HAND-OUT - WordPress.com

HAND-OUT
Student Name
:
Subject
: Matematika Wajib
Grade/Class
:
Topic
: Logika Matematika
Date
:
Teacher(s)
: Mr. Daniel Kristanto
Semester
: 2
Parent’s Signature
:
/
LOGIKA MATEMATIKA
Kalimat logika matematika dibagi menjadi 2 hal :
A. Kalimat pernyataan
: kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak
sekaligus kedua-duangnya.
Contoh :
1. Hasil kali 5 dan 4 adalah 20.
2. Ada bilangan prima yang genap.
B. Kalimat bukan pernyataan, kalimat ini dikelompokkan menjadi 3 hal :
a) Kalimat tanya.
1. Apakah Budi sudah makan?
2. Jam berapakah sekarang?
b) Kalimat seru/kalimat perintah.
1. Tutup pintu itu!
2. Cepatlah makan!
c) Kalimat terbuka
: kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Ciri dasar
kalimat terbuka adalah adanya peubah atau variabel.
1. 2𝑥 + 3 = 9
2. 5 + 𝑛 adalah bilangan prima.
Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti 𝑝, 𝑞, 𝑟 dan sebagainya. Misalnya :
𝑝
: semua bilangan prima adalah ganjil
𝑞
: Jakarta ibukota Indonesia
INGKARAN DARI PERNYATAAN
Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan
semula. Ingkaran dari pernyataan 𝑝 dinotasikan ~ 𝑝 dibaca “bukan 𝑝” atau “tidak 𝑝”.
Tabel kebenarannya sebagai berikut :
𝑝
~𝑝
B
S
S
B
Contoh :
a. 𝑝
~𝑝
b. 𝑞
~𝑞
: Ayah pergi ke pasar
: Ayah tidak pergi ke pasar
:2 + 5 < 5
:2 + 5≥ 5
MS HIGH |Grade 10 | Matematika Wajib| Hand-out| 25 April 2017
1
FR/MSCS/CRD/050-Rev00
PERNYATAAN BERKUANTOR
Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas. Ada 2 macam
kuantor, yaitu :
1. Kuantor Universal
Dalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua atau
setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan ∀ (dibaca untuk semua atau untuk setiap).
Contoh :
∀ 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 > 0 dibaca untuk setiap 𝑥 anggota bilangan riil maka berlaku 𝑥 > 0.
2. Kalimat Eksistensial
Dalam pernyataan kuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada,
beberapa, sebagian atau terdapat. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃ (dibaca
ada, beberapa, terdapat, sebagian).
Contoh :
∃ 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 + 5 > 1 dibaca terdapat x anggota bilangan riil dimana 𝑥 + 5 > 1.
INGKARAN KALIMAT BERKUANTOR
Ingkaran dari pernyataan universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran dari
pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor universal.
Contoh :
a. ~ ∀𝑝 = ∃~𝑝
𝑝 : semua ikan bernafas dengan insang.
~𝑝 : Ada ikan bernafas tidak dengan insang.
b. ~ ∃𝑞 = ∀~𝑝
𝑞 : beberapa siswa SMA malas belajar.
~𝑞 : semua siswa SMA tidak malas belajar.
PERNYATAAN MAJEMUK
1. KONJUNGSI
Pernyataan 𝑝 dengan 𝑞 dapat digabungkan dengan kata hubung logika “dan” sehingga
membentuk pernyataan majemuk “𝑝 dan 𝑞” yang disebut konjungsi. Konjungsi “𝑝 dan 𝑞”
dilambangkan dengan (𝑝 ⋀ 𝑞).
p
q
𝑝⋀𝑞
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Dari tabel tersebut tampak bahwa konjungsi selalu bernilai benar jika kedua pernyataan
bernilai benar
Contoh :
𝑝
: 3+2= 5
𝑞
: 5 adalah bilangan prima
𝑝 ⋀ 𝑞 : 3 + 2 = 5 dan 5 adalah bilangan prima
2. DISJUNGSI INKLUSIF
Pernyataan 𝑝 dengan 𝑞 dapat digabungkan dengan kata hubung logika “atau” sehingga
membentuk pernyataan majemuk “𝑝 atau 𝑞” yang disebut disjungsi. Konjungsi “𝑝 atau 𝑞”
dilambangkan dengan (𝑝 ⋁ 𝑞).
MS HIGH |Grade 10 | Matematika Wajib| Hand-out| 25 April 2017
2
FR/MSCS/CRD/050-Rev00
p
q
𝑝⋁𝑞
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Dari tabel tampak bahwa disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah.
Contoh :
𝑝
: 2 adalah bilangan genap
𝑞
: 2 adalah bilangan prima
𝑝 ⋁ 𝑞 : 2 adalah bilangan genap atau prima
DISJUNGSI EKSKLUSIF
Disjungsi eksklusif dua pernyataan 𝑝 𝑑𝑎𝑛 𝑞 bernilai benar hanya jika salah satu dari
pernyataan 𝑝 𝑑𝑎𝑛 𝑞 bernilai benar.
