aplikasi integral

Bahan ajar Kalkulus Integral
2009 APLIKASI INTEGRAL
1. LUAS DAERAH BIDANG
Misalkan f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h1,
h2, …, hn yang panjangnya ∆1x, ∆2x, …, ∆nx (anggap ∆1x = ∆2x = … = ∆nx), ambil sebarang
titik x = xi pada masing-masing hi dan bentuk persegi panjang yang alasnya hi (jadi
panjangnya ∆ix) dan tingginya f(xi).
Persegi panjang tersebut disebut sebagai persegi panjang pendekatan dengan luas = f(x.i) ∆ix.
Sehingga jumlah luas n persegi panjang adalah :
∆
Luasan tersebut merupakan pendekatan dari luas daerah yang dibatasi oleh f(x), sumbu X,
dan garis-garis x = a dan x = b. Jika ∆kx Æ0, maka banyaknya subinterval n Æ ∞, sehingga
luas daerah tersebut adalah :
lim
∞
∆
Misal : luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x, sumbu X, x = 1 dan x = 3 adalah :
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 1 Bahan ajar Kalkulus Integral
2009 1
2
|
1
9
2
1
4
Ada beberapa hal yang harus diketahui adalah :
A. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≥ 0 pada interval tersebut maka luas daerah yang
dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah
B. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≤ 0 pada interval tersebut maka luas daerah yang
dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 2 Bahan ajar Kalkulus Integral
2009 C. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan bertukar tanda, maka luas daerah yang dibatasi oleh
f(x) ≤ 0, x = a, x = b, dan sumbu X sama dengan penjumlahan luas masing-masing
daerah. Misal pada gambar :
Maka Æ Luas = Luas I + Luas II + Luas III
Jadi
Atau secara umum luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah
|
|
D. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik x = f(y), garis-garis y = a, y = b, dan sumbu Y
adalah :
|
|
E. Kalau fungsi f(x) dan g(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b, secara umum berlaku bahwa luas
daerah yang dibatasi oleh f(x) dan g(x), garis x = a serta x = b adalah :
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 3 Bahan ajar Kalkulus Integral
2009 b
Luas = L = ∫ f ( x) − g ( x) dx a
seperti tampak pada gambar berikut :
atau bila f(y) dan g(y) kontinu pada a ≤ y ≤ b, maka luas daerah yang dibatasi oleh f(y),
g(y), garis y = a, dan y = b, adalah :
b
Luas = L = ∫ f ( y ) − g ( y ) dy a
seperti tampak pada gambar berikut :
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 4 Bahan ajar Kalkulus Integral
2009 Catatan Penting :
Untuk menghitung luas suatu daerah bidang dengan integral, secara umum bisa dilakukan
langkah-langkah sebagai berikut :
1. Buat gambar daerah yang dimaksud, juga persegi panjang pendekatannya dengan tebal
∆x (bila persegi panjang tegak / vertikal) atau ∆y (bila persegi panjang mendatar /
horizontal).
2. Tentukan luas persegi panjang pendekatan, tentukan batas kiri / kanan (untuk yang tegak)
atau batas bawah / atas (untuk yang mendatar). Kemudian gunakan integral untuk
menghitung jumlah luas persegi panjang tersebut yang banyaknya dibuat menjadi ∞.
