g. derivation of the option pricing formula

G. DERIVATION OF THE OPTION PRICING
FORMULA- THE BINOMIAL APPROACH
Selain pendekatan yang dilakukan oleh Black-Scholes dalam
memformulasikan harga option, cara lain berdasar Binomial juga
dilakukan oleh Cox,Ross, dan Rubinstein (1979) dan Rendleman dan
Barter (1979) secara sendiri-sendiri. Cara Binomial lebih mudah
dipahami dan lebih memberikan solusi.
KRESNOHADI ARIYOTO
1
1.Model Binomial untuk Harga Call Option yang Underlanya Saham
Asumsi: pasar modal efisien dan tidak terjadi arbitrage opportunities.
Harga saham, S, mengikuti multiplicative binomial generating process seperti yang
tampak pada Fig.7.11. berikut ini.
S=Harga saham
q=0.5=prob harga saham akan bergerak ke atas
1+rf =1.1
u=1.2=multiplicative upward movement in the stock price (u>1+rf > 1),
d=0.67=multiplicative downward movement in the stock price (d<1<1+rf)
KRESNOHADI ARIYOTO
2
Di akhir periode harga saham dapat
meningkat menjadi uS dengan
prob.q (0.5), $24.00. atau turun
menjadi $13.40. S tidak akan
negatif dan batas atas harga saham
tidak ada. Asumsi lain yang penting
adalah u> 1+rf > d. Jika tidak ada
asumsi ini maka ada arbitrage
riskless opportunity. rf > 0.
Ada call option,c, dengan X=$21
underlanya saham. Payoff tampak
pada Fig 7.12. Dengan prob 0.50
harga call eropa dapat ke $3 atau
turun ke $0.
KRESNOHADI ARIYOTO
3
Dengan peluang seperti itu (ke $3 dan $0, berapa harga c yang kita mau beli. . . .?
Untuk menjawabnya, kita membuat risk free hedge portfolio dulu terdiri dari 1 lbr
saham, S dan m lbr call option yang underlanya saham tsb. Payoff portfolio kita ada di
Fig 7.13.
Jika diakhir periode payoff-nya sama, maka portfolio tsb adalah risk-free hedge.
Jadi uS –mcu= dS – mcd
Dari persamaan tsb, m = hedge ratio, dapat dicari yaitu m = S(u-d) / (cu – cd) - - - - (7.20)
Dengan angka-angka m= ($20(1.2-0.67)/($3-$0) = 3.53.
KRESNOHADI ARIYOTO
4
Artinya riskless hedge portfolio terdiri dari 3.53 call option dan 1 lbr saham sebagai
underla-nya . Payoff dalam kondisi apapun akan sama.
________________________________________________________________
State of Nature
Portfolio
Payoff
_________________________________________________________________
Bagus
uS – mcu
1.2($20)-3.53($3) = $ 13.40
Jelek
dS - mcd
0.67($20)-3.53($0)=$13.40
_________________________________________________________________
Jika kita ingin tahu besarnya rate of return dari investasi ini, kita anggap harga call
option yang kita beli adalah c dan investasi awal kita adalah S-mc. Sementara itu
riskless hedge portfolio selama periode rf menghasilkan uS-mcu , sehingga
(1+rf)(S-mc) = uS – mcu . Dari persamaan ini dapat dicari rumus untuk c, yaitu
S[(1+rf) – u] + mcu
c=
- - - - - - - - - - -(7.21)
m (1+rf)
Kita tahu bahwa m = S(u-d)/(cu-cd), karena itu kita bisa mendapatkan rumus untuk c,
sbb.
c=[cu {(1+rf)-d)/(u-d)} + cd {(u-(1+rf))/(u-d)}] ÷ (1+rf) - - - - - - - - (7.22)
KRESNOHADI ARIYOTO
5
Jika {(1+rf)-d}/(u-d) = p, dan (1-p)={(u-(1+rf)}/(u-d), maka c dapat menjadi lebih sederhana yaitu
c=[pcu+(1-p)cd]÷(1+rf) - - - - - - - - - - - - - - (7.23)
Mengingat nilai 0< p < 1, maka p memenuhi syarat sebagai suatu probabilita, dan p kita sebut
sebagai risk-neutral probability. Nyatanya p adalah nilai q yang terjadi pada kondisi ekuilibrium
jika saja preferensi investornya risk-neutral. Berdasar Fig.7.9 berikut ini,
risk-neutral investor hanya
membutuhkan risk-free-rate
dari investasinya di saham.
