyai
turunan tersendiri yang dinyatakan oleh (f ’)’ = f ’’.
 Fungsi yang f ’’ baru ini disebut turunan kedua dari f
karena dia merupakan turunan dari turunan f .
 Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari
y = f(x) sebagai

Contoh :
Jika f(x) = 3x4 + 7x – 8, tentukan f ’’(x).
Contoh :
Jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), tentukan f ’’(x).
Soal Latihan
A. Tentukan turunan kedua dari
1.
y  sin  2x  1
2.
y   2x  3 4
3.
x
y
x 1
4.
y  cos2  x
B. Tentukan nilai c sehingga f "(c)  0 bila f (x )  x 3  3x 2  45x  6
2
C. Tentukan nilai a, b dan c dari g (x )  ax  b x  c bila g (1) = 5,
g ' (1)  3 dan g ' ' (1)  4
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Definisi: sebuah metode untuk mencari dy/dx tanpa
terlebih dahulu menyelesaikan secara gamblang
persamaan yang diberikan untuk y dalam bentuk x.

Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk
y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara
peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang
berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi
implisit dari x.
Contoh :
1. x3 y 2  x 2  y  10
2. sin( xy )  x 2  y 2  1

Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan
aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.
Contoh
Tentukan dari persamaan x2 + 5y3 = x + 9.
 Penyelesaian.
Lakukan pendiferensialan untuk kedua ruas pada
persamaan.

Contoh :
Tentukan jika diberikan persamaan x2 + 2xy + 3y2 = 4
 Penyelesaian :



Contoh :
Jika x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0, tentukanlah dan di titik
x = 3 dan y = 2.
Penyelesaian: