Maksimum dan Minimum

KALKULUS MULTIVARIABEL I
Maksimum dan Minimum
Misalkan p = (x,y) adalah sebuah titik peubah dan p0 = (x0,y0) adalah sebuah titik tetap pada
bidang berdimensi dua (kedua titik tersebut berlaku untuk titik-titik pada ruang berdimensi
n).
Definisi
Misalkan f adalah fungsi dengan daerah asal S, dan misalkan p0 adalah sebuah titik di S.
1. f(p0) adalah nilai maksimum global dari f di S jika f(p0)  f(p) untuk seluruh p di S.
2. f(p0) adalah nilai minimum global dari f di S jika f(p0)  f(p) untuk seluruh p di S.
3. f(p0) adalah nilai ektrem global dari f di S jika f(p0) bukan nilai maksimum global
dan bukan nilai minimum global.
Teorema A
Jika f kontinu pada sebuah himpunan S tertutup terbatas, maka f mencapai nilai maksimum
(global) dan nilai minimum (global) di himpunan tersebut.
Titik kritis (critical point) dari f di S ada tiga jenis:
1. Titik batas (boundary point)
2. Titik Stasioner (Stasionary Point). Kita menyebut p0 adalah sebuah titik dalam di S di
mana f dapat dideferensialkan dan
(
)
. di titik tersebut , suatu bidang
singgung akan horizontal.
3. Titik-titik singular
dideferensialkan
jika p0 adalah suatu titik dalam dari s dimana f tidak dapat
Teorema Titik Kritis
Andaikan f dideferensialkan pada suatu himpunan S yang mengandung p0. Jika p0 adalah
suatu ekstrem, maka p0 haruslah berupa suatu titik kritis, p0 berupa salah satu dari:
i.
Suatu titik batas dari S, atau
ii.
uSuatu titik stasioner dari f, atau
iii.
Suatu titik singular dari f.
Contoh 4
Cari nilai maksimum dan minimum lokal dari f ( x , y )  x 2  4 y2  4 x .
Contoh 5
Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal untuk f ( x, y ) 
 x2 y2
 2
a2
b
Penyelesaian
Titik-titik
fy( x, y ) 
kritis
hanya
dapat
diperoleh
dengan
f x ( x, y ) 
menetapkan
 2x
dan
a2
2y
sama dengan nol. Persyaratan ini menghasilkan titik (0,0) yang memberikan
b2
nilai maksimum atau minimum.
Syarat Cukup untuk Titik Ekstrem
Andaikan bahwa f(x,y) mempunyai trurunan parsial kedua kontinu di suatu lingkungan dari
(x0,y0) dan bahwa f ( x0 , y0 )  0 . Ambil


D  D( x 0 , y0 )  f xx ( x 0 , y0 )f yy( x 0 , y0 )  f xy ( x 0 , y0 )
2
Maka:
i. Jika D > 0 dan f xx ( x0 , y0 )  0 maka f ( x0 , y0 ) adalah nilai maksimum lokal.
ii. Jika D > 0 dan f xx ( x0 , y0 )  0 maka f ( x0 , y0 ) adalah nilai minimum lokal.
iii. Jika D < 0 , f ( x0 , y0 ) bukan merupakan nilai ekstrim atau (x0,y0) adalah sebuah titik
pelana.
iv. Jika D = 0 uji yang dilakukan tidak mempunyai hasil/ tidak dapat disimpulkan.
Soal
1. Tentukan titik ekstrem, jika ada, dari fungsi F yang didefinisikan dengan
F ( x, y)  3x 3  y 2  9 x  4 y
2. Tentukan jarak minimum dari titik asal dan permukaan z2 = x2y + 4.