Karena itu:
(1+rf) S = qS + (1-q) dS
sehingga q = {(1+rf)-d}/(u-d). Padahal p= {(1+rf)-d}/(u-d).
Jadi, p=q untuk investor yang risk-neutral !!!, dan berdasar pers 7.23, tsb di atas,
maka harga call option eropa tsb dapat diartikan sebagai ekspektasi dari seorang risk-neutral
investor atas future value dari investasinya pada call option eropa. Tentu saja, hal tsb tidak berarti
bahwa rate of return dari investasinya pada call option eropa, hanya sebesar risk-free rate saja.
Perlu dicatat bahwa risiko investasi pada call option eropa, sama risikonya dengan membeli
saham dengan skema margin. Artinya
“Buying on margin means that part of the investment in the stock is borrowed. In fact the exact payoffs of the
call option can be duplicated by buying
(cu-cd)/[(u-d)S] shares of stock and [ucd-dcu]/(u-d)(1+rf) units of risk free bond. See Cox and Rubinstein (1979)”
KRESNOHADI ARIYOTO
6
Berdasar rumus c=[pcu+(1-p)cd]÷(1+rf) pada pers (7.23) dan dengan angka-angka dari
contoh kita, dimana cu=$3, cd=$0, u=1.2, d=0.67, maka => p=(1.1-0.67)/(1.2-0.67),
sehingga c=$2.2126.
Dengan diketahuinya harga call option eropa, maka dapat dihitung berapa dollar yang
dibutuhkan untuk investasi pada hedge portfolio tsb dimana payoff nya $13.40 dan
menghasilkan return sebesar risk-free rate. Untuk itu ingat kembali pada Fig 7.11.
berikut ini. Portfolio hedge terdiri dari 1 lbr saham ($20) dan 3.53 lbr call option yang
underlanya saham tsb.
Investasi kita dapat dihitung yaitu S-mc=$20 – 3.53 ($2.2126) = $12.19,
dan rate of return dari investasi = $13.40 ÷ $12.19 = 1.1 yang tidak lain 1+rf
Besarnya nilai call option eropa, sangat tergantung pada hedge portfolio dan nilai
yang tepat dari call option tsb agar rate of return betul-betul sama dengan rf .Jika
tidak, bisa terjadi risk-free arbitrage profit.
KRESNOHADI ARIYOTO
7
Terdapat 3 hal yang menarik dari membuat formula suatu call option eropa.
1. Variabel q tidak mempengaruhi besarnya nilai call option eropa, besarnya probabilita
obyektif dari harga saham bergerak ke atas. Konsekuensinya, walaupun investor
mempunyai ekspektasi bermacam-macam terhadap besarnya q, namun investor
tetap meyakini bahwa harga call mereka itu tergantung pada besarnya u,S, X, dan rf
pada 1 periode. Harga saham itu sendiri merupakan berbagai harapan atas besarnya
q
2. Pengaruh dari preferensi risiko investor tidak relevan ketika membuat rumus untuk
menilai harga call option. Yang relevan adalah memperhatikan keinginan investor
untuk meningkatkan kekayaannya supaya investor tidak melakukan arbitrage profit
3. Satu-satunya random variable yang diperhitungkan adalah harga saham itu sendiri.
Hal tsb tidak tergantung pada portfolio pasar (yang terdiri dari seluruh sekuritas di
suatu pasar modal)
Apa yang sudah dijelaskan tsb diatas, semata-mata penilaian harga call option eropa
untuk 1 periode transaksi option. Bagaimana menentukan harga option eropa ketika
transaksi lebih dari 1 periode?
KRESNOHADI ARIYOTO
8
Untuk 2 periode transaksi, Fig 7.14 dan Fig 7.15 memperlihatkan hal tsb.
