Integral

Integral
AntiTurunan (Antiderivative)
AntiTurunan dari sebuah fungsi f adl
sebuah fungsi F sedemikian hingga
Diberikan Pada
Pelatihan Guru-Guru Aceh Jaya
5 September 2013
Oleh: Ridha Ferdhiana, M.Sc
F  f
Ex.
AntiTurunan dari
2
adl F ( x)  3x  2
f ( x)  6 x
krn F ( x )  f ( x ).
Integral Tak Tentu
Pernyataan:

f ( x)dx
dibaca “integral tak tentu dari f terhadap x,”
Artinya adl mendapatkan semua antiturunan dari f.
 f ( x)dx
Tanda Integral
Konstanta dari Integrasi
Setiap antiturunan F dari f harus dalam
bentuk F(x) = G(x) + C, dimana C adl
sebuah konstanta.
Perhatikan

6 xdx  3 x 2  C
x disebut peubah integrasi
Integrand
Mewakili semua antiturunan
yang mungkin dari 6x.
Aturan Pangkat dari Integral
TakTentu, Bagian I

Ex.

x 3dx 
x
C
4
  f  g  dx   fdx   gdx
  x  x  dx   x dx   xdx
2
2
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx


3

1
dx  ln x  C
x

x
b
x
b
 dx  ln b  C
e x dx  e x  C
Contoh:
Ex. Dapatkan integral tak tentu dari:
x3 x 2
  C
3
2
(k constant)
x4
x4
2 x dx  2 x dx  2  C 
C
4
2
3
x 1dx 
Integral TakTentu dari ex dan bx
4
Aturan Perkalian dengan Konstan
Ex.

x n 1
n
x dx 
 C if n  1
n 1
Aturan Jumlah dan Kurang
Ex.
Aturan Pangkat dari Integral
TakTentu, Bagian II


u
 3e 
7

 2u 2  6 du
u

1
du  2 u 2 du  6du
u
2
 3eu  7 ln u  u 3  6u  C
3

 3 eu du 7



Integrasi dengan Substitusi
Integrasi dengan Substitusi
Metode integrasi yang berhubungan
dengan aturan rantai. Jika u adl fungsi
dalam x, maka kita bisa mengunakan
formula/persamaan



f 
 du
 du / dx
fdx  
Ex. Dapatkan integral:
Ambil u  x 3  5, maka du  3x 2 dx

u 9 du
du
 dx
3x 2
x3  5
u10

C 
10
10


Let u  5 x 2  7 then


x 5 x 2  7dx 
Ex. Dapatkan
du
 dx
10 x
1 1/ 2
u du
10
Substitusi
 1 u
C

 10  3 / 2 
2
7
15

Integralkan
3/ 2
C
Substitusi
dx
 x  ln x  3
Let u  ln x then xdu  dx
dx
 x  ln x  
3
3/ 2

5x


Tentukan u,
dptkan du

 u 3du
u 2

C
2
 ln x 

2
10
C
Substitusi ulang
Integralkan
Subtitusi
Ex. Dapatkan x 5 x 2  7 dx
∫ 3x 2 ( x3 +5)9 dx
2
C
Ex. Dapatkan

e3t dt
e3t  2
Let u  e3t +2 then

Ekspresi Integral yang
mengandung ax + b
du
 dt
3t
3e
Aturan
  ax  b 
e3t dt 1 1

du
e3t  2 3 u



ln u

3
 C
a( n  1)
1 ax b
e
C
a
ax  b
 c dx 
1 ax b
c
C
a ln c


Dapatkan   x  3 sin x 2  6 x dx
Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri
Penyelesaian:
u=x 2 +6x
du
du
(
)
Jadi
=2x +6=2 x+3 atau dx=
dx
2 ( x+3 )
 cos xdx  sin x  C
 sin xdx   cos x  C
2
sec
 xdx  tan x  C
Substitusi kan kedalam integral, shg


