Integral -Teknis Substitusi Trigonometri

si
AS
Se
INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
Teknik substitusi aljabar yang telah dipelajari sebelumnya memiliki bentuk
∫ [ f ( x )]
n
f ’( x ) dx = ∫ un du =
un+1
+c
n +1
Di mana:
u = f(x)
du
= f ’( x ) → du = f ’( x ) dx
dx
Dapat diterapkan pula pada bentuk fungsi trigonometri, selama memiliki ciri yang memenuhi
bentuk umumnya.
CONTOH SOAL
1.
∫ sin
3
x ⋅ cos x dx = ....
Jawab:
Misal u = sin x
du
= cos x
dx
du = cos x dx
1
GAN
04
BUN
KEL
A - K U RIKUL
I IP
UM
GA
MATEMATIKA
XI
Maka
∫ sin
3
2.
∫
x ⋅ cos x dx = ∫ u3 du
1
= u4 + c
4
1
= sin4 x + c
4
cos 2x ⋅ sin2x dx = ....
Jawab:
Misal u = cos2x
du
= −2 sin2x
dx
1
− du = sin2x dx
2
Maka
∫
3.
 1
cos 2x ⋅ sin2x dx = ∫ u ⋅  −  du
 2
1 1
= − ∫ u2 du
2
1 2 3
= − ⋅ u2 + c
2 3
3
1
= − ( cos 2x ) 2 + c
3
∫ tan
2
x sec2 x dx = ....
Jawab:
Misal u = tan x
du
= sec2 x
dx
du = sec2 x dx
Maka
∫ tan
2
x sec2 x dx = ∫ u2 du
1
= u3 + c
3
1
= tan3 x + c
3
2
4.
∫
co sec2 2x
cot an2x
Jawab:
dx = ....
Misal u = co tan2x
du
= −2co sec2 2x
dx
1
− du = co sec2 2x dx
2
Maka
∫
 1
 −  du
2
dx = ∫ 
cot an2x
u
co sec2 2x
1 − 21
u du
2∫
1
1
= − ⋅ 2u2 x + c
2
= − cotan2x + c
=−
5.
∫ sec
3
x tanx dx = ....
Jawab:
∫ sec
3
x tanx dx = ∫ sec2 x ⋅ sec x tan x dx
Misal u = sec x
du
= sec x tan x
dx
du = sec x tanx dx
Maka
∫ sec
6.
2
x ⋅ sec x tan x dx = ∫ u2 ⋅ du
∫ x ⋅ sin( x
1
= u3 + c
3
1
= sec3 x + c
3
2
+ 1) dx = ....
Jawab:
Misal u = x 2 + 1
du
= 2x
dx
1
du = x dx
2
3
Misal u = x 2 + 1
du
= 2x
dx
1
du = x dx
2
Maka
∫ x ⋅ sin( x
7.
2
+ 1) dx = ∫ sin( x 2 + 1) ⋅ x ⋅ dx
1
= ∫ sin u ⋅ du
2
1
= ∫ sin u du
2
1
= − cos ( x 2 + 1) + c
2
∫ sin x dx = ....
3
Jawab:
∫ sin x dx = ∫ sin x ⋅ sin x dx
= ∫ (1− cos x ) sin x dx
3
2
2
Misal u = cos x
du
= − sin x
dx
−du = sin x dx
Maka
∫ (1− cos x ) sin x dx = ∫ (1− u )( −du)
= ∫ ( u − 1) du
2
2
2
1
= u3 − u + c
3
1
= cos3 x − cosx + c