Diasumsikan two-period risk free rate sebagai (1+rf)² (This is equivalent to asuming
a flat term structure of interest rate)
KRESNOHADI ARIYOTO
9
Kita tahu pers 7.23 –bukan pers 7.19 adalah rumus untuk menilai besarnya harga call
option eropa yaitu c=[pcu+(1-p)cd]÷(1+rf) untuk transaksi 1 periode. Harga-harga call
option eropa diakhir 1 periode baik jika naik maupun turun adalah:
cu=[pcuu + (1-p)cud] ÷ ( 1 + rf), dan cd=[pcdu + (1-p)cdd] ÷ ( 1+ rf) - - - - - -(7.24)
Selanjutnya kita dapat membuat risk-less hedge portfolio pada periode pertama agar
tidak terjadi arbitrage opportunities. Present value dari portfolio tsb adalah
c = [pcu + (1-p) cd] ÷ ( + rf)
Dengan mensubstitusikan cu dan cd dari pers 7.24, di peroleh harga call option eropa 2
periode yaitu
c = [ p² cuu + p(1-p) cud + (1-p) pcdu + (1-p)² cdd] ÷ ( 1+ rf)² - - - - - -(7.25)
Rumus tsb di atas merupakan penerapan model 1 periode yang dilipat gandakan
(applying the one-period model twice) – One can easiliy imagine how this iterative technique lends itself to a
computer program- Term didalam tanda kurung pada pers 7.25 tidak lain adalah binomial
expansion dari term pada pers 7.23. model binomial untuk 1periode. Nilai-nilai yang
mungkin dipunyai oleh cuu, cud, dan cdd adalah
cuu= MAX[0,u²S-X], cud=MAX[0,ud S-X], dan
udd=[0,d²S – X].
Pers 7.25 dapat dikatakan sebagai expected payoff dari 2 periode dengan risk neutral
probability, p dan 1-p, yang didiskonto dengan risk-free rate.
KRESNOHADI ARIYOTO
10
2. A Binomial Model for Pricing Call Options on Bonds
Selama jangka waktu berlakunya bond, nilainya berakhir secara konvergen ke face
valuenya sebaliknya saham justru mempunyai berbagai kemungkinan harga
sebagaimana pada Fig 7.14 (bukan Fig 7.15- wah salah lagi nih buku)
Mengingat harga bond tergantung pada risk free rate, maka risk-free rate diasumsikan
mengikuti binomial stochastic process seperti terlihat pada Fig 7.16.
KRESNOHADI ARIYOTO
11
Sebagai contoh, rf=10%, u=1.2, d=0.85, prob bergerak harga rf keatas dan
kebawah sama 50/50, q=0.5. Default-free bond D=$1000, dan membayar
coupon setahun $ 100, dan umur bond 3 tahun. Harga bond adalah present
value dari cash flow ke depan yaitu
Bt = (q Bd,t+1 + (1-q) Bu,t+1 + coup) / (1+rf) - - - - - - - - (7.26)
Harga bond naik jika rf turun dan sebaliknya
KRESNOHADI ARIYOTO
12
Bt = (q Bd,t+1 + (1-q) Bu,t+1 + coup) / (1+rf) - - - - - - - - (7.26)
Harga bond naik jika rf turun dan sebaliknya Harga bond stochastic sampai habis masa
hidupnya, karena rf juga stochastic, seperti Fig 7.17 berikut ini.
KRESNOHADI ARIYOTO
13
Anggaplah ada call option yang underlanya default free bond tsb, dengan X=$1000.
Harga call = ct pada suatu saat t. Saat di eksersais payoff nya tampak pada Fig 7.18
berikut ini.
Jika call option mempunyai waktu hidup sama lamanya dengan maturity default
free bond, maka call option akan mempunyai payoff yang sama pada apapun state
of nature-nya namun juga dapat saja tidak berharga lagi. Call option yang underlanya default free bond, harusnya mempunyai umur yang lebih singkat dibandingkan
dengan umur bond itu sendiri. Karena itu bond di Fig 7.18 merupakan call dengan
periode hidup 2 periode sedangkan bond sebagai underla-nya hidup selama 3
periode berakhir.
KRESNOHADI ARIYOTO
14
Agar dapat merumuskan besarnya nilai dari call option eropa yang underla-nya bond, harus
dibuat lagi portfolio risk free hedge yang terdiri dari 1 lbr bond dikurangi dengan m lembar
call option yang underla-nya bond tsb. Hedge risk free portfolio akan mempunyai payoff yang
besarnya sama pada kondisi apapun baik harga bond naik atau turun. Dengan demikian
besarnya payoff saat harga bond keatas dan kebawah harus sama, sebagai berikut ini.
Bd,t+1 + coup – mcd,t+1 = Bu,t+1 + coup –mcu,t+1
Hedge ratio, m, adalah m=(Bd,t+1 - Bu,t+1 ) / (cd,t+1 - cu,t+1) - - - - - -(7.27)
Kita juga tahu bahwa nilai portfolio sekarang jika dikalikan dengan (1+rf) akan sama dengan
payoff risk less hedge portfolio pada akhir periode bond, sehingga dapat dibuat persamaan
berikut.
