Transformasi Fourier

Transformasi Fourier 1 dimensi
(Dosen: Bp. Aziz)
Dirangkum oleh: Eko Zulkaryanto
(http://zulkaryanto.wordpress.com)
Computer Science – Bogor Agricultural University (http://www.ipb.ac.id)
Transformasi Fourier

Mengapa perlu transformasi ?
– Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan
suatu teknik analisis dengan transformasi untuk
menyederhanakan penyelesaian suatu masalah
[Brigham,1974]
– Contoh: penyelesaian fungsi y = x/z
 Analisa konvensional : pembagian secara manual
 Analisa transformasi : melakukan transformasi
– log(y) = log(x) – log(z)
– look-up table  pengurangan  look-up
table
 Transformasi juga diperlukan bila kita ingin
mengetahui suatu informasi tertentu yang tidak
tersedia sebelumnya
 Contoh :
– jika ingin mengetahui informasi frekuensi
kita memerlukan transformasi Fourier
– Jika ingin mengetahui informasi tentang
kombinasi skala dan frekuensi kita
memerlukan transformasi wavelet
Transformasi Citra
 Transformasi citra, sesuai namanya, merupakan
proses perubahan bentuk citra untuk mendapatkan
suatu informasi tertentu
 Transformasi bisa dibagi menjadi 2 :
– Transformasi piksel/transformasi geometris:
– Transformasi ruang/domain/space
Transformasi Pixel
f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 +
sin(7x)/7 + sin(9x)/9 …
Hasil dalam transformasi fourier
Fungsi kotak sebagai penjumlahan fungsi-fungsi sinus
Cobakan juga program matlab berikut untuk melihat sampai
batas n berapa fungsi yang dihasilkan sudah berbentuk fungsi
kotak.
function kotak(n)
t = 0:pi/200:8*pi;
kot = sin(t);
for i = 3 : 2: n
kot = kot + (sin(i*t))/i;
end
plot(kot)

Transformasi piksel masih bermain di ruang/domain
yang sama (domain spasial), hanya posisi piksel yang
kadang diubah
 Contoh: rotasi, translasi, scaling, invers, shear, dll.
 Transformasi
jenis
ini
relatif
mudah
diimplementasikan dan banyak aplikasi yang dapat
melakukannya (Paint, ACDSee, dll)
Transformasi Ruang
 Transformasi ruang merupakan proses perubahan
citra dari suatu ruang/domain ke ruang/domain
lainnya, contoh: dari ruang spasial ke ruang frekuensi
 Masih ingat istilah ‘ruang’ ? Ingat-ingat kembali
pelajaran Aljabar Linier tentang Basis dan Ruang 
– Contoh : Ruang vektor. Salah satu basis yang
merentang ruang vektor 2 dimensi adalah [1
0] dan [0 1]. Artinya, semua vektor yang
mungkin ada di ruang vektor 2 dimensi
selalu dapat direpresentasikan sebagai
kombinasi linier dari basis tersebut.
 Ada beberapa transformasi ruang yang akan kita
pelajari, yaitu :
– Transformasi Fourier (basis: cos-sin)
– Transformasi
Hadamard/Walsh
(basis:
kolom dan baris yang ortogonal)
– Transformasi DCT (basis: cos)
– Transformasi Wavelet (basis: scaling
function dan mother wavelet)
Transformasi Fourier
 Pada tahun 1822, Joseph Fourier, ahli matematika
dari Prancis menemukan bahwa: setiap fungsi
periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan
gelombang-gelombang sinus/cosinus.
 Contoh : Sinyal kotal merupakan penjumlahan dari
fungsi-fungsi sinus berikut (lihat gambar pada
halaman berikut)
Gambar a) n = 1, b) n =3, c) n = 7, d) n = 99
Contoh lain
Contoh lain
FT – Motivasi
 Jika semua sinyal periodik dapat dinyatakan dalam
penjumlahan fungsi-fungsi sinus-cosinus, pertanyaan
berikutnya yang muncul adalah:
– Jika saya memiliki sebuah sinyal sembarang,
bagaimana saya tahu fungsi-fungsi cos – sin
apa yang membentuknya ?
 Atau dengan kata lain
– Berapakah frekuensi yang dominan di sinyal
tersebut ?
 Pertanyaan di atas dapat dijawab dengan menghitung
nilai F(u) dari sinyal tersebut. Dari nilai F(u)
kemudian dapat diperoleh kembali sinyal awal
dengan menghitung f(x), menggunakan rumus:
Rumus FT – 1 dimensi
 Rumus FT kontinu 1 dimensi

