matriks - WordPress.com

LA - WB
(Lembar Aktivitas Warga Belajar)
MATRIKS
Oleh:
Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd
MATEMATIKA PAKET C
TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2
SETARA KELAS XII
Created By Ita Yuliana
15
Matriks
Kompetensi Dasar
1. Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi
merupakan invers dari matriks persegi lain
2. Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2
3. Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel
Kasus
Sistem perbankan semakin maju berkat kemajuan di bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Salah
satu contohnya adalah penggunakan kriptograf (teori pengkodena) pada transaksi online di bank. Pada
saat seseorang menggunakan mesin EDC (Electronic data Capture). Data pada kartu dibaca mesin
EDC kemudian diubah menjadi koed rahasia.Kode rahasia tersebut dikirim ke server bank. Server
bank mengubah kembali kode tersebut sehingga data pemilik kartu kredit diketahui.
Mesin EDC dirancang menggunakan ilmu kriptografi. Kriptografi mengatur data ke dalam bentuk
matriks. Penggunaan kriptograf dan matriks sangat bermanfaat untuk mencegah pencurian data oleh
hacker.
Ringkasan Materi
A. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks
1. Pengertian dan notasi matriks
Perhatikan tabel berikut yang menyajikan nilai ulangan peserta paket C berikut ini
Nama
Fauzia
Agus
Caca
Bahasa Inggris
60
65
60
Bahasa Indonesia
75
70
80
Matematika
70
50
75
Posisi angka-angka di atas dapat kita tulis dalam bentuk : (
)
Susunan bilangan yang diatur seperti di atas dinamakan matriks
Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut baris dan kolom
Setiap bilangan dalam suatu matriks disebut elemen matriks. Matriks biasanya dilambangkan
dengan huruf kapital seperti A, B, C, dan sebagainya, sedangkan elemennya biasanya dengan
huruf kecil.
Contoh:
P=(
)  baris 1
 baris 2
Kolom 1 Kolom 2
Created By Ita Yuliana
 baris 1
Q=(
)  baris 2
 baris 3
Kolom 1 Kolom 2
16
Pada matriks P :
elemen pada baris pertama
elemen pada kolom kedua
elemen pada baris kedua kolom pertama (p21)
elemen pada baris kedua kolom kedua (p22)
: 1, 3
: 3, 2
:5
:2
Pada matriks Q:
elemen pada baris pertama
elemen pada kolom kedua
elemen pada baris kedua kolom pertama (q21)
elemen pada baris ketiga kolom kedua (q32)
: 3, 1
: 1, 2, 7
:4
:7
2. Ordo matriks
Ordo atau ukuran suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom
yang terdapat dalam matriks tersebut.
Contoh:
P=(
)
Q=(
)
R=(
)
Matriks P mempunyai 2 baris dan 2 kolom, dikatakan ordonya 2 x 2 dan ditulis P2x2
Matriks Q mempunyai 2 baris dan 3 kolom, dikatakan ordonya 2 x 3 dan ditulis Q2x3
Matriks R mempunyai 3 baris dan 3 kolom, dikatakan ordonya 3 x 3 dan ditulis R3x3
Jika matriks A mempunyai m baris dan n kolom, maka matriks tersebut berordo
m x n dan ditulis Amxn
B.
Macam-macam Matriks
1. Matriks baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris
Contoh :
A = (1 2 3)
B = (2 5 7 8)
2. Matriks kolom
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom
Contoh:
C=( )
D=( )
3. Matriks persegi
Matriks persegi adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama
Contoh:
E=(
Created By Ita Yuliana
)
F=(
)
17
4. Matriks nol
Matriks nol adalah matriks yang elemennya nol
Contoh:
Q=(
P = (0 0)
)
R=(
)
5. Matriks identitas
Matriks identitas adalah matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya 1 dan
elemen lainnya nol
Contoh:
H=(
C.
)
I=(
)
Transpose Matriks
Transpose matriks A ditulis A′ atau At adalah suatu matriks baru yang diperoleh dengan cara
mengubah setiap baris dari matriks A menjadi kolom matriks At.
Contoh:
E=(
)
maka
Et = (
Q=(
)
maka
Qt = (
)
)
D. Kesamaan Matriks
Dua matriks dikatakan sama jika:
1. ordo kedua matriks sama;
2. elemen-elemen yang bersesuaian sama
contoh:
1.
