6MATEMATIKA TEKNIK 2 Residu dan Penggunaan 6 7. RESIDU DAN PENGGUNAAN 7.1. RESIDU DAN KUTUB z0 disebut titik singular dari f(z) bila f(z) gagal analitik di z0 tetapi analitik pada suatu titik dari setiap lingkungan dari z0. Titik singular z0 disebut terisolasi bila ada lingkungan dari z0 yang mengakibatkan f(z) analitik pada lingkungan tersebut kecuali di titik z0 itu sendiri atau dapat dikatakan ada bilangan positif riil R sehingga f(z) analitik pada daerah berbentuk 0 < | z - z0 | < R. Contoh 1 Carilah titik singular dan tentukan jenisnya dari fungsi berikut a. f(z) = 1/z z+1 b. f ( z ) = 3 2 z z +1 ( c. f ( z ) = ) 1 sin(π / z ) Jawab : a. z = 0 titik singular terisolasi b. z = 0 dan z = ± i titik singular terisolasi c. z = 1/n ( n = ±1, ± 2,… ) titik singular terisolasi dan z = 0 titik singular tetapi tidak terisolasi. Misal f(z) analitik pada 0 < | z - z0 | < R dan z0 merupakan titik singular terisolasi dari Maka fungsi f(z) dapat diperderetkan menjadi deret Laurent yaitu : ∞ ∞ bn n f ( z ) = ∑ an (z − z0 ) + ∑ n n= 0 n =1 ( z − z0 ) 1 1 f ( z) Secara khusus koefisien dari yaitu b = dz , n = 1,2, … ∫ n n − n +1 2 π i (z − z ) C( z − z ) f(z). 0 0 dengan C merupakan lintasan tutup sederhana yang termuat pada 0 < | z - z0 | < R dan 1 menutupi z0 dengan arah positif. Untuk n = 1 maka b1 = f ( z ) dz . b1 disebut residu 2 πi ∫ C 1 dari f(z) di z0 ( nilai koefisien dari suku ). Notasi : b1 = Re s f (z ) z − z0 z=z0 Bagian prinsipal deret dari hasil perderetan fungsi f(z) di z = z0 adalah ∞ bn b1 b2 ∑ = + +... Bila bm ≠ 0 dan bm+1 = bm+2 = bm+3 =……= 0, n z − z 0 (z − z )2 n =1 ( z − z ) 0 0 ∞ b b2 bm n maka f ( z ) = ∑ an (z − z0 ) + 1 + +...+ 2 m. z − z0 (z − z ) n =0 ( z − z ) 0 0 7MATEMATIKA TEKNIK 2 Residu dan Penggunaan 7 dengan 0 < | z -z0 | < R dan bm ≠ 0. Dari bagian prinsipal deret di atas dikatakan bahwa titik singular terisolasi z0 disebut kutub ( pole ) order m . Bila m = 1 maka z0 disebut kutub sederhana. Bila m = ∞ maka z0 disebut titik singular esensial. Untuk menentukan order titik singular dari f(z) dilakukan dengan memperderetkan f(z) ke dalam deret Laurent terlebih dahulu, seperti diperlihatkan dalam contoh berikut. Contoh 2 Tentukan order dari titik singular fungsi berikut : z2 − 2z + 3 a. f ( z ) = z−2 sinh z b. f ( z ) = z4 c. f ( z ) = e1/ z Jawab : Perderetan dari ketiga fungsi tersebut di atas diberikan sebagai berikut : z 2 − 2z + 3 3 a. f ( z ) = = 2 + (z − 2 ) + ........( 0 <| z − 2| < ∞ ) z−2 z−2 z = 2 merupakan kutub order 1 ( kutub sederhana ) 3 1 z 3 z5 = 1 + 1 + z + z +.....( 0 <| z| < ∞ ) = z + + + ... 3! 5! z4 z4 z3 3! z 5! 7! z = 0 merupakan kutub order 3 b. f ( z ) = sinh z ∞ 1 1 c. f ( z ) = e1/ z = ∑ ............