F (u )   f ( x) exp[ 2 jux]dx


f ( x)   F (u ) exp[ 2 jux]du

Euler' s formula : exp[ 2 jux]  cos 2ux  j sin 2ux

Rumus FT diskret 1 dimensi
Contoh Penghitungan FT 1 dimensi
Contoh Penghitungan FT 1 dimensi
 Hasil penghitungan FT biasanya mengandung
bilangan real dan imajiner
 Fourier Spectrum didapatkan dari magnitude kedua
bilangan tersebut shg|F(u)| = [R 2(u) + I 2(u)]1/2
 Untuk contoh di halaman sebelumnya, Fourier
Spectrumnya adalah sebagai berikut:
 |F(0)| = 3.25
|F(1)| = [(-0.5)2+(0.25)2]1/2 = 0.5590
 |F(2)| = 0.25
|F(3)| = [(0.5)2+(0.25)2]1/2 = 0.5590
Transformasi fourier 2 dimensi (Bp. Aziz)
Rumus FT – 2 dimensi
1 N 1
 f ( x) exp[ 2 jux / N ]
N x 0
1 N 1
f ( x)   x 0 F (u ) exp[ 2 jux / N ]
N
F (u ) 
Contoh FT 1 dimensi
Contoh berikut diambil dari Polikar
(http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtut
orial.html)
Misalkan kita memiliki sinyal x(t) dengan rumus sbb:
x(t) = cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) +
cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t)
Sinyal ini memiliki empat komponen frekuensi yaitu
5,10,20,50
Contoh sinyal 1 Dimensi x(t)
Gambar sinyal satu dimensi dengan rumus
x(t)= cos(2*pi*5*t) +
cos(2*pi*10*t) +
cos(2*pi*20*t) +
cos(2*pi*50*t)
FT dari sinyal tersebut
FT dari sinyal tersebut.
Terlihat bahwa FT dapat menangkap frekuensi-frekuensi
yang dominan dalam sinyal tersebut, yaitu 5,10, 20, 50
(nilai maksimum F(u) berada pada angka 5,10, 20, 50)
Rumus FT – 2 dimensi
 Domain spatial  x dan y pada f(x,y)
 Domain frekuensi  u dan v pada F(u,v)
 Magnitude F(u,v) adalah
|F(u,v)|= [R 2(u,v) + I 2(u,v)]1/2
Rumus FT – 2 dimensi



Contoh perhitungan
f(0,0) = 1, f(1,1) = 2, f(0,1) =3, f(1,0)=4
Hitung nilai F(0,0)!
Karakteristik domain frekuensi (1)
•
Separability
– Kolom dan baris dihitung terpisah

It usually is impossible to make direct associations
between specific components of image & its
transform
 General statement: frequencies in the fourier
transform associate with patterns of intensity
variations in an image
Karakteristik domain frekuensi (2)
 Example: an image of a room
– Slowest varying frequency component
corresponds to smooth gray level variations
on the walls and floor
– The higher frequency corresponds to faster
and faster gray level changes in the image
edges of object
Karakteristik domain frekuensi (3)
Citra SEM
DFT 2D citra SEM
– Linearity
– F(f+g) = F(f) + F(g)
– F(kf) = k F(f), k = konstanta
DFT 2D - Some properties (3)
• Koefisien DC
– F(0,0) = jumlah semua pixel,
– Shifting
– Menggeser DC ke tengah matrik
DFT 2D - Some properties (4)
• Shifting
– Menggeser DC ke tengah matrik
Karakteristik domain frekuensi (4)
Displaying transforms
Fourier transforms in matlab
DFT 2D - Some properties (1)
 DFT as spatial filter
– exp[….] independent terhadap f(x,y)
–
–

Sebagai contoh untuk F(0,0) maka nilai
exp[….] = 1
F(0,0) merupakan hasil filtering f(0,0) dengan filter
berukuran mxn dan elemen = 1.
Citra
filter
F(0,0) = (10x1) + (10x1) + (40x1) + … +
(60x1) + (80x1) + (50x1)
= 650
DFT 2D - Some properties (2)
Filtering in the frequency domain (1)
• Equalizer
– Equalizer mengubah lagu menjadi frekuensi-frekuensi
sesuai alat musik yang digunakan. Frekuensi drum
berbeda dengan gitar, misalnya.
– Filtering pada domain frekuensi dapat dianalogikan
dengan mengatur equalizer ketika kita mendengarkan
lagu dari mp3 player. Apakah kita ingin memperjelas
bass atau treble,misalnya.
(Nixon & Aguado. 2002. feature extraction & image
processing. )
Filtering in the frequency domain (2)
DFT 2D- lowpass firlter (4)
• Ideal lowpass filter
•
Butterworth lowpass filter
•
Gaussian lowpass filter
Filtering in the frequency domain (3)
Tugas:
• dikumpulkan 19-11-2009
1. Hitung transformasi fourier untuk data citra berikut:
f(0,0)= 10, f(1,0)=20, f(0,1)=30 dan f(1,1) = 40!
2. Buat ulasan, 1 halaman A4, tulis tangan, tentang Fast
Fourier Transforms (F F T)
DFT 2D- lowpass firlter (1)
Suppose we have a Fourier transform matrix F, shifted so that
the DC coeficient is in the centre.
Since the low frequency components are towards the centre,
we can perform low pass filtering by multiplying the
transform by a matrix in such a way that centre values are
maintained, and values away from the centre are either
removed or minimized.
One way to do this is to multiply by an
ideal low-pass matrix, which is a binary matrix m defined by:
DFT 2D lowpass firlter (2)
• D = 15  ideal lowpass filter
•
•
The circle (c ) displayed is just such a matrix, with
D=15
Then the inverse Fourier transform of the elementwise product of F and m is the result we require:
DFT 2D- lowpass filter (3)
Caranya ?
• Ambil citra (cm) lalu lakukan DFT (cf)
•
Lakukan lowpass filter (cf ) * (c)  element wise
multiplication
•
Transformasi invers