Urian Singkat Himpunan

Urian Singkat Himpunan
Yus Mochamad Cholily
Jurusan Pendidikan Matematika
Universitas Muhammadiyah Malang
email:[email protected]
February 27, 2013
1
Daftar Isi
1 Tujuan
3
2 Notasi Himpunan
3
3 Operasi pada Himpunan
7
4 Latihan
8
2
1
Tujuan
Himpunan merupakan salah satu konsep penting dalam matematika setelah Logika. Dengan memahami himpunan secara baik selanjutnya dibahas tentang konsep tentang Relasi,
Fungsi. Modul ini berisi tentang ringkasan notasi-notasi standar dalam penulisan himpunan. Dengan mempelajari himpunan yang dinotasikan dengan standar matematika
maka mahasiswa diharapkan mampu:
1. menuliskan secara benar himpunan-himpunan yang telah terstandarkan,
2. menuliskan unsur-unsur himpunan yang sudah terstandarkan.
3. menjelaskan secara benar apakah sebuah unsur ada di dalam sebuah himunan atau
tidak.
4. membuktikan suatu himpunan merupakan himpunan bagian yang lain atau tidak,
5. membuktikan kesamaan dua buah himpunan.
2
Notasi Himpunan
Secara mudah himpunan merupakan kumpulan objek-objek yang terdeskripsikan secara
baik. Deskripsi secara baik ini sangat diperlukan karena untuk membedakan apakah sebuah objek termasuk dalam himpunan atau tidak. Objek yang ada di dalam himpunan
dinamakan elemen atau unsur. Himpunan dinotasikan dengan huruf kapital misalnya A,
B dan sebagainya, sedangkan unsur-unsur di dalam himpunan dinotasikan dengan huruf
”kecil” a, b dan sebagainya. Jika sebuah unsur a termuat di himpunan A maka dinotasikan
dengan
a ∈ A,
sedangkan bila a tidak termuat di A dinotasikan dengan
a∈
/ A.
Untuk himpunan yang unsurnya tidak terlalu banyak, unsur-unsurnya dapat didaftar
dalam sebuah notasi himpunan dengan tanda kurung kurawal {.....}. Sebagai contoh
himpunan A merupakan himpunan bilangan genap positif yang kurang dari sepuluh dapat
didaftar seperti berikut
A = {2, 4, 6, 8}.
Deskripsi himpunan A itu sangat jelas sekali sehingga bisa membedakan mana yang unsur
dan mana yang bukan unsur. Terlihat jelas bahwa 2 ∈ A dan 3 ∈
/ A, bilangan berapapun
disebutkan pasti bisa diidentifikasi apakah bilangan tersebut ada di A atau tidak.
3
Unsur dalam sebuah himpunan cukup dituliskan sekali saja. Meskipun dituliskan dua
kali pada dasarnya unsurnya adalah satu. Sebagai contoh himpunan A di atas dituliskan
dengan
A = {2, 4, 4, 6, 8}
maknanya sama saja dengan sebelumnya. Selain itu urutan peletakan dalam unsur himpunan tidaklah menjadi penting. Himpunan A di atas juga bisa dituliskan sebagai
A = {8, 2, 4, 6}.
Cara mendaftar seperti di atas bisa digunakan untuk himpunan dengan jumlah unsurnya sedikit atau himpunan dengan jumlah unsur yang banyak namun diketahui deskripsi/pola
yang jelas. Sebagai contoh himpunan B merupakan himpunan bilangan genap positif yang
kurang dari seribu. Himpunan B tersebut bisa didaftar sebagai berikut:
B = {2, 4, 6, . . . , 998},
tanda titik tiga ”. . .” dibaca ”sampai dengan” dapat digunakan karena pola aturan bilangan sudah jelas yaitu unsur akan bertambah 2. Untuk himpunan yang unsurnya tak
terhingga namun pola aturannya diketahui secara baik juga bisa digunakan cara mendaftar. Sebagai contoh, himpunan C merupakan himpunan bilangan genap positif yang
dapat didaftar sebagai berikut:
C = {2, 4, 6, . . .},
tanda titik tiga ” . . . ” dibaca ”dan seterusnya”. Selain itu, himpunan C ini juga bisa
didiskripsikan cirinya dalam tanda himpunan,
C = {x|x bilangan genap positif},
tanda ”|” dibaca ”sehingga”. Selain itu, garis vertikal ”|” juga dipakai sebagai pembatas
antara variabel unsur himpunan dan deskripsinya.
