Identifikasi Sebaran Campuran Berhingga

sebaran, dan transfonnasi Laplace. Bab tiga
membahas tentang sebaran campuran berhingga
dengan beberapa contoh. Pada bab empat dan linna
diulas syarat perlu dan syarat cukup suatu kelas
sebaran campuran berhiigga diitakan dapat
diidentifikasi, serta beberapa contoh kelas sebaran
yang memenuhi. Bab enain berisi kesimpulan
lwsil peinbalwsan.
II. LANDASAN TEORI
Untuk memahami penyelesaian masalali
identifikasi
campberllingga
diperlukan beberapa teori sebagai berikut.
o-lapangan yang dibangun oleh yaitu EI = o m )
disebut hintprrr~unBorel atau Borel o-Irrpnngan
dari R".
2.1 Ulmran
Definisi 3. (Ukuran Peluang) [Billingsley, 19781
Misalkan 4 adalah lapangan dari Q. Fungsi
bernilai nil P yang terdefinisi pada F disebut
ukuranpeluang ataupeluang jika memenuhi :
i. 0 5 P(A) s 1, untuk setiap A E F
ii. P ( 0 ) = 0, P(Q) = 1
iii. jika.4,,A2, ... adalah barisan saling lepas di F
Definisi 1. (Lapangan) pillingsley, 19781
Misalkan F adalah koleksi himpunan bagian dari
0 , inaka Fdisebut lapangan jika
i. Q E ~
ii. jikaA E 4 nlakaACE F
iii. jikaA,B E FrnakaA u B E F.
rn
dan
co
EFmaka~(~A,)=g~(A,).
k=I
Fdisebut 5 lapangan jika
i. F adalah lapangan
UA,
k=I
k=l
Pasangan (S2,KP) disebut ruang ukurarr pelrrang
atau ruangpelufrng.
rn
ii. jikaA1,A2, ... E Fmaka
UA,
E F
k=l
J i a 4 adalah o-lapangan dari 0 , maka pasangan
(Q,qdisebut ruang terukrrr.
Contoh 1.
Misalkan Q = R, A = [2,3) maka A' = (-03.2) u
[3,03). Misalkan 4 = {.4A:R,@,
maka F adalah
lapai?gai7 dart sekaligus G-lapangal? .
0
Misalkan 2 merupakan koleksi himpunan
bagian dari S2. Dengan melakukan operasi
gabungan. irisan. dan komplemen pa& 2 &pat
diperoleh suatu o-lapangal7 Fyang d i b a n , ~oleh
2 dan dinotasikan F =
Contoh 2.
Dari contoli 1, Fadalah lapangan yang dibanguri
oleh liinipunan A, atau ditulis F=o(A).
0
Definisi 2. (HiinpunanBorel)pillingsley. 19781
Misalkan
a = { x ~ x = ( x l , x ~ x 3, ,x-n. ) , a , r x , r b , ,
I,€
R, i= 1.2.: ,... 17 }
Definisi 4. (Fungsi Terukur) [Kolmogorov &
Fomin 19611
Misalkan T adalal~o-lapangan dari Q dan L8
adalah Borel o - lapangan dari R. Misalkan f
adalah fungsi bemilai riil yang terdefinisi pada 0.
Fungsi f dikatakan terukur jika f -'(B~E4 untuk
setiap llinipunan B E B .
Fungsi terukur f pada ruang u k m peluang
(REP), disebut peubah acak.
2.2 Fungsi Sebaran
Definisi 5. (Fungsi Icepekatan Peluang)pogg &
Craig. 19951
Misalkan X adalah beubah acak di (QTP),
AX) >o,~ € 0dan
,
f(x)dx= 1
n
inaka P(.II). untuk A E F dapat dinyatakan sebagai
P(A) = P(,Yd) = Jf(x)dx
A
diinana Ax) disebut fungsi kepekntan pelrtang
dari peubali acak X.
Definisi 6. (Fungsi Sebaran)[Hogg & Craig, 19953
Fungsi sebaran dari peubah acak X didefinisikan
oleh
F(x) = P[.Y 2 x] =
(o)do
as =
untnk setiap xeR.
If
2.3 Transformasi Laplace
Definisi 10. (Transfonnasi Lap1ace)parlow.
19941
Misalkan f adalah fungsi dari R ke R, maka
transforntasi Laplace daxi fadalah suatu fungsi F
yang didefinisikan oleh
m
Sifat fungsi sebaran adalah
1. lim F(x) = 0 dan lim F(x) = 1
*---
F(t)
-m
r--
2. F fungsi tak turun
3. F fungsi yang kontinu k a n a yaitu
l i ~ nF(x) = F(xO).untuk s e t i a p x ~ ~ R .