( 0 <| z |< ∞ ) n n = 0 n! z z = 0 merupakan titik singular esesnsial. Dari contoh 2 terlihat bahwa berturut-turut nilai dari residu di titik singularnya adalah 3, 1/6 dan 1. Dalam menentukan residu suatu fungsi di titik singularnya kita tidak harus memperderetkan fungsi tersebut terlebih dahulu, namun dilakukan dengan cara sebagai berikut. 7.1.1. Cara Menghitung Residu Misal fungsi f(z) dengan titik singular z0. Maka kemungkinan bentuk dari f(z) dan rumus perhitungan residu di z0 dapat diberikan sebagai berikut: Kutub sederhana 8MATEMATIKA TEKNIK 2 Residu dan Penggunaan 8 Misal f(z) mempunyai kutub sederhana di z0. Maka residu dari f(z) di z = z0 dihitung dengan, Re s f ( z ) = lim (z − z0 ) f ( z ) z= z0 z→ z0 P (z) dengan P(z) dan Q(z) keduanya analitik di z = z0 Q( z ) dan (z - z0 ) merupakan faktor linier tidak berulang dari Q(z) serta P( z0 ) ≠ 0 maka P( z0 ) Re s f ( z ) = Q '( z0 ) z= z0 Dari kondisi tersebut, bila f ( z ) = Kutub order m Misal f(z) mempunyai kutub order m ( m = 2,3,4,…) di z = z0 . Maka residu dari f(z) di z = 1 d ( m−1) m z0 dihitung dengan, Re s f ( z ) = lim ( z − z0 ) f ( z ) . Dari kondisi m − 1 z= z0 z→ z0 ( m − 1) ! dz Φ(z) tersebut dapat juga dituliskan f ( z ) = dengan Φ( z ) analitik di z = z0 dan Φ( z0 ) ( z − z0 )m ≠ 0 sehingga Re s f ( z) = z= z0 Φ (m−1) ( z0 ) ( m − 1)! Contoh 3 Tentukan residu di titik singular dari fungsi berikut : z +1 1. f ( z ) = 2 . z +9 2. f ( z ) = 3. f ( z ) = z 3 + 2z ( z − i)3 ( 1 ) z ez − 1 Jawab : a. Titik singular terisolasi f(z) , z = ± 3i, ( kutub sederhana ). Φ(z) z +1 3+ i Untuk z = 3i → f ( z ) = , Φ(z ) = analitik di z = 3i dan Φ(3i) = Jadi z − 3i z + 3i 6 3+ i residu di z = 3i :Re s f ( z) = . 6 z = 3i Φ( z ) z +1 3− i , Φ( z ) = analitik di z = -3i dan Φ(-3i) = . z + 3i z − 3i 6 3 −i Jadi residu di z = -3i : Re s f ( z ) = . 6 z= −3i Untuk z = -3i → f ( z ) = b. Titik singular tersisolasi f(z), z = i ( kutub order 3 ). 9MATEMATIKA TEKNIK 2 Residu dan Penggunaan 9 Φ (z ) f (z) = 3 , Φ(z) = z + 2z : fungsi entire dan Φ(i) = i ( z − i)3 Re s f ( z ) = z =i Φ"( i ) = 3i. 2! c. Titik singular terisolasi f(z) , z = 0. 1 Φ(z) Bila f ( z ) = dengan Φ( z ) = z maka Φ(z) tidak analitik di z = 0. Oleh karena z e −1 itu rumus perhitungan residu tidak dapat diterapkan. Adapun cara penyelesaian dengan z memperderetkan e di z = 0 sehinggga didapatkan hasil : 1 1 1 Φ(z) dengan Φ( z ) = f (z) = = = z z2 z2 z ez − 1 z z2 1+ + +... z 2 1 + + +... 2! 3! 2! 3! analitik di z = 0 dan Φ(0) = 1. −1 Re s f ( z ) = Φ ' ( 0) = . 2 z= 0 ( ) Soal Latihan___________________________________________________________ ( Nomor 1 sd 6 ) Tentukan titik singular dari : cos 4z 1. 3 z4 − 1 ( 2. 