Bab 8 Integral

Integral Tak Tentu
F(x) disebut suatu anti
turunan dari f(x) pada interval I bila
F'(x) = f(x) ∀ x ∈I
Contoh
* F( x) =
1 3
2
x adalah anti turunan dari f(x) = x
3
1 3
x + 7 adalah anti turunan dari f(x) = x 2
3
1 3
2
* Secara umum, F(x) = x + C adalah anti turunan f(x) = x
3
* F(x) =
Dari contoh diatas terlihat walaupun anti turunan suatu fungsi berbeda,
namun perbedaannya hanya berupa konstanta.
Anti turunan disebut juga integral tak tentu,
Notasi :
∫ f(x)dx = F(x)+ C
Sifat-sifat integral tak tentu
A
Sifat yang diperoleh langsung dari turunan, disebut juga sebagai rumus-rumus
dasar integral :
r +1
x
r
+ C ; r ≠-1
1. ∫ x dx =
r +1
2. ∫ sinx dx = −cos x + C
3.
∫ cos x dx = sinx + C
4.
2 x dx = tan x + C
sec
∫
B
Sifat kelinieran
C
Integral dengan substitusi
Misal u = g(x) , du = g ' (x) , dan F suatu anti turunan dari f, maka
∫ [af(x) + bg(x)]dx = a∫ f(x)dx +b∫ g(x)dx
∫ f(g(x)) g '(x) dx = ∫ f(u)du = F(u) + c = F(g(x)) + c
Contoh
1.
2.
3.
4.
5.
1 6
∫ x dx = 6 x + c
3 8
7
∫ 3x dx = 8 x + c
1
1
−3
−3 +1
x
dx
=
x
+
c
=
−
+c
2
∫
−3 + 1
2x
1
5 12 +1
2
∫ 5 x .dx = 5∫ x dx = 12 +1 x + c
10 23
10 3
= x +c =
x +c
3
3
1 5
1 −4
2
−5
2
x
+
2
x
−
x
dx
=
x
+
x
+
x +c
)
∫(
5
4
5
CONTOH
1. Cari
a.
∫(x
b.
5
Sin
∫ x Cos x dx
3
+ 5 x ) ( 3x 2 + 5 ) dx
8
Jawab :
a. Misal U = x 3 + 5 x , maka dU = (3x 2 + 5) dx , jadi
U9
9
1 3
x
+
5
x
3
x
+
5
dx
=
U
dU
=
+
c
(
)
=
x
+
5
x
+c
)(
)
(
)
∫(
∫
9
9
3
8
2
8
b. Misal U = Sin x , maka dU = Cos x dx , Jadi
1
1 6
6
∫ Sin x Cos x dx = ∫ U dU = 6 [U ] + c = 6 Sin x + c
5
5
CONTOH
Tentukan integral berikut ini!
a.
∫(x
2
+ 5) 2 x dx
8
b. ∫ ( 5 x − 3)6 5 dx
c.
d.
∫ (4x
3
+ 7 ) 6 x dx
5
2
2
x
−
4
x
) dx
∫(
3
4
e. ∫ 3 x ( 2 x + 6 ) dx
4
3
5
f. ∫ 3x 3x 2 + 7 dx
g.
∫
3y
2y + 5
2
dy
Solusi
a.
2
x
+
5
2
x
dx
u
=
x
+ 5 → du = 2 x dx
,
Misal
)
∫(
8
2
Jadi ,
∫(x
2
+ 5 ) 2 x dx = ∫ u8 du
8
1 9
= u +c
9
9
1 2
= ( x + 5) + c
9
Solusi
b. ∫ ( 5 x − 3 )6 5 dx + , Misal u = 5 x − 3 → du = 5dx
Jadi,
6
5
x
−
3
5
dx
=
u
(
)
∫
∫ du
6
1 7
= u +c
7
1
7
= ( 5 x − 3) + c
7
Solusi
c.
3
2
u
=
4
x
+
7
→
du
=
12
x
dx
,
misal
∫ ( 4 x + 7 ) 12 x dx
3
5
2
2
4
x
+
7
12
x
dx
)
∫(
2
5
= ∫ u5 du
1 6
= u +c
6
6
1
3
= (4x + 7) + c
6
Solusi
d.
3
2
u
=
x
−
4
→
du
=
3
x
dx
misal
∫ ( x − 4 ) x dx
4
3
2
1
→ x dx = du
3
2
∫(x
3
− 4)
4
1
1 4
x dx = ∫ u . du = ∫ u du
3
3
5
11 5
1 3