Contoh pemakaian integral untuk menghitung luas daerah :
1. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 4, garis x = 0, x = 3, dan sumbu X adalah :
Jadi luas daerah tersebut adalah :
2
(
)
3
(
)
Luas = ∫ − x − 4 dx + ∫ x 2 − 4 dx
2
0
Writing by [email protected] ‐ UMP 2
Page 5 Bahan ajar Kalkulus Integral
2009 ⎛1
⎞
⎛1
⎞
= − ⎜ x 3 − 4 x ⎟ 02 + ⎜ x 3 − 4 x ⎟
⎝3
⎠
⎝3
⎠
3
2
⎧⎛ 1
⎞ ⎫ ⎧⎛ 1
⎞ ⎛1
⎞⎫
= − ⎨⎜ .8 − 4.2 ⎟ − 0⎬ + ⎨⎜ .27 − 4.3 ⎟ − ⎜ .8 − 4.2 ⎟⎬
⎠ ⎭ ⎩⎝ 3
⎠ ⎝3
⎠⎭
⎩⎝ 3
⎧ 8 ⎫ ⎧⎛ 27
⎞ ⎛8
⎞⎫
= − ⎨ − 8⎬ + ⎨⎜ − 12 ⎟ − ⎜ − 8 ⎟⎬
⎩ 3 ⎭ ⎩⎝ 3
⎠ ⎝3
⎠⎭
⎛ 16 ⎞ ⎛ 9 ⎛ 16 ⎞ ⎞
= − ⎜ − ⎟ + ⎜⎜ − − ⎜ − ⎟ ⎟⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎝ 3 ⎠⎠
=
16 7
23
+ =
3 3
3
Jika dilakukan penghitungan nilai integral secara langsung, maka akan terjadi kesalahan
yaitu
3
(
)
⎛1
⎞
Luas = ∫ x 2 − 4 dx = ⎜ x 3 − 4 x ⎟
⎝3
⎠
0
3
0
⎛1
⎞
= ⎜ .27 − 4.3 ⎟ − 0 = 9 − 12 = − 3
⎝3
⎠
Æ (salah !!! tidak ada besar luasan yang bernilai negatif).
2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 4 dan garis y = 3x.
Titik potong parabola f(x) = y = x2 – 4 dan garis lurus g(x) = y = 3x adalah (4, 12) dan (-1, 3)*
*) y = x2 – 4 dipotongkan dengan garis y = 3x maka x2 – 4 = 3x atau x2 - 4 - 3x = 0.
Dengan menggunakan pencarian akar kuadrat dari persamaan kuadrat x2 – 4 - 3x = 0,
diperoleh (x – 4)(x + 1) = 0, berarti x = 4 atau x = -1. Untuk x = 4, maka y = 12, dan
untuk x = -1, maka y = -3. Sehingga diperoleh pasangan titik potong kedua kurva yaitu
(4, 12) dan (-1, -3).
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 6 Bahan ajar Kalkulus Integral
2009 Grafik dari kurva seperti berikut :
Sesuai dengan kondisi (E), maka dapat dihitung luas daerah sbb :
4
4
4
−1
−1
−1
Luas = ∫ f (x ) − g ( x ) dx = ∫ x 2 − 4 − 3 x dx = ∫ x 2 − 3x − 4 dx
selanjutnya perlu diselidiki tanda-tanda dari persamaan kuadrat tersebut yaitu :
x2 - 3x - 4 = (x – 4)(x + 1).
+++---+++
-1 4
Jadi pada interval -1 ≤ x ≤ 4, x2 - 3x – 4 ≤ 0 sehingga penghitungan luas dilakukan dengan
menegasikan nilai integrand-nya sbb :
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 7 Bahan ajar Kalkulus Integral
2009 4
(
)
4
3
⎞
⎛ 1
Luas = ∫ − x 2 − 3x − 4 dx = ∫ − x 2 + 3x + 4 dx = ⎜ − x 3 + x 2 + 4 x ⎟
2
⎠
⎝ 3
−1
−1
4
−1
3
3
⎞
⎞ ⎛ 1
⎛ 1
3
2
= ⎜ − .4 3 + .4 2 + 4.4 ⎟ − ⎜ − .(− 1) + .(− 1) + 4.(− 1)⎟
2
2
⎠
⎠ ⎝ 3
⎝ 3
125
⎞ ⎛ 112 13 ⎞
⎞ ⎛1 3
⎛ 64 48
+ ⎟ =
=⎜−
+
+ 16 ⎟ − ⎜ + − 4 ⎟ = ⎜
6
6⎠
2
⎠ ⎝ 6
⎠ ⎝3 2
⎝ 3
Sebagai catatan bahwa jika dilihat dari gambar, maka pada interval -1 ≤ x ≤ 4, kurva garis
terletak di atas kurva parabola yang berarti bahwa g(x) – f(x) bernilai positif atau 3x – (x2 –
4) positif, sehingga luas daerah yang dibatasi kedua kurva tersebut bisa langsung dihitung
menggunakan :
4
Luas =
∫ (g ( x) − f ( x)) dx = ∫ {3x − (x
−1
=
4
−1
2
)}
4
(
)
4
(
)
− 4 dx = ∫ 3 x − x + 4 dx = ∫ − x 2 + 3x + 4 dx
−1
2
−1
125
6
3. Luas daerah satu ruas sikloida x = t – sin t, y = 1 – cos t seperti ditunjukkan pada gambar
berikut adalah :
Luas satu ruas dapat diambil misalnya untuk t = 0 sampai 2π. Karena x = t – sin t, maka
dx = dt – cos t dt = (1 – cos t) dt.