I-'%*
Definisi 7. (Fungsi Sebaran Normal)[Hogg &
Craig, 19953
Peubah acak X dikatakan menyebar norntal
dengan parameter p dan o: dimana PER, dan
o > 0, jika S mempunyai fungsi kepekatan
peluang
J e-x' f (x) dx
=
dan dinotasikan dengan L m .
Lema 1.
Transfor171asi Laplace dari sebaran nonnal adalall
Buliti : lihat lampiran.
2
1 x-p
1
Ax) = e
p
- ,-m<x<w.
Untuk p = 0 dan
norntal bakri.
0
Lema 2.
Transforn~asiLaplace dari s e b a m gamma
=1, S dikatakan menyebar
Definisi 8. (Fungsi Sebaran Ganuna)[Hogg &
Craig, 19951
Peubah acak X dikatakan menyebar gantma
dengan parameter a dan P, diunana a > 0, dan
p > 0, jikaSmempunyai fungsi kepekatan peluang
dengan
Definisi 9. (Fungsi Sebaran Poisson)[Hogg &
Craig, 19953
Peubah acak X dikatakan mempunyai sebaran
Poisson dengan parameter i. > 0, jika fungsi
kepekatan peluang dari -1- dapat dinyatakan
sebagai
Bukti : lihat lampiran
Lema 3,
Transfor~nasi Laplace dari s e b a m Poisson
dengan pamneter h > 0 adalah
Buliti :
2.4 Basis Suatu Ruang Vektor
Definisi 11. (Merentang) [Anton, 19911
Misalkan 'I adalah mang \&lor alas R. Jika
S = {i71.ix1
..... 1.' ) adalah lumpunan vektor di .1' dan
jika setiap vektor )I'EP' dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier
is = k l ~ '+l k2v2+ ...+kni>"
uniuk suatu k; E R. i = 1.2.3.....17; maka vektorvekor di S dikatakan rnerentang 1' dan
dinotasikan I,'= < S >.
Dcfinisi 12. (Bebas Linier)[Anton, 19911
Misalkan V adalah mang vektor atas R. Jiia
S = {IJI.~~Z
,...,v,) adalah himpunan vektor di I/,
maka persamaan
klvl + k Zl'z+ ...+ k "18" = 0
mempunyai paling sedikit satn pemecahan yaitu
k , = o . n ; = o . k ~ = o...., k,=O.
Jika ini adalah satu-satunya pemecallan maka S
disebut lunlpunan yang bebas linier. Jika ada
peinecalian lain. inaka S disebut lulnpunan tali
bebas linier.
Dcfinisi 13. (Basis Suatu Ruang Vektor)[Anton.
19911
Jika li adalah se~nbarangmang vektor atas R dan
S = {i'1.i'2.....i~,) adalah liimpunan vektor di V
maka S dikatkan basis unluk I.jika S bebas linier
dan S ilierentang I'
Misalkan d = {F(.,a) I aeR;')
adalah
keluarga fungsi sebaran yang dicirikan oleh
parameter a ER;' , dimanaR;' adalah hiipunan
bagian Bore1 dari ruang Euclidean berdimensi 111,
Rm.Fnngsi F(.,.) terukur di R'XR;' . Misalkan G(.)
mempakan fungsi sebaran pada R;' , maka
H(x) =
I F(x.a)dG(a)
(3.1)
R;
disebut sebaran cantpuran dengan G adalah
sebaran pencanlpur. [Teicher, 19601
Contoh 3. [Lloyd, 19801
Misalkan f adalah fungsi kepekatan peluang dari
keluarga fungsi sebaran eksponensial 6,yang
didefinisikan oleh
fix,@ = Be'&,
x > O,8 > 0,
dan g adalah fungsi kepekatan peluang pencampur
yang hanya tergantung pada parameter 8 yang
didefinisikan ole11
g(O ) = ae'". a > O,B > 0,
maka sebaran canlpuran dari fungsi eksponensial
adalah
Misalkan Cfi = {G(.)/ G fungsi sebaran pada
R;' ) adalah kelas semua sebaran pencampur G
dan cie*adalah kelas selnua sebaran campuran H,
yaitu
&={H(.)lH(x)=
JF(x.a)dG(a)).
acRp
Misalkan
H ( x )=
I F(x.a)dG(a)
E
cie*
as~y
dan
fi(x) = IF(x.a)dG(a) E c
*.
~ER?