=  u + c  = ( x − 4) + c
3 5
 15
2
4
e. ∫ 3x 4 ( 2 x 5 + 6 ) dx Misal 2 x 5 + 6 + u
3
→ du = 10 x 4 dx
1
4
→ x dx = du
10
∫ 3x (2 x
4
5
+ 6)
3
3 1 4

dx =
u
c
+

10  4
4
3 1

5
2
6
=
x
+
+
c
(
)

10  4
4
3
5
=
2x + 6) + c
(
40
f. ∫ 3x 3x 2 + 7 dx misal u = 3x 2 + 7 → du = 6 xdx
1
→ xdx = du
6
1
1 12
jadi, ∫ 3x 3x + 7dx = ∫ ( 3x + 7 ) 3xdx = ∫ u 3. du = ∫ u du
6
2
2
2
1
2
1
2
 1  2 23
1  1 12 +1
=  1 u + c  =  u + c 
2  2 +1

 23
1 3
1
u +c =
(3x 2 + 7)3 + c
=
3
3
g.
∫
3y
2y 2 + 5
∫
2
dy misal u = 2 y + 5 → du = 4 y .dy
1
→ y .dy = du
4
3y
3y
3 − 12
dy = ∫ 1 dy = ∫ u du
2
4
u2
2y + 5

3 1
− 12 +1
=  1 u
+ c
4  − 2 +1

3  12
3

=
2u + c =
2y 2 + 5 + c
 2
4
Integral Tentu
Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x). Maka
b
∫ f(x)dx = F(b) − F(a) .
a
Sifat-sifat Integral Tentu
b
1.
a
b
c
a
b
( sifat linier )
a
∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx , dengan a < b < c
a
a
3.
b
∫ [pf(x) + qg(x)]dx = p ∫ f(x)dx + q∫ g(x)dx
a
c
2.
b
∫ f(x)dx = 0
a
dan
b
a
a
b
∫ f (x )dx = − ∫ f(x)dx
Contoh
a.
∫
3
2
3
( 2 x + 5 ) dx =  x + 5 x  2
2
= ( 32 + 5 ( 3) ) − ( 2 2 + 5 ( 2 ) )
=
b.
(9
+ 15)−
(4
+ 10 ) = 10
2
3 x2 + x
x
+
d
x
=
3
1
)
∫−1(
 2

−1
2
3 2
3
2




=  ( 2 ) + ( 2 )  −  ( −1) + ( −1) 
2
 2

3
1
= [6 + 2 ] −  − 1 = 7
2
2

Contoh
c.
∫
8
1 + 3xdx = ? , Misal :
1
u = 1 + 3x → du = 3dx
1
→ dx = du
3
1 12
1 2 3
2

1 + 3x .dx = ∫ u du =  u + c  =
(1 + 3x )3 + c
3
3 3
 9
∫
∫
8
1
8
2
2
3
3
3
1+ 3x .dx =  (1+ 3x )  =  (1 + 24 ) − (1 + 3) 

9
1 9 
2
2
134
3
3
=
25 − 4 = [125 − 8 ] =

 9
9
9
Latihan Soal Integral Tak Tentu
Hitunglah integral berikut!
1.
2
(
x
∫ + x)dx
2.
∫ (x
3
+ x ) dx
2
(
x
+
1
)
dx
3. ∫
4.
∫
(sin x − cos x )dx
5.
2
2
y
y
∫ ( − 3) dy
6.
∫ (x
7.
8.
) (2 x − 3)dx
∫ (3x + 2) (6 x + 8x − 6)dx
2
− 3x + 2
2
2
∫
sin 2 (2 x + 1) cos(2 x + 1)dx
Latihan Soal Integral Tentu
1.
2.
3.
∫
4
∫
0
s4 − 8
s
1
−1
1
∫
π
∫π
2
ds
3 x 2 x3 + 1dx
8t 7 + 2t 2 dx
0
4.
5.
∫
2
2sin t dt
6
π 2
0
sin 2 3 x cos 3 x dx