Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan
Linear
Gema Parasti Mindara
Persamaan linear
• Persamaan linear yaitu persamaan dimana
nilai pangkat tertinggi dari variabelnya bernilai
satu.
• Persamaan linear dengan n buah variabel x1,
x2, x3, …, xn dimana persamaannya dapat
dinyatakan dalam bentuk:
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + …+ an.xn = b
• Dimana a1, a2, a3, …, an adalah konstanta real
• Secara umum, sistem persamaan linear
dengan n variabel dan m persamaan dapat
disajikan dalam bentuk:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
• Dapat disajikan dalam notasi matriks Ax = b
𝑏1
𝑎11
𝑎12 …
𝑎1𝑛
𝑥1
𝑎21
𝑎22 …
𝑎2𝑛
𝑥2 = 𝑏2
…
𝑎𝑚1
…
…
𝑎𝑚𝑛
𝑥𝑛
𝑎𝑚2 …
…
𝑏𝑛
• Berdasarkan bentuk matriks koefisien A, sistem
persamaan linear diatas dikelompokkan kedalam
3 kelas, yaitu:
– m < n: sistem persamaan under-determined, yaitu
banyaknya variabel (n), lebih dari banyaknya
persamaan (m). Dalam hal ini, terdapat tak hingga
banyaknya penyelesaian dengan derajat kebebasan
(degree of freedom) n – m
– m = n: sistem persamaan bujur sangkar, dimana
banyaknya variabel sama dengan banyaknya
persamaan. Solusi akan ada dan unik bila matriks nonsingular atau memiliki invers
– m > n: sistem persamaan over-determined atau sering
juga disebut persoalan kuadrat terkecil. Dalam hal ini
umumnya tidak ada solusi.
• Solusi Banyak (Tak hingga)
• Solusi Unik
• Tidak ada solusi
• Contoh 1 :
• Perhatikan sistem persamaan linear berikut:
2x1 + 3x2 – 5x3 = -8
- x1 – x2 + 15x3 = 42
5x1 – 2x2 + x3 = 11
• Berapakah nilai dari masing-masing variabel
x1, x2 dan x3?
• Jawaban :
• x1 = 2, x2 = 1, x3 = 3
Bagaimana cara
menyelesaikan solusinya?
Metode Penyelesaian
Sistem Persamaan Linear
• Untuk dapat menyelesaikan sistem persamaan
linear, terdapat beberapa metode yang dapat
digunakan:
– Metode Eliminasi Gauss
– Metode Eliminasi Gauss-Jordan
– Metode Matriks balikan
– Metode Dekomposisi LU
– Metode Lelaran Jacobi
– Metode Lelaran Gauss-Seidel
Sistem Linear Segitiga
Atas
• Sistem persamaan linear Ax = b, dengan matriks
koefisien A berupa matriks segitiga atas, dapat ditulis
dalam bentuk:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a22x2 + … + a2nxn = b
…………. …… ……. ….. ……. …….. …… ….. ……
am-1,n-1xn-1 + am-1,nxn = bn-1
amnxn = bn
• Dengan asumsi, elemen-elemen diagonal tak sama
dengan nol akk  0, untuk k = 1,2,…,n, maka terdapat
suatu solusi tunggal untuk sistem linear tersebut. jika
tidak, maka akan tidak terdapat solusi atau solusinya
berjumlah tak hingga.
• Solusi yang diberikan dapat dicari dengan melakukan
penyulihan mundur, yaitu dengan menyelesaikan
persamaan terakhir pertama kali, diperoleh nilai xn,
selanjutnya peroleh nilai xn-1 sampai terakhir
didapatkan nilai x1.
• Mencari nilai xn
• 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛

𝑥𝑛 =
𝑏𝑛
𝑎𝑚𝑛
• Mencari nilai xn-1 setelah diketahui nilai xn
• 𝑎𝑚−1,𝑛−1 𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑚−1,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛−1
 𝑥𝑛−1 =
𝑏𝑛−1 −𝑎𝑚−1,𝑛 𝑥𝑛
𝑎𝑚−1,𝑛−1
• Mencari nilai xn-2 setelah diketahui xn-1 dan xn
• 𝑎𝑚−2,𝑛−2 𝑥𝑛−2 + 𝑎𝑚−2,𝑛−1 𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑚−2,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛−2
 𝑥𝑛−2 =
𝑏𝑛−2 −𝑎𝑚−2,𝑛−1 𝑥𝑛−1 −𝑎𝑚−2,𝑛 𝑥𝑛
𝑎𝑚−2,𝑛−2
• Setelah nilai xn, xn-1, xn-2 diketahui, maka
diperoleh nilai xk sebagai:
• 𝑥𝑘 =
𝑏𝑘 − 𝑛
𝑗=𝑘+1 𝑎𝑘𝑗 𝑥𝑗
𝑎𝑘𝑘
, k = n-1, n-2,…,1; akk0
Determinan Matriks segitiga atas
• Jika A adalah matrisk segitiga, maka nilai
determinannya adalah hasilkali elemen-elemen
diagonalnya, det(A)=a11 x a12 x … x amn
Contoh 2 :
• Gunakan metode penyulihan mundur untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear:
4x1–x2+2x3+3x4 = 20
-2x2+7x3-4x4 = -7
6x3+5x4 = 4
3x4 = 6
Eliminasi Gauss & Pivoting
• Metode Eliminasi Gauss pada prinsipnya bertujuan
mentransformasikan sistem Ax = b menjadi Ux = y.
• Dimana U adalah matriks segitiga atas. Selanjutnya, pencarian
nilai variabel x dihitung dengan teknik penyulihan mundur.
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑏1
• [A,b] = 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑏2 menjadi [U,y]
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑏3
𝑎11
𝑎12
𝑎13 𝑏1
1
(1)
(1)
𝟎
𝑎
𝑎
𝑏2
• [U,y] =
22
23
2
𝟎
𝟎
𝑎33 𝑏3 (2)
• Dimana (1) dan (2) menunjukkan bahwa elemen matriks A
berubah sebanyak satu kali dan dua kali.
• Dua sistem persamaan linear berukuran nxn
dikatakan setara apabila himpunan solusinya
sama. Teorema-teorema dari aljabar linear
memperhatikan bahwa bilamana transformasi
tertentu diterapkan pada suatu sistem yang
diketahui, maka himpunan solusinya tidak
berubah.
• Untuk dapat merubah sistem persamaan linear
kedalam bentuk matriks segitiga atas maka dapat
dilakukan dengan menggunakan OBE (Operasi
Baris Elementer) pada matriks [A,b].
• Peubah-peubah xk adalah pemegang posisi untuk
koefisien-koefisien dan dapat dihilangkan sampai
akhir perhitungan.
• Operasi-operasi berikut, bila diterapkan pada
matriks lengkap akan menghasilkan sistem
yang setara:
– Pertukaran: urutan dua baris dapat ditukar
– Penskalaan: perkalian sebuah baris dengan
konstanta tidak nol
– Penggantian: sebuah baris dapat diganti oleh
jumlah baris itu dengan suatu kelipatan
sembarang baris lainnya.
• Contoh 3:
2x1 + 3x2 – 5x3 = -8
- x1 – x2 + 15x3 = 42
5x1 – 2x2 + x3 = 11
• Penyelesaian:
• Eliminasi kolom 1 dengan menggunakan pivot a11 = 2
𝟐
3 −5 −8
• −1 −1 15 42 R2,R1(1/2) dan R3,R1(-5/2)
5 −2 1 11
• Eliminasi kolom 2 dengan menggunakan a22 = 1/2
2
3
−5 −8
25
𝟏
• 𝟎
2 38 R3,R2(19)
𝟐
𝟎 − 19 2 27 2 31
•
2
𝟎
𝟎
3
−5 −8
𝟏
25
38
𝟐
2
𝟎 251 753
• Baris yang angka-angkanya diberi tanda merah merupakan baris
tumpuan, dimana angka yang ditebalkan merupakan pivot untuk
mengeliminasi kolom dibawah diagonal matriks.
• Setelah matriks berubah menjadi segitiga atas, maka lakukan
metode penyulihan mundur.
• Proses diatas disebut dengan Proses Eliminasi Gauss
• Proses eliminasi Gauss harus dimodifikasi
sehingga dapat dipakai dalam keadaan
apapun.
Kelemahan Eliminasi Gauss
• Jika pivot akk = 0, maka baris ke-p tidak dapat
digunakan untuk mengeliminasi elemen pada
kolom k, karena terjadinya pembagian dengan
nol. Oleh karena itu, pivot yang bernilai nol
harus dihindari dengan strategy pivoting.
• Metode Eliminasi Gauss dengan strategy
pivoting disebut metode Eliminasi Gauss yang
diperbaiki (Modified Gaussian Elimination)
• Contoh 4 :
Selesaikan sistem persamaan linear dengan
menerapkan metode eliminasi Gauss yang
menerapkan tataancang pivoting.
x1 + 2x2 + x3 = 2
3x1 + 6x2
=9
2x1 + 8x2 + 4x3 = 6
Penyelesaian:
𝟏
• 3
2
2
6
8
1 2 𝑅 , 𝑅 (−3) 1
2
1
0 9
0
𝑅3, 𝑅1(−2)
4 6
0
1
𝑅3 ↔ 𝑅2
•
0
2
4
1 2
2 2
2
𝟎
4
1 2
−3 3
2 2
Karena pada elemen a22
=0, maka dilakukan
pertukaran (*) antara
baris 2 dan 3.