A=(
)
B=(
B=(
)
E=(
)
)
C=(
)
F=(
)
Matriks-matriks di atas yang sama adalah A = F dan B = D
2. Tentukan nilai x dan y jika: (
)=(
)
Jawab:
(
)=(
)
maka 2x = 8  x = 4 dan
y=5
Created By Ita Yuliana
18
Aktivitas 1
1. Diketahui matriks P = (
)
a. ordo matriks P
b. elemen-elemen kolom 3
c. elemen-elemen baris 2
2. Tuliskan ordo dan transpose setiap matriks berikut
a. (
)
b. ( )
c. (
)
d. (
)
3. Matriks-matriks berikut manakah yang sama ?
A=(
B=(
C=(
)
)
)
D= (
)
G= (
E= (
)
H=(
F= ( )
I= (
)
)
)
4. Tentukan x dan y pada matriks berikut
a. (
E.
)=(
)
b. (
)=(
)
c. (
)= (
)
Operasi Matriks
1. Penjumlahan matriks
Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Penjumlahan dilakukan dengan cara
menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian
Contoh:
Tentukan A + B jika A = (
) dan B = (
)
Jawab:
A+B=(
)+(
)=(
)
2. Pengurangan matriks
Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Jika A dan B merupakan dua matriks
yang berordo sama maka
A – B = A + (-B)
Created By Ita Yuliana
19
Contoh:
Diketahui A = (
) dan P = (
), carilah A – P
Jawab:
A – P = A + (-P) = (
)+(
)=(
)
3. Sifat penjumlahan dan pengurangan matriks
Jika matriks A, B, dan C berordo sama maka berlaku
1. A + B = B + A (sifat komutatif)
2. (A + B) + C = A + ( B + C) (sifat asosiatif)
3. Mempunyai unsur identitas, yaitu matriks nol sedemikian rupa sehingga
A + (-A) = (-A) + A = 0 (-A adalah matriks lawan atau invers penjumlahan)
Aktivitas 2
1. Diketahui matriks-matriks sebagai berikut
P=(
)
Q=(
Tentukan :
a. P+Q
b. P+R
c. Q+R
)
d. P – Q
e. P – R
f. Q – R
R=(
)
g. (P+Q) – R
h. P – (Q – R)
i. (P+Q) – (P+R)
2. Tentukan matriks A dari
a.
A+(
b.
A–(
)=(
)
) =(
)
3. Tentukan nilai a, b, dan c jika
a.
(
)+(
b.
( )+( )=(
)=(
)
)
4. Carilah nilai x dan y yang memenuhi persamaan (
Created By Ita Yuliana
)+(
)=(
)
20
4. Perkalian matriks dengan bilangan real
Jika suatu matriks A dikalikan dengan bilangan real maka kA adalah matriks yang
elemennya terdiri dari hasil kali elemen-elemen matriks A dengan bilangan k sehingga:
Jika diketahui A = (
) maka kA = k . (
)=(
)
Contoh:
2(
)=(
)=(
)
Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real
Jika p, q adalah bilangan real sedangkan A dan B adalah matriks berordo sama maka:
1. pA = Ap
2. (p+q)A = pA + qA
3. p(A+B) =pA + pB
4. p(qA) = (pq)A
5. Perkalian dua matriks
Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan
banyak baris matriks B. Jadi untuk mencari hasil kali matriks A dengan matriks B adalah
mengalikan baris-baris matriks A dengan kolam-kolom matriks B dan kemudian jumlahkan
hasil perkalian antara baris dan kolom itu.
Amxn . Bnxp = Cmxp
(
)(
)=(
)
Contoh:
Jika A = (
) dan B = (
AxB=(
) (
)=(
) maka
)=(
)=(
)
Sifat perkalian matriks
Untuk setiap matriks A, B, dan C bebrordo m x n maka
1. AB BA (tidak komutatif)
2. (AB)C = A(BC) (berlaku sifat asosiatif)
3. A(B+C) = AB + AC (berlaku sifat distributif)
4. (B+C)A = BA + CA (berlaku sifat distributif)
5. k(AB) = (kA)B = A(kB) (k bilangan real)
Created By Ita Yuliana
21
Aktivitas 3
1. Diketahui matriks A = (
),B=(
), dan C = (
b. 3A – 3B
a. 2A + 3C
). Tentukan
c. 3(A+B+C)
2. Jika P adalah matriks ordo 2x2, tentukan P dari persamaan 2P + ( ) = ( )
3. Tentukan hasil perkalian matriks berikut
a.
( -2 3) ( )
b. (
)(
c. (
)
)(
d. (
)(
)
)
4. Tentukan x dan y dari persamaan matriks (
F.