3. ) eπ z ( z2 − iz + 2) 2 sin2 z z 4 cos 2 z 1 4. e z −1 ez − 1 1 5. cosh 2 z +1 1 6. sinh z 2 ( Nomor 7 sd 18 ) Hitung residu pada titik singular dari fungsi berikut : 7. f ( z ) = 50 z ( z + 4)( z − 1) 2 10 MATEMATIKA TEKNIK 2 Residu dan Penggunaan 10 z − 1 3 8. f ( z ) = z + 1 cosh z 9. f ( z ) = 4 z −1 1 10. f ( z ) = sin 3z 11. f(z) = tan z 12. f(z) = cot z z−1 13. f ( z ) = sin z 9z + i 14. f ( z ) = 3 z +z 4 1 15. f ( z ) = 3 − 2 z z 2z − 3 16. f ( z ) = 3 z + 3z 2 17. f(z) = sec z 18. f ( z ) = − z 2 − 22 z + 8 z 3 − 5z 2 + 4z ______________________________________________________________________ 7.2. PENGGUNAAN RESIDU UNTUK MENGHITUNG INTEGRAL. 7.2.1. Integral Kompleks. Perhitungan integral kompleks selain menggunakan rumus Cauchy dan bentuk turunannya dapat juga diselesaikan menggunakan residu. Adapun metode residu ini diberikan sebagai berikut. Misal C lintasan tutup sederhana dengan arah positif, f(z) analitik kecuali pada sebanyak hingga titik singular zk ( k = 1,2,3,…., n) pada daerah yang dibatasi oleh C. Maka ∫ n f ( z ) dz = 2πi ∑ C Re s f ( z ) . k =1 z = zk Cara penyelesaian dari integral kompleks tersebut dilakukan sebagai berikut : 1. Ditentukan semua titik singular dari integran f(z). 2. Dicari residu dari f(z) di semua titik singular yang terletak di dalam lintasan C 3. Perhitungan integral kompleks dapat diperoleh dengan mengalikan jumlah hasil kedua dengan 2 π i. Contoh 4 11 MATEMATIKA TEKNIK 2 Hitung ∫ C Residu dan Penggunaan 11 5z − 2 dz , C adalah lingkaran |z| = 2 dengan arah positif. z ( z − 1) Jawab : 5z − 2 , titik singular z = 0 dan z = 1, keduanya terletak di dalam daerah yang z ( z − 1) dibatasi oleh C. Re s f ( z ) = 2 dan Re s f ( z ) = 3 . ∫ f ( z ) dz = 10πi . f (z) = z= 0 z=1 C Contoh 5 ∫ Hitung : 3z3 + 2 ( ) 2 C ( z − 1) z + 9 a. C ≡ |z - 2| = 2 b. C ≡ | z | = 4 dz , C diambil arah positif dengan bentuk : Jawab : 3z 3 + 2 f (z) = , titik singular : z = 1, z = ± 3i. ( z − 1) z 2 + 9 ( ) a. z = 1 terletak di dalam daerah yang dibatasi C. Re s f ( z) = z =1 1 → 2 ∫ f (z ) dz = π i . C b. z = 1, z = ± 3i terletak di dalam daerah yang dibatasi C. − 81i + 2 81i + 2 Re s f ( z ) = dan Re s f ( z ) = . Jadi ∫ f ( z ) dz = 6πi (3i − 1)( 6i ) ( −3i − 1)( −6i ) z= 3i z=−3i C Contoh 6 Hitung ∫ dz 3 C z ( z + 4) a. | z | = 2 b. | z + 2 | = 3 , dengan C ( arah positif ) : Jawab : 1 f (z) = 3 , titik singular : z = 0 dan z = -4 z ( z + 4) 1 −1 Re s f ( z ) = dan Re s f ( z ) = 64 64 z =0 z=−4 a. z = 0 terletak di dalam daerah |z| = 2. Jadi ∫ f ( z ) dz = C 3i 32 12 MATEMATIKA TEKNIK 2 Residu dan Penggunaan 12 b. z = 0 dan z = -4 terletak di dalam daerah |z + 2| = 3. Jadi ∫ f ( z ) dz = 0 C Soal Latihan___________________________________________________________ ( Nomor 1 sd 3 ) Hitung integral berikut dengan C ≡ |z| = 2 arah positif 1. ∫ tanz dz C 2. dz ∫ sinh 2 z C 3. cosh πz dz ∫ ( ) 2 C z z +1 ( Nomor 4 sd 6 ) Hitung integral berikut bila C merupakan lingkaran satuan dengan arah berlawanan dengan jarum jam. 1 4. ∫ e z dz C 5. sin π z ∫ z6 C dz z4 + 6 6. ∫ 2 C z − 2z dz ( Nomor 7 sd ) Hitung setiap integral berikut menggunakan metode residu. 