 x  3 sin x 2  6 x dx    x  3 sin u 
  3cos x  2sin x  dx
 3sin x  2 cos x  C
 n  1
1
ln ax  b  C
a
ax  b
 e dx 
Ex. Substitusi
Integral Fungsi Trigonometri
Ex.
n 1
ax  b 

dx 
C
1
ax

b
dx 



C
3
ln e3t  2
n

15

1 
 du


2
x

3




1
1
1
sin udu   cos u  C   cos x 2  6 x  C
2
2
2
16
Substitusi
Ex.
x
2
Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri
 
du
 dx
2
3x
Let u  x 3 then

 tan xdx   ln cos x  C
 cot xdx  ln sin x  C
 sec xdx  ln sec x  tan x  C
 csc xdx   ln csc x  cot x  C
sin x3 dx
 
x 2 sin x 3 dx 
1
sin u  du
3

 
1
1
3
  cos u  C   cos x  C
3
3
17
 tan xdx   ln cos x  C
Mengapa
?
Integral mengandung (ax + b)
Tuliskan tan x sbg (sin x)/(cos x) dan tetapkan
u = cos x, shg:

sin x
tan xdx 
dx
cos x
sin x 
du 

 

u  sin x 
du

u
  ln u  C



18
u  cos x
du
Jadi
  sin x
dx
du
dan dx  
sin x
1
sin
ax

b
dx


cos  ax  b   C

 
a
1
cos
ax

b
dx

sin  ax  b   C



a
Ex.
  ln cos x  C
19
 7 sin  3 x  5  dx
7
  cos  3 x  5   C
3
20
Integral mengandung (ax + b)
TEKNIK PENGINTEGRALAN
1
tan
ax

b
dx


ln cos  ax  b   C



a
1
cot
ax

b
dx

ln sin  ax  b   C



a
1
sec
ax

b
dx

ln sec  ax  b   tan  ax  b   C



a
1
csc
ax

b
dx


ln csc  ax  b   cot  ax  b   C



a
Integration by Parts
(Pengintegralan Perbagian)
21
TEKNIK PENGINTEGRALAN
• Setiap aturan turunan pasti mempunyai
aturan integral yang berhubungan
– Contoh: Aturan Substitusi berhubungan dengan aturan
rantai untuk turunan.
TEKNIK PENGINTEGRALAN
• Aturan integrasi yang berhubungan
dengan aturan kali para turunan adalah
aturan pengintegralan perbagian.
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
• Aturan Perkalian mengatakan, jika f dan g
adalah fungsi yang bisa diturunkan, maka
d
 f ( x) g ( x)  f ( x) g '( x)  g ( x) f '( x)
dx
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
• Penulisan integral tak tentu dari persamaan tsb
menjadi
  f ( x) g '( x)  g ( x) f '( x)  dx  f ( x) g ( x)
• atau
 f ( x) g '( x) dx   g ( x) f '( x) dx  f ( x) g ( x)
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
• Persamaan diatas bisa kita atur kembali spt:
• Jika u = f(x) dan v = g(x).
Rumus 1
– Maka, turunannya adl:
 f ( x) g '( x) dx  f ( x) g ( x)   g ( x) f '( x) dx
du = f’(x) dx and dv = g’(x) dx
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Rumus 2
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Contoh 1
• Shg, dgn aturan substitusi, maka rumus
integral perbagian menjadi:
 u dv  uv   v du
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
• Dapatkan ∫ x sin x dx
– Misal f(x) = x dan g’(x) = sin x dx.
– Maka, f’(x) = 1 dan g(x) = –cos x.
PERHATIKAN
Contoh 1
• Menggunakan rumus 1:
 x sin x dx  f ( x) g ( x)   g ( x) f '( x) dx
 x( cos x)   ( cos x) dx
  x cos x   cos x dx
  x cos x  sin x  C
– Coba turunkan fungsinya.
• Tujuan kita menggunakan pengintegralan
perbagian adl untuk mendapatkan bentuk
integral yg sederhana, jadi jika bentuknya lebih
rumit (sulit) untuk diselesaikan maka
pengintegralan kurang benar.
PERHATIKAN
• Dari contoh 1
• Jika kita pilih u = sin x dan
dv = x dx , maka du = cos x dx dan v = x2/2.
• Jadi, pengintegralan perbagian menjadi:
x2 1 2
 x sin x dx  (sin x) 2  2  x cos dx
– Walapun benar namun x2cos x dx lebih susah diintegalkan.
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
PERHATIKAN
• Jadi, dalam memilih u dan dv, sehrsnya u =
f(x) dipilih sdh sehingga menjadi fungsi yg
lebih sederhana ketika diturunkan.
– Namun, pastikan juga bahwa dv = g’(x) dx bisa
diintegralkan dengan mudah.
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Contoh 2
Contoh 2
• Dapatkan ∫ ln x dx
u  ln x
du 
dv  dx
1
dx
x
vx
dx
 ln x dx  x ln x   x x
 x ln x   dx
 x ln x  x  C
INTEGRAND MENGANDUNG
Substitusi dengan
Selesaikan
MERASIONALKAN SUBSTITUSI
INTEGRAND MENGANDUNG
Selesaikan
Substitusi dengan
Shg akan kita dapatkan
n
√ ax+b
Selesaikan
Substitusi
Shg
MELENGKAPKAN KUADRAT
Selesaikan
Selesaikan
Substitusi
Shg
dan
Jumlahan Riemann
Jika f adl sbh fungsi yg kontinu, maka
jumlahan Riemann dari n bagian yang sama
untuk f sepanjang selang [a, b] didefinisikan
sbg: n 1