3
8.
∫ tan 2x sec
3
4
2 x dx = ....
4
2 x dx = ∫ tan3 2x ⋅ sec2 2x ⋅ sec2 2x dx
Jawab:
∫ tan 2x sec
3
= ∫ tan3 2x ( tan2 2x + 1) sec2 2x dx
1
Misal u = tan2x → du = 2 sec2 2x dx → du = sec2 2x dx
2
4
Maka bila disubstitusikan pada persamaan di atas akan didapatkan
∫ u (u
3
2
1
 1
+ 1)   du = ∫ ( u5 + u3 ) du
2
2
1 1
1 
=  u6 + u4  + c
2 6
4 
1
1
= tan
n6 2x + tan4 2x + c
8
12
Catatan:
tan2 A + 1 = sec2 A.
9.
sin5 x
dx = ....
6
x
Jawab:
∫ cos
sin5 x
sin5 x
1
=
dx
∫ cos6 x ∫ cos5 x ⋅ cos x dx
= ∫ tan5 x sec x dx
= ∫ tan4 x ⋅ sec x tan x dx
2
= ∫  tan2 x  ⋅ sec x tan x dx
2
= ∫ sec2 x − 1 sec x tan x dx
Misal u = secx → du = secx tanx dx , maka
∫ sec
2
2
2
x − 1 sec x tan x dx = ∫ u2 − 1 du
= ∫ ( u4 − 2u2 + 1) du
1
2
= u5 − u3 + u + c
5
3
1 5
2
= sec x − sec3 x + sec x + c
5
3
Coba perhatikan rumus dasar integral trigonometri berikut:
1
1.
∫ sin( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + c
2.
∫ cos ( ax + b ) dx = a sin( ax + b ) + c
3.
1
∫ sec ( ax + b ) dx = a tan( ax + b ) + c
1
2
5
4.
1
∫ cosec ( ax + b ) dx = − a cotan( ax + b ) + c
5.
∫ sec ( ax + b ) ⋅ tan( ax + b ) dx = a sec ( ax + b ) + c
6.
∫ cosec ( ax + b ) ⋅ cotan( ax + b ) dx = − a cosec ( ax + b ) + c
2
1
1
Dapat ditarik kesimpulan umum bahwa u diambil dari ruas sebelah kanan, kemudian mengubah
bagian fungsi yang tersisa ke dalam bentuk sebelah kiri rumus. Untuk mengubah bentuk fungsi
tersisa dapat menggunakan rumus-rumus berikut:
1.
sin2x + cos2x = 1
2.
tan2x + 1 = sec2x
3.
cotan2x + 1 = cosec2x
Sedangkan turunan suatu fungsi trigonometri mudah didapatkan dengan cara membalik
rumus dasar trigonometri tersebut.
Teknik substitusi lain adalah teknik mengganti fungsi aljabar yang sulit diintegralkan secara
langsung atau dengan menggunakan substitusi aljabar. Teknik substitusi ini adalah teknik
mensubstitusi fungsi aljabar dengan fungsi trigonometri sehingga menjadi lebih mudah untuk