• Jika terdapat beberapa elemen tak nol pada kolom k
yang terletak dibawah diagonal utama, maka terdapat
pilihan untuk menentukan baris mana yang ditukar.
2 macam pivoting untuk memperkecil galat:
• Pivoting sebagian (partial pivoting), pivot dipilih dari
semua elemen pada kolom k yang mempunyai nilai
mutlak terbesar, yaitu bertujuan untuk memperkecil
perambatan galat, maka periksa besarnya semua
elemen d kolom k yang terletak pada atau dibawah
diagonal:
𝑎𝑝𝑘 = 𝑚𝑎𝑥 𝑎𝑘𝑘 , 𝑎𝑘+1,𝑘 , … , 𝑎𝑛−1,𝑘 , 𝑎𝑛𝑘
• Pivoting lengkap (complete pivoting), yaitu jika
disamping baris kolom juga diikutkan dalam pencarian
elemen terbesar dan kemudian dipertukarkan. Pivoting
lengkap jarang dipakai dalam program sederhana
karena pertukaran kolom mengubah urutan suku x dan
akibatnya menambah kerumitan program.
• Latihan:
1.
4𝑥 + 10𝑦 = 30
6𝑥 + 25𝑦 = 67
2.
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 16
−4𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −63
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 80
• Selesaikan dengan menggunakan Metode
Gauss
Eliminasi Gauss-Jordan
• Metode Eliminasi Gauss-Jordan merupakan variasi
dari eliminasi Gauss .
• Metode ini memiliki keuntungan untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear pada
komputer.
• Yaitu dengan cara melakukan perhitungan
tambahan yang mereduksi matriks menjadi
matriks identitas sebagai pengganti matriks
segitiga.
• Oleh karena itu, untuk mencari nilai-nilai
variabelnya tidak diperlukan lagi metode
penyulihan mundur untuk memperoleh solusi
SPL. Solusinya langsung diperoleh dari vektor
kolom b hasil proses eliminasi.
• Ax = b  Ix = b’
• Seperti pada metode eliminasi Gauss, metode
eliminasi Gauss-Jordan tidak menerapkan
pivoting dalam proses eliminasi.
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎2𝑛
…𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
3𝑛
• 31 32 33
⋱
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 … 𝑎𝑛𝑛
𝑏′1
𝑏′2
𝑏′3
⋮
𝑏′𝑛
x1
= b’1
x2
= b’2
x3
= b’3
….. ….
xn = b’n
𝑏1
1 0 0 …0
𝑏2
0 1 0 …0
𝑏3  0 0 1 0
⋱
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⋮
…
0 0 0 1
𝑏𝑛
Solusinya:
• Contoh 5:
• Selesaikan dengan Eliminasi Gauss-Jordan.
•
𝑥1 + 4𝑥2 = 2
−4𝑥1 + 𝑥3 = 10
−2𝑥1 −6𝑥2 = 12
• Penyelesaian:
𝟏
4 0 2 𝐵2, 𝐵1(4) 1 4 0 2
• −4 0 1 10
0 16 1 18
𝐵3, 𝐵1(2)
−2 −6 0 12
0 −6 2 16
1
• 0
4
16
1
0 2
1 18 B2(1/16) 0
4
1
0
1
2
9
•
•
•
•
•
•
•
1 4
0 𝟏
0 −6
0
1
16
2
1
0
0
0 −1 4
1 1 16
0 38 16
1
0
0
0 −1 4
1 1 16
0
𝟏
−1
2 𝐵1, 𝐵2(−4) 1 0
9
8 𝐵3, 𝐵2(6) 0 1
16
0 0
13
9
2
8
91
4
13
9
182
1 0
B3(16/38) 0 1
0 0
2
8
19
1
38
−1
1
1
16
13
9
182
𝐵1, 𝐵3(1 4) 1 0
0 1
𝐵2, 𝐵3(− 1 16)
0 0
Solusinya:
b’1 = x1 = 233/76 = 3.0657895
b’2 = x2 = -135/304 = 0.4440789
b’3 = x3 = 182/19 = 9.5789474
13
9
16
4
16
4
91
2
8
4
2
8
19
233
0
76
0 − 135 304
1 182 19
• Penyelesaian SPL dengan menggunakan
metode Gauss-Jordan membutuhkan jumlah
komputasi yang lebih banyak daripada metode
eliminasi Gauss.
• Karena alasan itulah, penyelesaian SPL dengan
menggunakan Eliminasi Gauss sudah cukup
memuaskan.
• Namun, metode Eliminasi Gauss Jordan
merupakan dasar dari pembentukkan matriks
invers.
• Latihan:
1.
4𝑥 + 10𝑦 = 30
6𝑥 + 25𝑦 = 67
2.
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 16
−4𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −63
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 80
• Selesaikan dengan menggunakan Metode
Gauss-Jordan
Metode Matriks Balikan
(Invers Matrix)