k 0
f  xk  x
 f ( x0 )x  f ( x1 ) x  ...  f ( xn 1 )x
  f ( x0 )  f ( x1 )  ...  f ( xn 1 ) x
dimana a  x0  x1    xn  b adl bagian
Integral Tentu
Jika f adl fungsi yg kontinu, integral tentu f
dari a ke b didefinisikan sbg
b
n 1
f  xk  x

a f ( x)dx  nlim

k 0
fungsi f disebut integrand, angka a dan b
disebut limits dari integrasi, dan peubah x
disebut peubah dari integrasi.
x  (b  a) / n
Pendekatan Integral Tentu
Integral Tentu
b
 f ( x)dx
Ex. Hitung jumlahan Riemann utk
2
integral
n 1

x 2 dx menggunakan n = 10.
0
9
 1

5
f  xk  x   xk 2 


k 0
k 0
  (1/ 5)2  (2 / 5)2  ...  (9 / 5)2 (1/ 5)
 2.28
a
dibaca “integral dari a ke b dari f(x)dx.”
Peubah x bisa dirubah menjadi peubah apa
saja, contoh
b
b
 f ( x)dx   f (t )dt
a
a
Area dibawah Kurva
Memperkirakan Area
y  f ( x)
Lebar:
ba
x 
n
(n persegi
panjang.)
2
Perkirakan area dibawah kurva f ( x)  2 x on  0, 2
Menggunakan n = 4.
a
A  x  f ( x0 )  f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x3 )
b
Ide: Mendapatkan area sebenarnya
(tepat/persis) dibawah kurva sbh fungsi.
Metode: Menggunakan tak hingga
persegipanjang dgn lebar yg sama dan
menghitung area dgn limit.
Area Dibawah Kurva
A
1
f  0 
2 
 1
  3
f    f  1  f   
 2
  2
A
1
1
9
7
0


