Fungsi Turunan

Fungsi
Turunan
Riri Irawati, M.Kom
Kalkulus I - 3 sks
AGENDA
Pengertian turunan fungsi
Rumus turunan fungsi
Kaidah Diferensiasi/turunan
Turunan fungsi trigonometri &
transenden
Tujuan
Instruksional
Agar mahasiswa dapat :
 Memahami proses perumusan suatu turunan.
 Mengetahui proses pencarian turunan suatu fungsi dengan
aturan-aturannya.
Pengertian
turunan fungsi
•
Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan
dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.
•
Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana :
△x ⟶0.
•
•
Jika suatu fungsi dinyatakan dengan y=f(x), maka laju perubahan nilai fungsi
dinyatakan dengan:
Laju perubahan nilai fungsi ini disebut fungsi turunan yang dilambangkan
f’(x) (dibaca f aksen x). Jadi,
Pengertian
turunan fungsi
•
•
Misalkan y = f(x) adalah fungsi dari x maka turunan dari y terhadap x dinotasikan
dengan y’ = f’(x) atau Dxf (baca ‘turunan f menurut x’)
Dan didefinisikan sebagai :
•
•
Proses mencari f’(x) dari f(x) disebut penurunan atau pendiferensialan.
Notasi lain untuk turunan fungsi adalah y’,
,
Contoh-1
Jika f(x) = 3x2, tentukan f’(x)
Jawab :
 lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
h
f(x) = 3x2
f(x + h) = 3 (x + h)2=3x2 + 6hx + 3h2
f ( x  h)  f ( x )
h 0
h
3 x 2  6hx  3h 2  3 x 2
 lim
h 0
h
6hx  3h 2
 lim
h 0
h
h(6 x  3h)
 lim
h 0
h
 lim 6 x  3h
 lim
h 0
 6 x  3.0
 6x
Contoh-2
• Dengan menggunakan rumus f’(x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
h
Isilah dan lengkapi tabel berikut:
f(x)
x
x2
x3
x4
5x2
3x2+x
2x2+5x-10
f’(x)
?
?
?
?
?
?
?
Rumus Turunan Fungsi
•
Turunan Fungsi Aljabar
•
Turunan Fungsi Khusus
y  ax n  y'  a.n.x n1
Contoh
Tentukan y’ !
y  ax n  y'  a.n.x n1
1. y  2 x
3
2. y  x
2
f
(
x
)

10
x
1
3.
4
f
(
x
)

x
 2x  3
4.
3
2
5. y  4 x  x  5x  100
Kaidah Diferensiasi/Turunan
1. Diferensiasi Fungsi Konstanta
2. Diferensiasi fungsi linier
3. Diferensiasi fungsi pangkat
Kaidah Diferensiasi/Turunan
4. Diferensiasi penjumlahan atau pengurangan fungsi
5. Diferensiasi perkalian
a. Perkalian fungsi dan konstanta
Kaidah Diferensiasi/Turunan
b. Perkalian fungsi
6. Diferensiasi hasil bagi fungsi
dy/dx
d
u  v   du  dv
dx
dx dx
d
dv
du
(u  v)  u
v
dx
dx
dx
d
du dv
(u  v) 

dx
dx dx
d u
 
dx  v 
v
du
dv
u
dx
dx
2
v
Kaidah Diferensiasi/Turunan
7. Diferensiasi fungsi komposisi (Dalil rantai)
Contoh 1
Diketahui
y  (6 x 2  4) 2 , tentukan y’!
Pembahasan:
Kaidah Diferensiasi/Turunan
•
Contoh 2
2
Diketahui y  3x  4 x  5 , tentukan y’ !
Pembahasan:
Rumus – Rumus Turunan
No
Fungsi Asal
Fungsi Turunan
1
y = xn
y’ = nxn-1
2.
y=x
y’ = 1
3
y = kxn
y’ = k. nxn-1
4
y = kx
y’ = k
5
y = u(x) ± v(x)
y ‘= u’(x) ± v’(x)
6
y = u(x).v(x)
y’ = u’(x).v(x) ± v’(x).u(x)
7
y
8
y = k.u n
u ( x)
; dg v(x) ≠ 0
v( x)
dgn u = f(x)
y' 
u ' v  uv'
v2
y = k . n . un-1 . u’
Latihan 1
Latihan 2
Tentukan f(x)’ atau y’ !
Turunan fungsi trigonometri & transenden
•
Turunan Fungsi Trigonometri akan mempunyai rumus dasar :
f ( x)  sin x  f ' ( x)  cos x
f ( x)  sin ax  f ' ( x)  a cos ax
f ( x)  cos x  f ' ( x)   sin x
f ( x)  cos ax  f ' ( x)  a sin ax
f ( x)  tan x  f ' ( x)  sec 2 x
f ( x)  tan ax  f ' ( x)  a sec 2 ax
f ( x)  a. sin( bx  c)  f ' ( x)  ab. cos(bx  c)
f ( x)  a. cos(bx  a)  f ' ( x)  ab. sin( bx  c)
Contoh
• Tentukan :
1. y  3 cos x
2. y  2 sin x
3. y  2 sin 5 x
1
y

tan
4.
2 x
5. y  4 cos(3x   )
6. y  tan( 2 x  5)
Contoh
Selesaikan turunan dari fungsi trigonometri berikut ini:
a. y = x2 sin x
b. y = sin 5x + cos 6x – sin 3x
Jawab:
a. Misalkan
maka,
b.
u = x2 → u’ = 2x
v = sin x → v’ = cos x
y’ = u’v + uv’
= (2x)(sin x) + (x2)(cos x)
= 2x sin x + x2 cos x
y = sin 5x + cos 6x ― sin 3x
y’ = (5) cos 5x + (6)(-sin 6x) ― (3)(cos 3x)
y’ = 5 cos 5x ― 6 sin 6x ― 3 cos 3x
Contoh
1. Diketahui fungsi f(x) = 3 cos 2x. Jika f’(x) adalah turunan pertama dari
f(x), maka f’(/2) = …
2. Diketahui fungsi f(x) = sin3 10x. Turunan pertama dari f(x) adalah f’(x) =…
3. Diketahui fungsi f(x) = x4.cos3x. Maka f’(x) =…
4. Diketahui fungsi f(x) = tan3 (6x-2). Maka f’(x) =…
5. Diketahui fungsi f(x) = 5x6 + cos 3x + 2sin1/2x, maka f’(x) = …