7. 8. ∫ sin z 2 |z|= 5 z − 4 ∫ dz tan z dz |z|= 2π 9. 10. ∫ ez |z|= 3 z( z − 2) ∫ 3 dz ei z 2 |z|= 3 z ( z − 2) (z + 5i) 1 11. ∫ dz 2 z sin z |z|=1 dz 13 MATEMATIKA TEKNIK 2 3z + 2 ∫ 12. Residu dan Penggunaan 13 4 |z|= 3 z + 1 1 ∫ 13. dz 2 |z|= 8 z + z + 1 ∫ 14. |z|=1 dz 1 1 e z sin dz z ______________________________________________________________________ 7.2.2. Integral ( Riil ) Tak Wajar ∞ 7.2.2.1. Bentuk integral tak wajar : −∞ ∞ ∫ f (x ) dx Bentuk integral ∫ f (x ) dx dengan f(x) merupakan fungsi rasional dapat diselesaikan −∞ menggunakan metode residu. Integral tak wajar diberikan : ∞ ∫ f ( x ) dx = Lim R2 0 ∫ f ( x ) dx + Lim ∫ f ( x ) dx . Bila f(x) fungsi genap maka R1 →∞ − R1 −∞ ∞ R2 →∞ 0 1∞ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx . 20 −∞ Untuk menghitung integral tak wajar di atas dipandang f(x) = f(z) dan C merupakan lintasan yang melingkupi separo bidang atas. Sehingga nilai integral tak wajar merupakan nilai integral kompleks dari f(z) terhadap lintasan C yakni hasilkali 2 π i dengan jumlah residu di titik singular dari f(z) yang terletak di daerah separo bidang atas dan dituliskan sebagai berikut : ∞ n ∫ f (x ) dx = 2 π i ∑ Re s f ( z) k =1 z= zk −∞ zk merupakan titik singular dari f(z) yang terletak di separo bidang atas. Contoh 7 Hitung integral tak wajar berikut : ∞ a. ∫ 2x2 − 1 4 2 −∞ x + 5x + 4 ∞ dx b. ∫ 2 0 x +1 Jawab : dx 14 MATEMATIKA TEKNIK 2 Residu dan Penggunaan 14 2x 2 − 1 2z2 − 1 2z2 − 1 a. f ( x ) = 4 ⇒ f (z) = 4 = x + 5x 2 + 4 z + 5z 2 + 4 z2 + 1 z2 + 4 ( )( ) Titik singular : z = ± i dan z = ± 2i. Yang terletak di separo atas bidang yaitu : z = i dan z = 2i. ∞ −1 3 π Re s f ( z ) = dan Re s f ( z ) = . ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( z ) dz = 2i 4i −∞ 2 z= i z = 2i C 1 b. f ( x ) = 2 adalah fungsi genap. x +1 1 f (z) = 2 , titik singular : z = ± i. z +1 Yang terletak di separoh atas bidang, z = i. ∞ ∞ 1 π Re s f ( z ) = → ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( z ) dz = π ⇒ ∫ f ( x ) dx = 2i 2 z =i −∞ C 0 Soal Latihan___________________________________________________________ ( Nomor 1 sd 6 ) Hitung integral tak wajar berikut : ∞ 1. ∫ ( )2 2 0 x +1 ∞ 2. dx ∫ x 2 dx ( )( ) )( ) 2 2 0 x +1 x +4 ∞ x 2 dx 3. 2 2 0 x + 9 x +4 ∞ x 2 dx ∫ 4. ( ∫ ∞ 5. 