Di Matematika ada beberapa himpunan yang telah dipakai secara umum notasi himpunannya. Himpunan bilangan bulat dinotasikan dengan Z, yang diambil dari Bahasa
Jerman yaitu Zahlen untuk bilangan bulat. Bila didaftar himpunan bilangan bulat dituliskan sebagai:
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Himpunan bilangan rasional (quotion) dinotasikan dengan Q. Dengan mendaftar himpunan bilangan rasional ini dituliskan dengan:
a
Q = {x|x = , dengan a, b di Z dan b 6= 0}.
b
4
Himpunan bilangan riil dinotasikan dengan R. Himpunan bilangan riil ini tidak mungkin
untuk didaftar namun lebih sering digambarkan dengan garis bilangan.
Misal A menyatakan sebuah himpunan yang unsurnya ”berhingga”. Notasi
|A| menyatakan banyaknya unsur di A,
dan dinamakan kardinalitas himpunan A. Himpunan A = {2, 4, 6, 8, 10} mempunyai
kardinalitas 5 karena banyaknya unsur di A sebanyak 5 dan dituliskan |A| = 5. Himpunan
yang tidak memiliki unsur dinamakan himpunan kosong dan dinotasikan dengan
∅ atau {}.
Himpunan K adalah himpunan bilangan riil yang merupakan akar dari −1. Maka dengan
mudah terlihat bahwa K = ∅, karena tidak ada bilangan riil bila dikuadratkan sama
dengan −1.
Misal A dan B dua buah himpunan. Jika setiap unsur di A termuat di B maka
dikatakan
A himpunan bagian (subset) dari B dan dituliskan A ⊆ B.
Misal
A = {2, 4, 6} dan B = {0, 1, 2, . . . , 10}.
Dari daftar tersebut terlihat bahwa semua unsur di A termuat di B dan ini dikatakan
A ⊆ B. Pada contoh seperti ini terlihat bahwa terdapat unsur di B yang tidak termuat A
maka kondisi semacam ini dikatakan himpunan bagian sejati dan bisa dituliskan sebagai
A ⊂ B. Secara definitif jika A himpunan bagian B dan terdapat unsur di B yang
tidak termuat di A maka dikatakan A himpunan bagian sejati (proper subset) dari B dan
dinotasikan A ⊂ B.
Apa yang dimaksud dengan
A 6⊆ B?
Tentunya hal ini bisa dijabarkan dari pengertian bukan himpunan bagian yaitu jika terdapat unsur di A dan unsur tersebut tidak termuat di B. Sebagai contoh misal himpunan
A = {2, 4, 6} dan B = {1, 2, 3, 4, 5},
dengan mengamati himpunan ini terlihat semua unsur di A termuat di B kecuali 6. jadi
∃6 ∈ A tetapi 6 ∈
/ B. Hal ini mengatakan bahwa A 6⊆ B.
Misal
A = {2, 4} dan B = {x ∈ Z|x2 + 6x + 8 = 0}.
Maka dengan mudah dilihat bahwa akar dari x2 + 6x + 8 = 0 adalah x = 2 atau x = 4.
5
Dengan demikian pada dasarnya B = {2, 4}. Terlihat dengan jelas bahwa setiap unsur di
A merupakan unsur-unsur di B atau A ⊆ B. Namun sebaliknya setiap unsur di B juga
merupakan unsur di A atau B ⊆ A. Dari contoh ini mudah dipahami bahwa A = B dan
berlaku A ⊆ B dan B ⊆ A. Secara definitif
A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A.
Untuk pembuktian kesamaan dua buah himpunan definisi ini sementara menjadi alat
yang sangat bermanfaat, terutama untuk menunjukkan kesamaan dua buah himpunan
yang tidak mungkin didaftar unsur-unsurnya.
Misal X = {1, 2, 3}. Semua himpunan bagian dari X adalah
∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.
Himpunan-himpunan bagian tersebut merupakan himpunan bagian sejati dari X kecuali
X = {1, 2, 3} sendiri. Himpunan yang unsurnya semua himpunan bagian dari X ini
dinamakan dengan himpunan kuasa (power set) dari X dan diontasikan dengan P(X).
