bentuk pangkat, akar, dan logaritma

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
Standar Kompetensi :
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat,akar, dan
logaritma.
Kompetensi Dasar :


Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma
Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan
pangkat, akar, dan logaritma.
Indikator :
-
Mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.
Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional
Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya.
Mengubah bentuk pangkat kebentuk logaritma dan sebaliknya.
Tujuan Pembelajaran :
Setelah selesai pembelajaran siswa diharapkan dapat :
- Mengubah bentuk pangkat negatif ke bentuk pangkat positif dan
sebaliknya
- Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya
- Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional
- Mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma
- Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini Anda akan mempelajari bilangan pangkat bulat positif,
negatif, rasional, bentuk akar, merasionalkan penyebut, menentukan
persamaan pangkat, dan menentukan nilai logaritma.
B. Prasyarat
Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai dasardasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah
sebagai berikut:
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang
mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal
latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan,
kembalilah mempelajari materi yang terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan
dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang
terkait.
4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan,
catatlah,kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap
muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi
modul ini.Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan
pengetahuan tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menghitung bilangan pangkat bulat posit dan negatif,
2. Menghitung bilangan pangkat rasional
3. Menentukan bentuk akar
4. Merasionalkan penyebut,
5. Menentukan persamaan pangkat,
6. Menentukan nilai logaritma
BAB II PEMBELAJARAN
A. PANGKAT BULAT POSITIF
Jika a  R dan n > 1, n  A maka
an = a.a.a.a.a.a.a.....a
sebanyak n kali
a disebut bilangan pokok
n disebut pangkat / eksponen
Sifat-sifat eksponen bulat positif
Jika a dan b bilangan real, m dan n bilangan bulat positif
1. am. an = am + n
2. am: an = am - n
3. (am) n = amn
4. (a.b)m = am .bm
a
am
5. ( ) m  m
b
b
Contoh :
Sederhanakan :
1. a3.a5 = a3 + 5 = a8
2. a7 : a2 = a7 – 2 = a5
3. (a3b6c4)2 = a3.2b6.2c4.2 = a6b12c8
4. (a8 : a6)3 = (a8 – 6)3 = a2.3 = a6
4
 a 3b 5 
5.  2   (a 31 .b 5 2 ) 4  (a 2 b 3 ) 4  a 8 b12
 ab 
B. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN RASIONAL
1
a0

 a 0 m  a  m
am am
1
am
Jadi a  m 
Bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan
a, b  B dan b  0 .
a
n
m
merupakan bilangan dengan pangkat tak sebenarnya.
Contoh :
1. Nyatakan dengan eksponen positif :
a. a 5 
b.
1
a5
12a 2 4b 5
 2
3b 5
a
2. Sederhanakan :
a 3b 6
b4
2 4
a. 5 2  a b  2
a b
a

b.  b b

4
5
9
c.
6

5


  b




3
2

5
5
2

  b 1  1

b

12
x2x2
x
5
2

4
3
x2
x
4
3
x
6
4
3
14
x3
3. Sederhanakan :
4
 
a. 8 3  2 3
4
3
2
3.
4
3
 2 4  16
2
1
b. 32  5 .27  3  2 5 5 33 3  2 2.3  12
2
1
Tugas I
1. Selesaikan dengan menulis faktor perkaliannya.
a. 2
6
b. -3 4
1
c.   
3
1
d.   
 3
 3
2. Sederhanakan :


a. a 3 .b 4 .c 6 . a.b 3 .c 2
 x 5 y 6
b.  3 2
 x y



3



5

2
0
a
dan
b
27 p 5 q 3
c.
9 p 6 q 4
 2  13 
a b 
d.  2

 a  3 b 1 


3
2

3. Tentukan nilai dari :
1
a. 64  3 25
1
3
b.
64 .9


1
2
3
2
2
64 3 .9 2
4. Sederhanakan dan nyatakan dalam pangkat positif
a.
x 1  y 2
x  2  y 1
b.
a 2  a 1  a 0
a  4  a 3  a  2
3
5. Hitunglah :
16 4  8.16
2
3

27  6.27
1
2
1

3
5
3
6. Nyatakan bentuk berikut tidak dengan pangkat negatif atau nol
b. 8x 0
d.  32
a. 7 5
c. 8x 0
7. Sederhanakan dan nyatakan dalam bentuk pangkat positif.
a. 2 3
b. a 1  b 1
 3a2b 3
c.  5
 a b



2
d.
x 2 y  xy 2
x 1 y  xy 1
C. BENTUK AKAR
Bentuk akar adalah bilangan-bilangan dibawah akar yang hasilnya
merupakan bilangan irasional.
3 , 5 , 8 , dsb
Contoh :
Sifat-sifat bentuk akar :
1.
ab  a . b
2.
a

b
3.
a ( b  c )  ab  ac
a
b
4. m a  n a  (m  n) a
m a  m b  m( a  b )
5.
a. a  a
6.
n
7.
a
m
a
m
n
1
a  a2
8.
Contoh :
Sederhanakanlah :
48  16.3  4 3
1.
2. 2 162  2 81.2  2.9 2  18 2
3. 5 3  2 3  7 3
108  48  36.3  16.3  6 3  4 3  10 3
4.
5. 4 20  2 45  4 4.5  2 9.5  4.2 5  2.3 5  8 5  6 5
6. 4 6 ( 3  5 2 )  4 18  20 12  4 9.2  20 4.3  12 2  40 3
7. (3 2  6 )(3 2  6 )  (3 2 ) 2  3 12  3 12  ( 6 ) 2
= 18  6  12
Sederhanakan dan tulis dalam bentuk akar :
2
4
7
1
 23 12 
2
3
3