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 8 Bahan ajar Kalkulus Integral
2009 Sehingga
2π
Luas =
∫ y dx
t =0
2π
=
∫ (1 − cos t ) (1 − cos t ) dt
t =0
2π
=
∫ (1 − cos t )
2
dt
t =0
2π
=
∫ (1 − 2 cos t + cos
2
t ) dt
t =0
2π
=
2π
2π
∫ 1 dt − 2 ∫ cos t dt + ∫ cos
t =0
t =0
2π
0
2π
0
=t|
−2 sin t |
2
t dt
t =0
2π
+ ∫ cos 2 t dt
t =0
2π
untuk menghitung nilai integral
∫ cos
2
t dt gunakan kesamaan fungsi trigonometri cos2t = 1 -
t =0
2
sin t, sehingga
2π
2
∫ cos t dt =
t =0
=
2π
∫ (1 − sin
2
2π
2π
t =0
t =0
t ) dt
t =0
2
∫ (1 dt − ∫ sin t dt
=t|
2π
0
2π
− ∫ sin 2 t dt .
t =0
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 9 Bahan ajar Kalkulus Integral
2009 2π
∫ sin
2
t dt dihitung menggunakan kesamaan trigonometri (1 − cos x) = 2 sin 2
1
2
x , dengan
t =0
demikian sin2t = ½(1 - cos2t) sehingga
2π
2π
t =0
t =0
2
∫ sin t dt =
1
∫ 2 (1 − cos 2t ) dt
2π
1
= ∫ (1 − cos 2t ) dt
2 t =0
2π
2π
1
1
= ∫ 1 dt − ∫ cos 2t dt
2 t =0
2 t =0
2π
=
1 2π 1
t |0 − ∫ cos 2t dt .
2 t =0
2
Dengan substitusi u = 2t, maka du = 2 dt, sehingga
2π
∫ cos 2tdt
2π
=
t =0
1
∫ cos u 2 du
t =0
2π
1
= ∫ cos u du
2 t =0
=
2π
Jadi
∫ (1 − cos t )
t =0
2
1
1
sin u |02π = sin 2t |02π .
2
2
1
1 1
dt = t |02π −2 sin t | 02π + t |02π − t |02π + . sin 2t |02π
2
2 2
1
1 1
= t |02π + t |02π − t |02π −2 sin t |02π + . sin 2t | 02π
2
2 2
1
1
= 2t |02π − t |02π −2 sin t | 02π + sin 2t | 02π
2
4
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 10 Bahan ajar Kalkulus Integral
2009 =
3 2π
1
t |0 −2 sin t |02π + sin 2t |02π
2
4
3
1
1
= .2π − (2 sin 2π − 2 sin 0) + ( sin 4π − sin 0)
2
4
4
= 3π − 0 + 0 = 3π
Latihan :
1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 4x – x2 dan sumbu X.
Sebagai bantuan, grafik kurvanya adalah :
2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y2 = 4x dan garis y = 2x – 4 dengan garfik
sebagai berikut :
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 11 Bahan ajar Kalkulus Integral
2009 3. Hitung luas daerah antara y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x. Grafik digambarkan seperti berikut :
4. Tentukan luas daerah yang di dalam y2 = x2 – x4 dengan grafik simetri terhadap sumbu X
dan simetri terhadap sumbu Y dan grafik ditunjukkan seperti berikut :
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 12 Bahan ajar Kalkulus Integral
2009 Luas daerah bisa dihitung dengan menghitung 4 kali luas pada kuadran pertama. Luas
daerah di kuadran pertama adalah :
1
1
0
0
Luas1 = ∫ x 2 − x 4 dx sehingga luas daerah keseluruhan adalah Luas = 4 ∫ x 2 − x 4 dx
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 13