diselesaikan. Bentuk-bentuk fungsi aljabar yang bisa diselesaikan dengan teknik ini adalah
fungsi yang mengandung bentuk-bentuk sebagai berikut:
Bentuk Fungsi
a2 − x 2 ,
a2 + x 2 ,
x 2 − a2 ,
1
a −x
2
2
1
a +x
2
2
1
x −a
2
2
Pensubstitusi
,
1
a − x2
x = a sin θ
,
1
a + x2
x = a tan θ
,
1
x 2 − a2
x = sec θ
2
2
6
CONTOH SOAL
1.
1
∫ 16 + x
dx = ....
2
Jawab:
1
∫ 16 + x
dx = ∫
2
1
dx
42 + x2
2
Misal x = 4 tan θ → dx = 4 sec θ dθ
∫4
2
1
1
dx = ∫
⋅ 4 sec2 θ dθ
2
2
+x
16 + ( 4 tan θ )
1
⋅ 4 sec2 θ dθ
16 + 16 tan2 θ
1
⋅ 4 sec2 θ dθ
=∫
16 (1+ tan2 θ )
=∫
4
1
⋅ sec2 θ dθ
16 ∫ sec2 θ
1
= ∫ dθ
4
1
= θ+c
4
=
dari x = 4 tan θ didapatkan
x
x
tan θ = → θ = arctan
4
4
sehingga
1
1
x
θ + c = arctan + c
4
4
4
2.
∫
10
25 − x 2
dx = ....
Jawab:
∫
10
25 − x
2
dx = ∫
10
5 − x2
2
dx
Misal x = 5 sin θ → dx = 5 cos θ dθ
7
10
∫
5 −x
2
2
10
dx = ∫
25 − ( 5 sin θ )
50 cos θ
=∫
25 − 25 sin2 θ
50 cos θ
=∫
⋅ 5co s θ dθ
2
dθ
dθ
25 (1− sin2 θ )
50 cos θ
dθ
5 cos θ
= ∫10 dθ
=∫
= 10 θ + c
dari x = 5 sin θ didapatkan
x
sin θ =
5
x
θ = arcsin
5
3.
sehingga 10 θ + c = 10 arcsin x + c
5
1
∫ x 9x2 − 4 dx = ....
Jawab:
∫x
1
9x2 − 4
dx = ∫
1
x
( 3x ) − ( 2 )
2
2
dx
Misal 3x = 2 sec θ
2
x = sec θ
3
2
dx = sec θ ⋅ tan θ dθ
3
Maka
∫
1
x
( 3x )
2
−2
2
dx = ∫
=∫
=∫
1
2
2
sec θ ( 2 sec θ ) − 4
3
tan θ
dθ
4 sec2 θ − 4
tan θ
dθ
4 ( sec2 θ − 1)
tan θ
dθ
2 tan θ
1
= ∫ dθ
2
1
= θ+c
2
=∫
8
2
⋅ sec θ tan θ dθ
3
=∫
=∫
tan θ
4 sec2 θ − 4
tan θ
dθ
4 ( sec2 θ − 1)
dθ
tan θ
dθ
2 tan θ
1
= ∫ dθ
2
1
= θ+c
2
=∫
Dari 3x = 2secθ didapat
3x
2
sec θ =
θ = arcsec
Maka
4.
3x
2
1
1
3x
θ + c = arcsec + c
2
2
2
∫
9 − x 2 dx = ....
∫
9 − x 2 dx = ∫ 32 − x 2 dx
Jawab:
Misal x = a sin θ
x = 3 sin θ
dx
= 3 cos θ
dθ
dx = 3 cos θ dθ
Maka
∫
32 − x 2 dx = ∫ 9 − ( 3 sin θ ) ⋅ 3 cos θ dθ
2
= ∫ 9 − 9 sin2 θ ⋅ 3 cos θ dθ
= ∫ 9 (1− sin2 θ ) ⋅ 3 cos θ dθ
= ∫ 3 cos θ ⋅ 3 cos θ dθ
= ∫ 9 cos2 θ dθ
1 1