1.  a .a   a .a  a  a .a 3  a 2 .3 a


2
3
5
1
1
 3 5
2.  x 4 . y 4   x 2 . y 2  x.x 2 . y 2 . y 2  x. y 2 xy


Nyatakan ke bentuk pangkat rasional :
1.
2.
3
a2
1
5
 5 3
a  a 2 .a  a   a 2   a 6
 
1
2
3
3
a 3 a a  a a.a
Tugas II
1. Sederhanakan :
a.
200
b.
288
c.
216
d.
75  50  32
e. 2 18  3 12  98
3
1
2
5
2
3
 a a
3
2
1
3
 32  2


 a.a  a   a   a 4
 
1
2
3
2
2. Sederhanakan :
a. 5 6 (3 10  15 )
b. ( 7  3 2 )( 7  3 2 )
3. Diketahui a  5  3  2 dan b  2  5  3
a.b
Tentukan
4. Sederhanakan dan tulis dalam bentuk akar :

a.
1
2
a .b 2
3
a 1 .b 2

b.
2
3
1
2
x .y
x 2 . y 3
5. Diketahui segitiga ABC sama kaki dengan AB = AC = 8 2 dan BC = 8.
Tentukan :
a. tinggi segitiga dari titik sudut A
b. Luas segitiga tersebut
D. MERASIONALKAN PENYEBUT
Contoh : Rasionalkan penyebutnya
1.
2.
6
2

6
2
6
5 2
2
.
2

6 2
3 2
2
6

5 2
.
5 2
5 2

6.( 5  2 ) 6.( 5  2 )

 2.( 5  2 )
52
3
E. PERSAMAAN EKSPONEN
1. Jika a f ( x )  a p maka berlaku f(x) = p ; a  0
2. Jika a f ( x )  a g ( x ) maka berlaku f(x) = g(x) ; a  0
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut :
a.
92x1  27
32.(2x1)  33
34x2  33
4x  2  3
4x  5
5
x
4
Jadi HP = {
5
}
4
b.
2
 1 
  
 32 
3 x 1
x4
2 
5 x  4
2 3 x 1 
2 3 x 1  2 205 x
1
2 3 x 1  2 2
2 3 x 1  2
( 20 5 x )
5
10  x
2
5
x
2
6 x  2  20  5 x
11x  22
x2
3 x  1  10 
Tugas III
1. Rasionalkan penyebutnya :
a.
b.
c.
12
2 3 5
3 2 3
33 2
1
2 2

1
3 2
2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut :
a. 5 x 3  25 x  2
b.
4 2 x 1  64
c.
16 2 x  4  (0,25) 3 x 3
1
d.  
4
x 1
 3 2 3 x 1
F. LOGARITMA
Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Jadi apabila diketahui
ax=b maka x dapat ditentukan dengan logaritma yang berbentuk x =
b
a : bilangan pokok logaritma dengan a > 0, a  1
b : Numerus , b > 0
Contoh :
* 25 = 32
* 3-4 =
1
81
2
log 32 = 5
3
log
1
=-4
81
a
log
Sifat-sifat logaritma
Bila a, b, c dan p bilangan real yang memiliki sifat a > 0, b > 0, p > 0 dan
p  1 ,maka berlaku :
1.
p
log b = x ,maka px = b
2.
p
log ab =
3.
p
log
4.
p
log an = n.
5.
p
log a.a log b.b log c =
6.
a
log b =
7.
p
am
a
log x
log a p
p
p
log b
log b
log a
p
log c ;
a  1, b  1
log b
log a
p
x
log a +
1
; x 1
log p
 x
log b n 
p
10.
p
p
log x =
8. a
9.
a
=
b
p
n a
. log b
m
log 1 = 0
11.
p
12.
p
log p = 1
log pn = n
Contoh :
1. Sederhanakan :
a. 2log 4 – 2log 6 + 2log 12 = 2log
4.12
= 2log 8 = 3
6
b. 3log 4. 2log 125. 5log 81 = 3log 22. 2log 53. 5log 34
= 2. 3log 2. 3.2log 5. 4. 5log 3
= 2.3.4. 3log 2. 2log 5. 5log 3
= 24. 3log 3
= 24
c. 36
6
log 3
d. log 5 

4
36
36
log 9
1

log 10
9
25
1
 log 5 10 log 4 100 log 25
log 100
= log 5 + log 4 + log 5
= log 100
= 10
2. Diketahui 2log 3 = a dan
3
log 5 = b
Nyatakan dengan a dan b bentuk-bentuk berikut :
a.
16
log 3 =
24
b. 9log 32 =
1
1
log 3  .2 log 3  a
4
4
32
5
5
1
5
log 2 5  .3 log 2  . 2

2
2 log 3 2a
Tugas IV
1. Tentukan nilai dari :
a. 3log1/27
b. 9 log
1
3
2. Sederhanakan :
a. 6 log 84 6 log 7  6 log
1
2
1
b. 2 log 8  16 log  4 log 64
4
c.
3
log 25.36 log 27.5 log 6
3. Sederhanakan :
a.
log 2 2  log 3  log 18
log 6
b. log(2 3  2 )  log(2 3  3 )
4. Diketahui 2log 3 = x dan
5
log 2= y
Nyatakan dengan xdan y bentuk-bentuk berikut :
a. 5log 15
b. 2log 45
c.
18
log 20
BAB III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk
menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan
memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda
berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.