𝑝 ∨ 𝑞
p
q
B
B
S
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Contoh :
𝑝
: Ayah bertugas di Surabaya
𝑞
: Ayah bertugas di Bandung
𝑝 ⋁ 𝑞 : Ayah bertugas di Surabaya atau Bandung
3. IMPLIKASI
Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika …. Maka ….”
Implikasi dari pernyataan 𝑝 dan 𝑞 dinotasikan dengan 𝑝 ⟹ 𝑞 yang dibaca “jika 𝑝 maka 𝑞” atau
“𝑝 syarat perlu bagi 𝑞” atau “𝑞 syarat cukup bagi 𝑝”.
Dari implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞, 𝑝 disebut anteseden atau sebab atau hipotesa. 𝑞 disebut konsekuen
atau kesimpulan atau konklusi.
p
q
𝑝⟹𝑞
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Dari tabel tersebut, tampak bahwa implikasi selalu bernilai salah jika sebabnya benar dan
akibatnya salah.
Contoh :
𝑝
: Danu ingin nonton bioskop
𝑞
: Danu harus beli tiket
𝑝⟹𝑞
: jika Danu ingin nonton bioskop maka Danu harus beli tiket.
4. BIIMPLIKASI
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “… jika dan hanya jika …” dan
dilambangkan 𝑝 ⇔ 𝑞. Biimplikasi dari pernyataan 𝑝 dan 𝑞 ditulis 𝑝 ⇔ 𝑞 yang dibaca 𝑝 jika dan
hanya jika 𝑞 atau jika 𝑝 maka 𝑞 dan jika 𝑞 maka 𝑝.
MS HIGH |Grade 10 | Matematika Wajib| Hand-out| 25 April 2017
3
FR/MSCS/CRD/050-Rev00
p
q
𝑝⇔𝑞
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Dari tabel kebenaran tersebut, tampak bahwa biimpikasi akan bernilai benar jika sebab dan
akibatnya bernilai sama.
Contoh :
𝑝
: Universitas Indonesia terletak di Depok
𝑞
: Bandung adalah ibu kota Jawa Barat
𝑝⟺𝑞
: Universitas Indonesia terletak di Depok jika dan hanya jika Bandung adalah ibu
kota Jawa Barat.
KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Dari implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞 dapat dibentuk implikasi baru :
1. 𝑞 ⟹ 𝑝 disebut konvers dari implikasi semula
2. ~𝑝 ⟹ ~𝑞 disebut invers dari implikasi semula
3. ~𝑞 ⟹ ~𝑝 disebut kontraposisi dari implikasi semula
PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran
komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Lambang ekuivalen adalah ≡.
1. ~ 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ ~𝑞 (de morgan)
2. ~ 𝑝 ∨ 𝑞 ≡ ~𝑝 ∧ ~𝑞 (de Morgan)
3. 𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑝 ∧ 𝑟 (Distributif)
4. 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑝 ∧ 𝑟 (Distributif)
5. 𝑝 ⟹ 𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ 𝑞
6. ~ 𝑝 ⟹ 𝑞 ≡ 𝑝 ∧ ~𝑞
7. 𝑝 ⟺ 𝑞 ≡ 𝑝 ⟹ 𝑞 ∧ (𝑞 ⟹ 𝑝)
8. ~(𝑝 ⟺ 𝑞) ≡ 𝑝 ∧ ~𝑞 ∨ (𝑞 ∧ ~𝑝)
TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI
Tautology adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran komponen-komponennya.
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan
nilai kebenaran komponen-komponennya.
PENARIKAN SIMPULAN
1. Modus Ponens
Premis 1
:𝑝⟹𝑞
Premis 2
:𝑝
________
Kesimpulan
:𝑞
Contoh :
P1
: Jika Budi rajin belajar maka Dia naik kelas.
P2
: Budi rajin belajar
Kesimpulan
: Dia naik kelas.
MS HIGH |Grade 10 | Matematika Wajib| Hand-out| 25 April 2017
4
FR/MSCS/CRD/050-Rev00
2. Modus Tolens
Premis 1
Premis 2
Kesimpulan
Contoh :
P1
P2
Kesimpulan
3. Silogisme
Premis 1
Premis 2
Kesimpulan
Contoh :
P1
P2
Kesimpulan
:𝑝⟹𝑞
:
~𝑞
________
: ~𝑝
: Jika ABCD jajar genjang maka AB sejajar dengan CD
: AB tidak sejajar dengan CD
: ABCD bukan jajar genjang.
:𝑝⟹𝑞
:𝑞⟹𝑟
________
:𝑝⟹𝑟
: Jika Anton malas belajar, maka Anton tidak naik kelas.
: Jika Anton tidak naik kelas, maka Anton bodoh.
: Jika Anton malas belajar, maka Anton bodoh.
MS HIGH |Grade 10 | Matematika Wajib| Hand-out| 25 April 2017
5
FR/MSCS/CRD/050-Rev00