= ∫ 9  + cos 2θ dθ
2 2

9 9

= ∫  + cos 2θ  dθ
2
2


9
9
= θ + sin2θ + c
2
4
9
9
= θ + ⋅ 2 sin θ cos θ + c
2
4
9
9
= θ + sin θ cos θ + c
2
2
9
2 2

9 9

= ∫  + cos 2θ  dθ
2 2

9
9
= θ + sin2θ + c
2
4
9
9
= θ + ⋅ 2 sin θ cos θ + c
2
4
9
9
= θ + sin θ cos θ + c
2
2
Dari x = 3 sin θ didapat
x
x
→ θ = arcsin
3
3
x (de)
sin θ =
3 (mi)
1.
sin θ =
2.
3
x
θ
9 −x 2
Maka
cos θ =
9 − x 2 (sa)
3
(mi)
sehingga
x 9 x 9 − x2
9
9
9
θ + sin θ ⋅ cos θ + c = arcsin + ⋅ ⋅
+c
2
2
2
3 2 3
3
x x
9
= arcsin +
9 − x2 + c
2
3 2
5.
∫x
2
1
dx = ....
− 2x + 10
Jawab:
∫x
2
1
1
dx = ∫
dx
2
− 2x + 10
( x − 1) + 9
=∫
1
( x − 1)
2
+ 32
dx
Misal x − 1 = 3 tan θ
x = 1+ 3 tan θ
dx = 3 sec2 θ dθ
10
Maka
1
∫ ( x − 1)
2
+ 32
dx = ∫
3 sec2 θ
( 3 tan θ )
2
+9
dθ
3 sec2 θ
dθ
9 tan2 θ + 9
3 sec2 θ
dθ
=∫
9 ( tan2 θ + 1)
=∫
1 sec2 θ
dθ
=∫ ⋅
3 sec2 θ
1
= ∫ dθ
3
1
= θ+c
3
Dari x – 1 = 3 tan θ didapat
tan θ =
x −1
3
θ = arctan
Maka
x −1
3
1
1
x −1
θ + c = arctan
+c
3
3
3
LATIHAN SOAL
1.
∫ cos
A.
B.
C.
D.
E.
5
x ⋅ sin x dx = ....
1
− cos6 x ⋅ cos x + c
6
1 6
− sin x + c
6
1 6
sin x + c
6
1
− cos6 x + c
6
1
cos6 x + c
6
11
2.
∫
3
A.
B.
C.
D.
E.
3.
sin2x cos 2x dx = ....
3
cos 2x ⋅ 3 sin2x + c
8
2
cos 2x ⋅ 3 cos 2x + c
8
3
cos 2x ⋅ 3 cos 2x + c
8
2
sin2x ⋅ 3 sin2x + c
8
3
sin2x ⋅ 3 sin2x + c
8
sin x
∫ cos x dx = ....
A. -In|cosx| + c
B.
In|cosx| + c
C.
In|sinx| + c
D. -In|sinx| + c
E.
4.
5.
∫
sec2x + c
sec2 x
tan x
dx = ....
A.
tanx + c
B.
2 tanx + c
C.
4 tanx + c
D.
secx + c
E.
2 sec x + c
∫
3 cosec2 2x
2 + cotan2x
dx = ....
A.
−3 cosec2x + c
B.
3 cosec2x + c
C.
−
3
2 + cotan2x + c
4
12
6.
D.
3 2 + cotan2x + c
E.
−3 2 + cotan2x + c
∫ 2x
A.
C.
D.
E.
∫
6 x 2 sin( x 3 + 1) + c
sin( x 3 + 1) + c
2
sin( x 3 + 1) + c
3
1
sin( x 3 + 1) + c
3
sin x + 1
A.
B.
C.
D.
E.
8.
cos ( x 3 + 1) dx = ....
3x 2 sin( x 3 + 1) + c
B.
7.
2
∫
3 x +1
dx = ....
2
cos x + 1 + c
3
2
− cos x + 1 + c
3
1
cos x + 1 + c
3
1
− cos x + 1 + c
3
1
sin x + 1 + c
3
1
1− x 2
dx = ....
A.
arctanx + c
B.
arcsinx + c
C.
x + arcsinx + c
D.
x – arcsinx + c
E.
2x + arcsinx + c
13
9.
1
∫ 16 + 4 x
A.
B.
C.
D.
E.
10.
∫
A.
B.
C.
D.
E.
2
dx = ....
1
x
arctan
2
4
x
2 arctan
8
1
arctan2x
8
1
arctanx
8
1
x
arctan
8
2
16
3 − 2x − x 2
dx = ....
1
x −1
arcsin
+c
2
2
x −1
arcsin
+c
2
1
arcsin( x − 1) + c
2
( x + 1)
1
+c
arcsin
2
2
( x + 1)
arcsin
+c
2
14
KUNCI JAWABAN
LATIHAN SOAL
1.
D
6.
D
2.
E
7.
B
3.
A
8.
B
4.
B
9.
E
5.
E
10. A
15