(Bt – mct)(1+rf) = Bd,t+1 + coup - mcd,t+1 - - - - - - - - - - - - -(7.28)
Jika harga m dimasukkan ke pers 7.28, dapat diperoleh besarnya harga call option eropa yang
underla-nya bond, yaitu: -Ct=[Bd,t+1 + coup - Bt(1+rft)] cu,t+1 – [(Bu,t+1 + coup) - Bt(1+rft)] cd,t+1 ÷ [(Bd,t+1 - Bu,t+1)(1+rf)]- -(7.29)
Jika harga-harga dari variabel-variabel dalam contoh kita, dimasukkan dapat diketahui harga
call saat t=0 adalah $89.069
KRESNOHADI ARIYOTO
15
3. A Digreesion on The Binomial Distribution, p.224, skipped
4.The Complete Binomial Model for Pricing Call Options on Stock
Untuk mengeneralisasi T periode penggunaan Binomial untuk pricing option, adalah
mudah dengan cara mengetahui besarnya probabilitas dari outcome akhir, dikalikan
dengan besarnya nilai outcome dan mendiskontonya dengan risk free rate selama
periode T ke present value. Bentuk umum dari payoff adalah
MAX [0,un dT-n S-X],
Dimana T = lamanya periode
n=banyaknya pergerakan keatas dari harga saham
(n=0,1,2,……T).
Bentuk umum besarnya probabilitas untuk setiap payoff adalah dist Binomial sbb
B(n|T,p) = T!/(T-n)!n! pn (1-p)T-n
Mengalikan besarnya payoff dengan besarnya probabilitas dan menjumlahkan
seluruh payoff yang mungkin, diperoleh rumus:
c={ T∑n=0 T!/((T-n)! n! ) pn (1-p)T-n MAX [0,un dT-n S – X]} ÷ (1+rf )T - - - - (7.30)
KRESNOHADI ARIYOTO
16
Pers (7.30) merupakan pernyataan yang lengkap dari memperhitungkan nilai option
dengan menggunakan model Binomial. Namun, salah satu dari tujuan pembahasan
ini adalah membandingkan antara penetapan harga option berdasar Binomial yang
diturunkan secara diskrit, dengan model Black- Scholes yang justru diturunkan
berdasar waktu yang kontinyu. Karena itu pada pembahasan selanjutnya akan
ditunjukkan cara mengubah model Binomial supaya dapat dibandingkan dengan cara
Black-Scholes.
Pertama-tama, kita terapkan adanya kenyataan bahwa banyak payoff final dari call
option yang selesai menjadi nol karena out-of the money. Jika a adalah integer
(bilangan bulat) positif yang mecakup seluruh state of nature dimana option tidak
punya nilai yang negatif (bernilai positif). Dengan demikian, pers (7.30) dapat ditulis
kembali sebagai berikut.
c={ T∑n=0 T!/((T-n)! n! ) pn (1-p)T-n [un dT-n S – X]} ÷ (1+rf )T - - - - (7.31)
Jika pada pers (7.30) n=0,…..T, sekarang menjadi n=a,….T. Juga MAX [0,un dT-n S – X]
dapat dihapuskan karena dalam perhitungan harga option, hanya payoff yang positif
saja yang diperhatikan.
KRESNOHADI ARIYOTO
17
Selanjutnya pers (7.31) dipisahkan menjadi dua bagian sebagai berikut.
c=S [ T∑n=0 T!/((T-n)! n! ) pn (1-p)T-n [un dT-n S ]
– X (1+rf )-T [ T∑n=0 T!/((T-n)! n! ) pn (1-p)T-n ] - - - - - - - - -(7.32)
Bagian kedua adalah nilai eksersais yang didiskontokan, yaitu X(1+rf)-T , dikalikan dengan
dist Binomial komplementer, B(n≥ a|T,p). Yang dimaksud dengan complementary
Binomial probability adalah probabilita kumulatrif untuk berada dalam kondisi in-themoney options (misalnya dimana n≥ a) dimana probabilita-probabilita adalah
probabilita hedging (atau risiko netral) ditentukan oleh risk-free hedge portfolio. Bagian
pertama adalah harga saham dikalikan dengan probabilitas Binomial komplementer.
