Barisan dan Deret Geometri

Barisan dan Deret Geometri
1. Pengertian barisan dan deret geometri
Pada setiap barisan di atas, tampak bahwa perbandingan dua suku berurutan selalu tetap.
Barisan bilangan yang mempunyai ciri seperti itu disebut Barisan Geometri, dan
perbandingan dua suku berurutan itu disebut rasio yang biasa dilambangkan dengan huruf
r.
Misal :
4
a) 1, 4, 16, . . . . . . . . . ., r = 1 =
8
16
4
4
=4
1
b) 16, 8, 4, . . . . . . . . . .,r = 16 = 8 = 2
Suku pertama dari barisan geometri biasanya dilambangkan dengan huruf a.
Contoh 1
Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan geometri berikut :
1. 1, 2, 4, 8, . . . . . .
2. 2, 6, 18, 54, . . . . .
3. 3, -6, 12, -24, . . . . . .
Jawab :
1. 1, 2, 4, 8, . . . . . .
2
suku pertama : a = 1 dan rasio : r = 1 = 2
2. 2, 6, 18, 54, . . . . .
suku pertama : a = 2 dan rasio
6
:r=2=3
3. 3, -6, 12, -24, . . . . . .
suku pertama : a = 3 dan rasio
; r=
−6
3
= -2
2. Suku Ke – n Barisan Geometri
Secara umum barisan geometri didefinisikan sebagai berikut:
𝑼𝟏 , 𝑼𝟐 , 𝑼𝟑 , ……………,𝑼𝒏 disebut barisan geometri untuk n bilangan asli dan n > 1
dan berlaku :
𝑼𝒏
r=𝑼
𝒏−𝟏
1
dengan :
𝑼𝟏 = suku pertama
𝑼𝟐 = suku kedua
𝑼𝟑 = suku ketiga
.
.
.
𝑼𝒏 = suku ke - n
Dari bentuk umum barisan geometri 𝑼𝟏 , 𝑼𝟐 , 𝑼𝟑 , . . .,𝑼𝒏
𝑼𝟏 = a
𝑼𝟐 = 𝑼𝟏 .r
= ar
𝑼𝟑 = 𝑼𝟐 .r
= ar.r
= a𝑟 2
𝑼𝟒 = 𝑼𝟑 .r
= a𝑟 2 .r
= a𝑟 3
.
.
.
𝑼𝒏 = a𝑟 𝑛−1
Jadi pola bilangan barisan geometri adalah
𝑼𝟏 , 𝑼𝟐 ,
a,
ar,
𝑼𝟑 ,
a𝑟 2 ,
𝑼𝟒 ,
𝑼𝒏
........ .
a𝑟 3 , . . . .. . . . . .
a𝑟 𝑛−1
Jadi rumus suku ke – n dari barisan geometri adalah
𝑼𝒏 = a𝒓𝒏−𝟏
Dengan : n = banyak suku, n ∈ bilangan asli
a = suku pertama
r = rasio atau perbendingan
𝑈𝑛 = suku ke – n
Contoh 2
Tentukan rumus suku ke – n dan suku ke – 7 pada barisan geometri : 1, 2, 4, 8, . . . . .
Jawab :
a = 1 dan r = 2
2
Rumus suku ke – n
𝑼𝒏 = a𝒓𝒏−𝟏
:
= 1.𝟐𝒏−𝟏
𝑼𝒏 = 𝟐𝒏−𝟏
: 𝑈7 = 27−1
Suku ke – 7
𝑈7 = 26
𝑈7 = 64
Contoh 3
Suku pertama dari suatu barisan geometri sama dengan 128, sedangkan suku ke – 4 sama
dengan 16,
a) Carilah rasio barisan geometri tersebut
b) Carilah suku ke – 6
c) Suku keberapakah yang nilainya sama dengan 1?
Jawab :
a) Rasio barisan geometri tersebut
a = 128
….(i)
𝑈4 = 16 = a𝑟 3
….(ii)
Persamaan (ii) dibagi persamaan (i) diperoleh
𝑈4
=
𝑎
𝑎.𝑟 3
16
𝑎
= 128
1
1
𝑟 3 = 8 = (2)3
𝟏
𝟏
r = 𝟐 (rasio = 𝟐 )
b). Suku ke – 6
1
𝑈6 = a𝑟 5 = 128. (2)5
1
= 128. 32 = 4
c) Suku yang nilainya sama dengan 1?
𝑈𝑛
=1
a𝒓𝒏−𝟏
=1
1
128. (2)𝑛−1 = 1
1
(2)𝑛−1
1
= 128
(2)𝑛−1
1
= (2)7
1
n–1
=7
3
(suku ke- 6 adalah 4)
n
=8
Jadi, 1 adalah nilai dari suku ke – 8
Contoh 4
Diketahui barisan geometri dengan suku pertama a = 1 dan 𝑈7 = 64. Tentukan suku
ke –
10 barisan itu.
Jawab :
𝑈7
𝑎
=
𝑎.𝑟 6
𝑎
=
64
1
𝑟 6 = 64
𝑟 6 = (2)6
r =2
Suku ke – 10 = 𝑈10 = a.𝑟 9
𝑈10 = 1.(2)9 = 512
3.