Dengan demikian,
P(X) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
Dari contoh ini dapat diamati bahwa
|A| = 3 dan |P(X)| = 23 = 8.
Secara umum dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa:
jika |X| = n maka |P(X)| = 2n .
Berikut diberikan beberapa notasi standar yang dipakai dalam himpunan.
1. N adalah himpunan bilangan asli. Jadi N = {1, 2, 3, . . .}.
2. Z adalah himpunan bilangan bulat. Jadi Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
3. aZ =< a >= {az|z ∈ Z}.
4. Zn adalah himpunan kelas sisa modulo n.
5. Q adalah himpunan bilangan rasional.
6. Q+ adalah himpunan bilangan rasional positif.
7. Q∗ adalah himpunan bilangan rasional tidak negatif.
6
8. R adalah himpunan bilangan riil.
9. R+ adalah himpunan bilangan riil positif.
10. R∗ adalah himpunan bilangan riil tidak negatif.
11. C adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangang kompleks ini juga
sering dituliskan dengan. C = {a + bi|a, d di R dan i2 = −1}.
12. Mn (R) adalah himpunan matriks berukuran n×n yang elemen-elemennya bilangan
riil.
13. Mm×n (R) adalah himpunan matriks berukuran n × n yang elemen-elemennya bilangan riil.
14. Sn adalah himpunan semua permutasi di A = {1, 2, 3, . . . , n}.
3
Operasi pada Himpunan
Banyak operasi yang ada pada himpunan, beberapa diantaranya adalah irisan, gabungan,
komplement. Ketika operasi tersebut sebagai operasi dasar dan dari ketiganya didefinisikan operasi-operasi lainnya.
Misal A dan B dua buah himpunan. Himpunan irisan dari A dan B dituliskan A ∩ B
adalah himpunan yang unsurnya termuat di A dan sekaligus di B. Sedangkan himpunan
gabungan dari A dan B dinotasikan dengan A ∪ B adalah himpunan yang unsur-unsurnya
terdiri dari unsur-unsur di A atau B. Himpunan dari unsur-unsur yang tidak termuat di
A dinamakan komplemen A dan dinotasikan dengan Ac atau A0 atau Ā.
Masih merujuk pada himpunan A dan B di atas, himpunan A dikatakan himpunan
bagian dari B, dilambangkan A ⊆ B, apabila setiap unsur di A juga termuat di B.
Dengan kata lain jika mengambil secara acak unsur di A maka unsur terambil tersebut
juga merupakan unsur di B. Secara matematis dapat dituliskan dalam bentuk implikasi
yaitu ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B. Kesamaan himpunan yaitu A = B jika dan hanya jika berlaku
A ⊆ B dan B ⊆ A. Dengan demikian untuk membuktikan kesamaan dua buah himpunan
dilakukan dua langkah pembuktian himpunan bagiannya.
Sifat-sifat dasar di operasi matematika yang perlu dibuktikan kebenarannya adalah
sebagai berikut.
1. Sifat Idempoten
(a) A ∪ A = A
2. Sifat komutatif
(a) A ∪ B = B ∪ A
(b) A ∩ A = A.
(b) A ∩ B = B ∩ A
7
3. Sifat Asosisatif
(a) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
4. Sifat Distributif
(a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∪ C
(b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
5. Sifat identitas
(a) A ∪ ∅ = A
(c) A ∩ ∅ = ∅
(b) A ∪ U = U
(d) A ∩ U = A
6. Sifat komplemen
(a) A ∪ Ā = U
A ∩ Ā = ∅.
7. De Morgan
(a)A ∪ B = Ā ∩ B̄
4
(b) A ∩ B = Ā ∪ B̄.
Latihan
Latihan berikut ini tuliskan himpunannya dengan mendaftar anggotanya.
1. A = {xR|x2 = 9}
2. B = {n ∈ Z|n2 + n < 20}
3. C = {m ∈ Z|2 < m ≤ 10}
Tuliskan hubungan yang terjadi antara himpunan A dan B berikut ini.
4. A = {1, 2, 3} dan B = {x ∈ Z|x ≤ 3}
5. A = {x ∈ Z|x2 − 4x + 3 = 0} dan B = {x ∈ Z|x ≥ 1}
8