2


2 
2
2
2
Teorema Dasar Kalkulus
y  f ( x)
Jika f adl fungsi yg kontinu pada [a, b].
x
1. If A( x)   f (t )dt , then A( x)  f ( x).
a
b
f kontinu, taknegatif pada [a, b]. Area adl
Area  lim
n 


b
a
n 1
 f  x  x
k
k 0
f ( x)dx
a
2. Jika F adl sebarang antiturunan yang
kontinu dari f dan bisa didefinisikan pada
[a, b], maka

b
a
f ( x) dx  F (b)  F (a )
Teorema Dasar Kalkulus
Mengevaluasi Integral Tentu
Ex. Hitung
x

Ex. If A( x)   t  5tdt , find A( x).
3 4

5
1
a
 2x 

1 
2 x   1 dx

1
x 


5

5
1 
 1 dx   x 2  ln x  x
1
x 

A( x)  3 x 4  5 x
 
1
0
2x x2  3

1/ 2
dx
 2x  x
0
2
 3x

1/ 2
4
Menghitung Area
Ex. Dapatkan area yg dibatasi oleh sumbu x,
2
garis vertikal x = 0, x = 2 dan kurva y  2 x .
let u  x 2  3 x
du
then
 dx
2x
1

 28  ln 5  26.39056
Substitusi untuk Integral Tentu
Ex. Hitung
 
 52  ln 5  5  12  ln1  1
Perhatikan bhw
limit integrasi
berubah
2
0 2x dx
dx   u du
1/ 2
0
4
16
2
 u 3/ 2 
3
3
0
2
0
3
2
2x3 adl tak negatif pada [0, 2].
 
 
1
1
1
2 x dx  x 4  24  04
2 0
2
2
3
Antiturunan
8
Teorema Dasar Kalkulus
Penggunaan Integral : Luas Kurva
Dapatkan area dibawah kurva
Penggunaan Integral : Luas Kurva
y=x 2 +2
Dapatkan area dibawah kurva
y= √ x−1
y 2 =x−1
x= y 2 +1
Sumbu y, y = 1 dan y= 5
Dari x = 1 ke x = 2
2
Area=∫ ( x 2 +2)dx
[
=
=
1
3
x
+2x
3
2
]
5
Area=∫ ( y 2 +1)dy
1
1
13
3
=45
Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva
5
[ ]
y3
=
+y
3
1
1
3
Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva
3
Dapatkan area yang dibatasi oleh y=x , x=0, dan y=3
y=x 3 , jadi x= y 1/3
d
Area=∫ f ( y)dy
c
b
b
Area=Luas=∫ [ f ( x 2 )−f ( x 1 )]dx=∫ ( y 2− y 1 )dx
a
a
Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva
Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva
2
Dapatkan area yang dibatasi oleh y=x +5x , dan y=3−x
d
Area=∫ f ( y)dy
c
3
1/3
=∫ ( y )dy
0
[
3 4 /3
= y
4
3
]
2
b
Area=∫ ( y 2− y 1 )dy
a
kurva
y=3−x 2
2
0
diatas y=x +5x
=3.245
Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva
Penggunaan Integral :Volume Benda Putar
Titik perpotongan terjadi pada
x 2 +5x=3−x 2 → x=−3, atau x=0.5
b
Area=∫ ( y 2− y 1 )dy
a
0.5
=∫ [ (3−x 2)−( x 2 +5x) ] dx
−3
0.5
Diberikan area yang dibatasi oleh y = 3x, sumbu x dan x=1
=∫ [ 3−5x−2x ] dx
2
−3
[
= 3x−
2
5x 2x
−
2
3
Diputar mengelilingi sumbu-x, 360 derajad
3 0.5
]
−3
=14.29
Penggunaan Integral :Volume Benda Putar
Penggunaan Integral :Volume Benda Putar
b
V =π ∫ y 2 dx
1
a
=π ∫ (3x)2 dx
0
1
=π ∫ 9x 2 dx
0
Menurut integral Riemann
V =π r 2 h
V =π y 2 dx
b
b
V =π ∫ y dx
2
a
V =π ∫ f 2 ( x)dx
a
3 1
=π [ 3x ]0=3 π