)( )=(
)
Matriks Ordo 2 x 2
1. Pengertian matriks identitas ordo 2x2
Matriks identitas adalah matriks dimana elemen-elemen pada diagonal utama adalah 1 dan
diagonal lainnya adalah 0
Matriks identitas ordo 2x2 adalah (
)
Contoh:
a. (
)(
)=(
)=(
)
b. (
)(
)=(
)=(
)
Tampak bahwa matriks (
) tidak mengubah hasil perkalian. Jadi IA = AI = A
2. Determinan matriks
Jika matriks A = (
) maka determinan matriks A dinotasikan dengan “det A
atau | | didefinisikan | | = ad – bc
Contoh:
Carilah determinan matriks A = (
)
Jawab:
det A = |
Created By Ita Yuliana
| = (4.3) – (2.1) = 12 – 2 = 10
22
3. Invers matriks
Jika matriks A dan B berordo 2x2 dan hasil kali matriks tersebut adalah matriks identitas (I)
maka A adalah invers dari matriks B dan sebaliknya
) dinyatakan dengan notasi A-1 dan ditentukan dengan rumus:
Invers matriks A =(
(
) atau dapat ditulis
(
)
Catatan
1. Tidak semua matriks persegi mempunyai invers. Jika det A = 0 maka matriks A tidak
mempunyai invers dan disebut matriks singular
2. Matriks A mempunyai invers jika det A
0. Matriks tersebut dinamakan matriks
nonsingular
Contoh:
Carilah invers matriks A = (
)
Jawab :
det A = |
| = (4.3) – (2.1) = 12 – 2 = 10
(
)=(
)
Aktivitas 4
1. Carilah determinan dari matriks berikut
a. A = (
)
b. B = (
)
c. (
)
2. Carilah nilai x jika
a. |
|=2
3. Diketahui matriks A = (
a. (AB)-1
4. Diketahui matriks P = (
Created By Ita Yuliana
b. |
) dan B = (
b. A-1B-1
|=2
). Tentukan
c. B-1A-1
). Tentukan invers dari tranpose P
23
G. Persamaan Matriks
Jika A, B dan X matriks berordo 2x2 maka penyelesaian persamaan matriks
AX = B adalah X = A-1B
XA = B adalah X = BA-1
Contoh:
Carilah matriks X dari persamaan
1. (
)X=(
2. X (
)
)=(
)
Jawab:
1. (
)X=(
)
(
X=
(
(
=
=
)(
(
(
(
)
)
)
)
X =(
)(
(
=(
)(
)
(
(
(
)) ((
)
)
(
) )
(
)
)
(
(
= -1 (
)
)
)
)
= -1 (
Created By Ita Yuliana
)
)
)
)=(
=(
(
)
)
=(
=
)
(
= -1 (
2. X (
)
)
)
24
Aktivitas 5
Tentukan matriks X dari persamaan
1. (
)X=(
2. (
)
)X=(
3. (
)X=(
4. X (
)=(
5. X (
)=(
6. X (
)
)
)
)
)=(
)
H. Pemakaian Matriks
Matriks dapat digunakan untuk menyelesaian sistem persamaan linear dua variabel. Bentuk
umum SPLDV yaitu :
{
Jika dalam bentuk matriks maka persamaan linear di atas dapat ditulis :
)=( )  (
(
) ( )=( )
Untuk mencari nilai x dan y menggunakan 2 cara yaitu:
1. Sifat invers matriks :
A.X = B  X = A-1.B
( )=
(
) ( )
2. Dengan cara determinan
|
x=
Created By Ita Yuliana
=
|
|
|
y=
=
|
|
|
|
25
contoh:
1. Tentukan himpunan penyelesaian persaman berikut dengan menggunakan invers matriks :
{
Jawab:
Persamaan di atas diubah ke bentuk matriks:
(
) ( )=(

( )=
)
(
)(
)= (
)=( )
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x = 1 dan y = 4 atau {(1, 4)}
2. Tentukan penyelesaian persaman berikut dengan menggunakan determinan: {
Jawab:
D =|
| = 5.(-3) – (-7).2 = -15 + 14 = -1
Dx = |
| = 3.(-3) – (-7).1 = -9 + 7 = -2
Dy = |
| = 5.1 – 3.2 = 5 – 6 = -1
 x =
=
=2
 y =
=
=1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 1)}
Aktivitas 6
1. Tentukan himpunan penyelesaian persaman berikut dengan menggunakan invers matriks :
a. {
b. {
2. Tentukan himpunan penyelesaian persaman berikut dengan menggunakan determinan :
a. {
b. {
3. Nina membeli 4 roti dan 3 donat dengan harga Rp 9.000,00 dan nani membeli 2 roti dan 1
donat dengan harga Rp 4.000,00. Tentukan:
a. sistem persamaan linear dua variabel x dan y dari persoalan di atas
b. penyelesaian SPLDV pada soal di atas dengan menggunakan invers matriks
c. berapa harga roti dan donat masing-masing
Created By Ita Yuliana
26