kalin 11_05

KS091206
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Ruang Perkalian Dalam
Basis Ortogonal
TIM KALIN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan
mahasiswa diharapkan :
pertemuan
ini
– Dapat
mencari
basis
orthogonal
dan
orthonormal dari suatu SPL
– Dapat menghitung proyeksi orthogonal dari
suatu vektor
2
RUANG PERKALIAN DALAM
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 2
RUANG PERKALIAN DALAM
BASIS ORTOGONAL
RUANG PERKALIAN
DALAM
3
DEFINISI:
V = ruang vektor; u, v ∈ V, maka ⟨ u, v ⟩ = skalar
Bab 3: perkalian titik (dot product, Euclidean Inner Product)
R2 : u • v = u1v1 + u2v2
R3 : u • v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Bab 6: perkalian dalam (bersifat umum)
Rn : u • v = w1u1v1 + w2u2v2 + w3u3v3 + … +
wnunvn
w1, w2, w3, …, wn disebut bobot (weight)
RUANG PERKALIAN
DALAM
4
Norm (u) :
di dalam Ruang Perkalian Dalam tertentu
|| u || = ⟨ u, u ⟩ ½
Jarak
di antara dua titik / vektor u dan v
d(u, v) = || u – v ||
Contoh: Ruang Vektor = R2, dengan perkalian dalam = 3u1v1 + 2u2v2
1. Jika u = (1, 0) maka || u || = √3
2. Jika u = (1, 0) dan v = (0, 1) maka d(u, v) = || u – v ||
= || (1, –1) || = √5
RUANG PERKALIAN
DALAM
5
Teorema / aksioma: lihat theorem 6.2.7. Halaman 308
RUANG PERKALIAN
DALAM
6
Sifat pada R2 dan R3 yang berlaku pada Rn, yaitu :
1. u ⋅ v = v ⋅ u
komutatif
2. u ⋅ ( v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w
distributif
3. ( s ⋅ u ) ⋅ v = s ⋅ (u ⋅ v )
homogin
4. u ⋅ v ≥ 0
5. u ⋅ u = 0 jika dan hanya jika
u=0
6. u ⋅ v = u + v Bentuk Matriks, u-t=transpose matriks u
RUANG PERKALIAN DALAM
7
Sudut antara dua vektor:
⟨ u, v ⟩ = || u || || v || cos θ,
di mana θ adalah sudut antara u dan v
Sifat ortogonal:
dua vektor u dan v dalam suatu Ruang Perkalian Dalam saling
ortogonal jika ⟨ u, v ⟩ = 0
RUANG PERKALIAN
DALAM
8
Himpunan ortogonal:
Sebuah himpunan vektor dalam suatu Ruang Perkalian Dalam
(RPD) disebut ortogonal jika untuk semua vektor u, v di RPD
(u ≠ v )dipenuhi ⟨ u, v ⟩ = 0
Contoh:
Ruang Perkalian Dalam : R3 dengan Euclidean product
Himpunan vektor H = { u = (0, 1, 0), v = (1, 0, 1), w = (1, 0, –1) }
H adalah himpunan ortogonal sebab
⟨ u, v ⟩ = 0
⟨ u, w ⟩ = 0
⟨ v, w ⟩ = 0
RUANG PERKALIAN
DALAM
9
Himpunan ortonormal:
Sebuah himpunan vektor ortogonal dalam suatu Ruang Perkalian Dalam
(RPD) disebut ortonormal jika untuk semua vektor u di RPD || u || = 1
Contoh:
Ruang Perkalian Dalam : R3 dengan Euclidean product
Himpunan vektor H = { u = (0, 1, 0), v = (1, 0, 1), w = (1, 0, –1) }
Normalisasi H menghasilkan himpunan ortonormal H’ = {u’, v’, w’}
Caranya:
u’ = u / || u ||
= ( 0, 1, 0 )
v’ = v / || v ||
= ( 1/√2, 0, 1/√2 )
w’ = w / || w ||
= ( 1/√2, 0, –1/√2 )
RUANG PERKALIAN
DALAM
10
Proses Gram-Schmidt
Diketahui V adalah RPD dengan basis B = {u1, u2, …, un}
Dengan proses Gram-Schmidt basis B dapat ditransformasi menjadi
basis ortogonal B’ = {v1, v2, …, vn}
Algoritmanya:
v 1 = u1
v2 = u2 – ( ⟨ u2, v1 ⟩ / || v1 ||2 ) v1
v3 = u3 – ( ⟨ u3, v1 ⟩ / || v1 ||2) v1 – ( ⟨ u3, v2 ⟩ / || v2 ||2 ) v2
…………………….