Jumlah n suku pertama deret geometri
Jika 𝑼𝟏 + 𝑼𝟐 + 𝑼𝟑 + 𝑈4 + . . . + 𝑼𝒏 adalah deret geometri. Jika jumlah n suku pertama
deret geometri dilambangkan dengan 𝑆𝑛 , maka 𝑆𝑛 dapat ditentukan dengan rumus :
𝑆𝑛 =
𝑎(𝑟 𝑛 −1)
𝑟−1
untuk r > 1
,
atau
𝑆𝑛 =
𝑎(1−𝑟 𝑛 )
1−𝑟
untuk r < 1
,
Dengan : n = banyak suku, n ∈ bilangan asli
a = suku pertama
r = rasio atau perbandingan
𝑆𝑛 = Jumlah n suku pertama deret geometri
Contoh 5
Hitunglah jumlah 7 suku pertama pada deret geometri berikut ini.
a) 1 + 3 + 9 + . . . . . .
4
b) 16 + 8 + 4 + . . . . .
Jawab :
8
a. a = 1 dan r = 3
Oleh karena r > 1 maka rumus yang
digunakan adalah
𝑆𝑛 =
𝑆7 =
Oleh karena r < 1, maka rumus
yang digunakan adalah :
𝑎(𝑟 𝑛 −1)
𝑆𝑛 =
𝑟−1
1(37 −1)
3−1
𝑆7 =
1(2187−1)
𝑆7 =
1(2186)
𝑆7 =
2186
1
b. a = 16 dan r = 16 = 2
𝑆7 =
2
𝑆7 =
𝑎(1−𝑟 𝑛 )
1−𝑟
1
16(1−( )7 )
1−
16(1−
1
2
2
2
1
2
1
)
128
127
𝑆7 = 32.(128)
2
127
𝑆7 = 1.093
𝑆7 =
Jadi, jumlah 7 suku pertama deret
𝑆7 = 314
geometri itu adalah 1.093
4
3
Jadi, jumlah 7 suku pertama
deret itu
Contoh 6
Hitunglah jumlah deret geometri 3 + 6 + 12 + . . . . . . . + 192
Jawab :
a = 3, r = 3 = 2 dan 𝑈𝑛 = 192
𝑆𝑛 =
𝑎(𝑟 𝑛 −1)
𝑟−1
𝑈𝑛
𝑆7 =
3(27 −1)
2−1
𝑆7 =
3(128−1)
1
6
= 192
𝑎. 𝑟 𝑛−1 = 192
3. 2𝑛−1 = 192
2𝑛−1 =
2𝑛−1
𝑆7 = 3(127)
192
3
𝑆7 = 381
= 26
Jadi, jumlah deret geometri itu adalah
𝑛−1 =6
381
𝑛 =6+1
𝒏 =7
5
Contoh 7
Jumlah deret geometri 2 + 22 + 23 + . . . . . + 2𝑛 = 510. Carilah nilai n.
Jawab :
a = 2, r =
22
2
= 2 dan 𝑆𝑛 = 510
𝑎(𝑟 𝑛 −1)
𝑟−1
2(2𝑛 −1)
2−1
2(2𝑛 −1)
1
= 510
= 510
= 510
2(2𝑛 - 1) = 510
2𝑛 - 1
=
510
2
2𝑛 - 1 = 255
2𝑛 = 255 + 1
2𝑛 = 256
2𝑛 = 28
n =8
Jadi, nilai n = 8
4. Suku Tengah Barisan Geometri
Dalam suatu barisan geometri, agar terdapat suku tengah maka banyaknya suku pada
barisan geometri haruslah ganjil.
Misalkan 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑢4 , … , 𝑢𝑛 adalah suatu barisan geometri dengan banyak
suku ganjil, maka suku tengah barisan tersebut adalah:
𝑼 𝒕 = √ 𝒖𝟏 . 𝒖𝒏
Dengan : 𝑈𝑡 = Suku tengah
𝑢1 = Suku pertama (a)
𝑢𝑛 = Suku terakhir atau suku ke-n
6
Contoh 7
Ditentukan barisan geometri
1
4
1
1
, 8 , 2 , . . . . , 128. Banyak suku pada barisan geometri ini
adalah ganjil.
a) Carilah suku tengah barisan tersebut.
b) Suku keberapakah suku tengahnya itu?
c) Berapakah banyaknya suku barisan itu?
Jawab
b) 𝑈𝑘 = 𝑎𝑟 𝑘−1
a) Diketahui:
Suku pertama a = 𝑢1 =
1
1
4 = (8)(2)𝑘−1
8
Rasio r = 2
32 = 2𝑘−1
Suku terakhir 𝑢𝑛 = 128
25 = 2𝑘−1
Ditanya: 𝑼𝒕 = ⋯ ?
5=k–1
Penyelesaian
k=6
𝑈𝑡 = √𝑢1 . 𝑢𝑛
Jadi, suku tengah barisan tersebut
terletak pada suku ke-6
1
= √8 (128)
= √16
= 4
Jadi, nilai suku tengah barisan tersebut adalah 4
c) Banyaknya suku barisan itu sama dengan (2k – 1) = 2 (6) – 1 = 11.
Jadi Banyak suku barisan tersebut adalah sebanyak 11 suku
7