6. ( )2 −∞ x 2 + 1 ∫ dx 2 −∞ x + 2 x + 2 ∞ ∫ −∞ x dx ( x2 + 1)( x2 + 2 x + 2) 7.2.2.2. Bentuk integral tak wajar : 15 MATEMATIKA TEKNIK 2 Residu dan Penggunaan 15 ∞ ∞ ∫ f ( x ) cos ax dx atau −∞ ∫ f ( x) sin ax dx dengan a ∈ R+ −∞ Untuk menghitung integral tak wajar di atas, kita dapat memandang : ∞ ∫ f ( x ) eiax dx = −∞ ∫ ∫ ∞ ∫ f ( x ) cos ax dx + i −∞ ∞ Sehinggga ∞ ∞ −∞ ∞ bagian riil dan imajiner dari ∫ −∞ ∫ f ( x ) cos ax dx dan f ( x ) sin ax dx f ( x ) sin ax dx berturut-turut merupakan −∞ f ( x) eiax dx . −∞ Dengan menggunakan Residu kita dapatkan perhitungan integral pada ruas kiri, yaitu: ∞ ∫ f ( x ) ei a x dx = 2 π i −∞ n ∑ [ Re s f ( z) ei a z k =1 z = zk iaz zk merupakan titik singular dari f(z) e ] yang terletak di separo bidang atas. Contoh 8 Hitung integral tak wajar berikut ∞ a. ∫ cos x dx ∫ sin x dx x2 + 1 −∞ ∞ b. x2 + 1 −∞ Jawab : Kedua integral tersebut dapat diselesaikan bersama-sama sebagai berikut : ei z ei z Residu di titik singular 2 = yang terletak di separo bidang atas yaitu : z + 1 ( z + i )( z − i ) ∞ e −1 Re s 2 = . Sehingga ∫ 2i z =i z + 1 −∞ ei z ∞ Jadi ∫ −∞ cos x dx x2 + 1 π = dan e ∞ ∫ −∞ ei x dx x2 + 1 = sin x dx x2 + 1 π . e = 0. Soal Latihan___________________________________________________________ 16 MATEMATIKA TEKNIK 2 Residu dan Penggunaan 16 ( Nomor 1 sd 8 ) Hitung integral berikut menggunakan residu. ∞ 1. ∫ ( 3. 2 −∞ x + 2 x + 2 ∞ cos x dx ∫ ∞ ∫ x 3 sin x ∫ 4 −∞ x + 1 ∫ dx cos x 2 dx 2 0 x +4 ∞ 7. dx 2 0 x +1 ∞ 6. ( x2 + 4)( x2 + 1) cos 2 x ∞ 5. 2 dx x sin x dx ∫ −∞ 4. ) −∞ x 2 + 1 ∞ 2. cos 3x ∫ ( ) x sin 2 x dx x2 + 3 πx ∞ x sin 2 dx 8. ∫ 4 −∞ x + 4 0 7.2.3. Integral Tentu Bentuk integral tentu yang dapat diselesaikan menggunakan metode residu adalah: 2π ∫ F ( sin θ, cos θ ) dθ dengan F ( sin θ, cos θ ) merupakan fungsi rasional dalam sin θ dan 0 cos θ dan nilai fungsi hingga pada interval [ 0, 2 π ]. i θ Untuk menyelesaikan integral tersebut, diambil z = e dan lintasan C merupakan lingkaran satuan dengan arah berlawanan jarum jam sebab nilai θ bergerak dari 0 sampai 2 π . Sehingga didapatkan: dz • dθ = iz ei θ + e− i θ 1 1 • cos θ = = z + 2 2 z 17 MATEMATIKA TEKNIK 2 Residu dan Penggunaan 17 ei θ − e −i θ 1 1 • sin θ = = z − 2 2i z Substitusi hasil di atas ke dalam integral didapatkan bentuk integral kompleks sebagai berikut : z − z −1 z + z −1 dz , ∫ F iz 2 i 2 C Contoh 9 2π Hitung integral ∫ dθ 2 + sinθ ∫ 2 dz 0 Jawab : 2π ∫ 0 dθ = 2 + sinθ 2 C z + 4i z − 1 . 2 Residu di titik singular f ( z ) = 2 yang terletak di dalam lingkaran satuan, yaitu: z + 4i z − 1 Re s z= −2 i + 3 f (z) = 1 i 3 2π . Jadi dθ 2π = . 2 + sinθ 3 0 ∫ Soal Latihan___________________________________________________________ ( Nomor 1 sd 7 ) Selesaikan integral berikut menggunakan residu 2π 1. dθ 1 0 1 + sin θ 4 ∫ 2π 2. ∫ dθ 2 + cos θ ∫ dθ 5 + 4 sin θ ∫ dθ 0 2π 3. 0 π 4. 5. 2 −π 1 + sin θ 2π 2 ∫ 0 4 cos θ dθ 5 − 4 cos θ 66 MATEMATIKA TEKNIK 2 2π 6. ∫ 0 2π 7. ∫ Residu dan Penggunaan 66 dθ 2 + cos θ sin6 θ dθ 0 _____________________________________________________________________________________ Daftar Pustaka 1.