vn = un – ( ⟨ un, v1 ⟩ / || v1 ||2 ) v1 – ( ⟨ un, v2 ⟩ / || v2 ||2 ) v2 –
………. – ( ⟨ un, vn–1 ⟩ / || vn–1 ||2) vn–1
RUANG PERKALIAN
DALAM
11
Contoh 7:
Ruang R3 dengan Euclidean product dan basis B = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1),
u3 = (0, 0, 1) }. Basis B dijadikan ortogonal B’ = { v1, v2, v3 } dengan proses
Gram-Schmidt, menjadi:
v1 = u1 = (1, 1, 1)
⟨ u2, v1 ⟩ = 2, || v1 ||2 = 3
v2 =
u2 – ( ⟨ u2, v1 ⟩ / || v1 ||2 ) v1
= (0, 1, 1) – (2/3) (1, 1, 1)
= (–2/3, 1/3, 1/3)
⟨ u3, v1 ⟩ = 1, ⟨ u3, v2 ⟩ = 1/3, || v2 ||2 = 6/9 = 2/3
v3 =
u3
– ( ⟨ u3, v1 ⟩ / || v1 ||2) v1 – ( ⟨ u3, v2 ⟩ / || v2 ||2 ) v2
= (0, 0, 1) –
(1/3) / (1, 1, 1)
– ((1/3) / (2/3))(–2/3, 1/3, 1/3)
= (0, –1/2, 1/2)
RUANG PERKALIAN
DALAM
12
Contoh 7:
Ruang R3 dengan Euclidean product dan basis ortogonal B’ dinormalisasi
menjadi basis B” = (q1, q2, q3) yang ortonormal
v1 = (1, 1, 1);
v2 = (–2/3, 1/3, 1/3);
qk = vk / || vk ||
untuk k = 1, 2, 3
q1 = ( 1/√
√3, 1/√
√3, 1/√
√3 );
q2 = ( –2/√
√6, 1 /√
√6, 1/√
√6 );
q3 = ( 0, –1/√
√2, 1/√
√2 );
RUANG PERKALIAN
DALAM
13
v3 = (0, –1/2, 1/2)
Definisi:
Diketahui : Ruang Perkalian Dalam V;
W adalah subspace dari V
Suatu vektor u ∈ V disebut ortogonal W jika u ortogonal
terhadap semua vektor di W
Himpunan vektor-vektor di V yang ortogonal W disebut
komplemen ortogonal dari W
Notasi: komplemen ortogonal W ditulis W⊥
RUANG PERKALIAN
DALAM
14
Teorema:
Diketahui : Ruang Perkalian Dalam V dengan
dimensi berhingga;
Jika W adalah subspace dari V, maka
1. W⊥ adalah subspace dari V
2. W ∩ W⊥ = { 0 }
3. ( W⊥ ) ⊥ = W
RUANG PERKALIAN
DALAM
15
PROYEKSI ORTHOGONAL
• Misalkan u1,u2,…,un merupakan basis orthogonal dari sub
ruang V di Rn.
• Untuk suatu vektor a di Rn, vektor a-p merupakan vektor
terpendek di V, dimana
a • un
a • u1
a • u2
p=
u1 +
u2 + • • • +
un
u1 • u1
u2 • u2
un • un
RUANG PERKALIAN DALAM
16
Contoh:
Diketahui sub ruang V di R4 yang dibangun oleh vektor u1 =
(1,1,0,1), u2 = (1,-2,3,1), u3 = (-4,3,3,1)
Carilah proyeksi dari vektor (0,7,0,7) ke sub ruang V
Penyelesaian:
14
−7
28
p = (1,1,0,1) +
(1,−2,3,1) + (−4,3,3,1)
3
15
35
p = (1,8,1,5)
RUANG PERKALIAN DALAM
17