Bagian itu dapat diinterpretasikan dengan cara yang sama sbb
p’ Ξ [u/(1+rf )]p dan 1-p’ = [d/(1+rf )](1-p)
Selanjutnya didapat
pn (1-p)T-n un dT-n /(1+rf )T = [u.p/(1+rf)]n [{d/(1+rf)} (1-p)]T-n = (p’)n (1-p’)T-n
Model Binomial untuk call option Eropa menjadi sbb
c=S B(n≥ a |T,p’) – X(1+rf)-T B(n≥a|T,p) - - - - - - - - - - (7.33)
KRESNOHADI ARIYOTO
18
c=S B(n≥ a |T,p’) – X(1+rf)-T B(n≥a|T,p) - - - - - - - - - - (7.33)
dimana
pΞ [(1+rf) – d]/(u-d) dan p’ Ξ [u/(1+rf)] p,
aΞ integer yang tidak negatif terrendah yang nilainya lebih besar dari
ln(X/Sdn)ln(u/d)
Dan jika a<T, maka c=0
B(n≥a|T,p) = probabilita komplementer Binomial bahwa n≥a.
Fungsi dist Binomial komplementer merupakan probabilita dimana jumlah dari
random variabel sebanyak n, dengan setiap variabel randomnya dapat mempunyai
nilai 1 dengan probabilita p dan 0 dengan probabilita (1-p), akan lebih besar dari
atau sama dengan a. Secara matematik, hal tsb dapat dinyatakan dengan:
B(n≥ a|T,p) = T∑n=a T!/[(T-n)! n! ] (p(1-p)T-n )
dimana T=jumlah banyaknya periode waktu.
Dari per (7.33) dapat dipahami bahwa harga call option meningkat saat harga
saham, S, meningkat dan menurun jika harga eksersais, X, meningkat.
KRESNOHADI ARIYOTO
19
Dapat ditambahkan, bahwa risk-free-rate, rf , banyaknya periode waktu
sebelumm option sampai ke maturiti-nya, T, dan varians dari dist Binomial,
б² = Tp(1-p), berdampak pada nilai call option. Jika risk free rate meningkat,
dampak utamanya adalah padanilai diskonto dari harga eksersais, yaitu
X(1+rf)-n , dan hal tsb meningkatkan nilai call (sekalipun ada dampak yang
kedua berupa p dan p’ menurun ketika rf meningkat). Meningkatnya lama
maturity. T, jelas akan meningkatkan harga call. Kita harus ingat bahwa nilai
call option sama dengan nilai diskonto dari payoff final dikalikan dengan
probabilita masing-masing hedging probabilities. Lamanya maturity tidak
merobah besarnya hedging probabilities, p. Namun hal tsb menyebabkan
lebih banyaknya payoff yang positif, karena dari pers (7.32) ada integer, a,
yang nilainya menjadi batas payoff payoff yang positif, yang justru akan
menurunkan nilai payoff tsb, ketika T makin lama (makin besar). Juga nilai
ekspektasi dari payoff Binomial yaitu E(n) = pT, akan meningkat dengan
meningkatnya T. Akhirnya, nilai call akan meningkat dengan meningkatnya
varians Binomial, VAR(n)=Tp(1-p). Hal tsb dimungkinkan karena ketika size
dari harga saham berobah, u, naik, maka varians juga naik dari dist
Binomial. Varians yang lebih besar meningkatkan perobahan atas harga
saham sehingga melampaui harga eksersais pada saat payoff final, karena
itu harga call meningkat.
KRESNOHADI ARIYOTO
20
Dari semua itu, intuisi dibalik rumus call option, yaitu pers (7.33) adalah nilai
dari call option sama dengan harga saham, DS, dikonversi kedalam suatu
posisi dari risk adjusted dari sebuah call option dengan mengalikannya
dengan satu sepanjang hedge ratio, B(n≥a|T,p’), kemudian mengurangi
present value dari harga eksersais X(1+rf)-T dibobot dengan probabilitas
bahwa option akan mature pada kondisi in-the-money, B(n≥a|T,p). Harap
dicatat, bahwa p’ digunakan sebagai posisi risk-adjusted dan p sebagai
probabilita obyektif dari akhir yang berada pada kondisi in-the-money.
Lainnya baca sendiri karena sudah mendapat landasan yang cukup
KRESNOHADI ARIYOTO
21