TEORI PERMAINAN ( GAME THEORY)

Manajemen Kuantitatif
Modul 10 dan 11
TEORI PERMAINAN ( GAME THEORY)
TUJUAN INSTRUKSIONAL
1.
Mahasiswa memahami arti dan kegunaan Teori Permainan
2.
Mahasiswa mengetahui jenis-jenis Teori Permainan dan urgensi strategi
Permainan
3.
Mahasiswa dapat menggunakan dan menghitung teknik-teknik Teori
Permainan
POKOK BAHASAN
1. Pengertian dan Manfaat Teori Permainan Pengaruh Daur Hidup Produk
2. Jenis-jenis Teori Permainan
3. Pendekatan Teori Permainan :
Teori Permainan Murni
Teori Permainan Campuran :
-
Metode Analisis
-
Metode Aljabar Matriks
-
Metode LinierProgramming
PENDAHULUAN
Dalam dunia usaha yang sangat kompetitif, salah satu masalah sangat relevan
adalah mempelari atau memperkirakan kegiatan- kegiatan /reaksi- reaksi dari pihak pesaing
(kompetitor).
Jika pimpinan Perusahaan melakukan perhitungan guna mengetahui apa yang akan
dilakukan oleh pihak pesaing, maka perencanaan akan lebih mudah/efektif, terutama dalam
menyusun strategi untuk merebut pasar misalnya. Pengalaman tentang tindakan seorang
saingan akan memudahkan untuk meramalkan strategi apa yang akan dilakukan , jika
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Luna Haningsih, SE, ME.
MANAJEMEN KUANTITATIF
informasi semacam itu tersedia, dimungkinkan untuk memilih keputusan-keputusan yang
memaksimumkan Firm”s expected return, setelah menghitung pengaruh yang ditimbulkan
oleh tindakan pihak lawan.
Teori Permainan mula-mula dikemukakan oleh seorang ahli matematika Perancis
Emile Borel (1921). Kemudian dikembangkan oleh John V,N dan Oscar Mogenstern lebih
lanjut sebagai alat untuk merumuskan perilaku ekonomi yang bersaing.
Model –model Teori permainan diklasifikasikan dengan sejumlah cara, seperti
jumlah pemain, jumlah keuntungan dan kerugian dan jumlah strategi yang digunaka dalam
permainan.
Manfaat Teori Permainan untuk beberapa hal:
1. Mengembangkan suatu kerangka untuk analisa pengambilan keputusan dalam
situasi perasaingan ( kerja sama)
2. Menguraikan metode kuantitaif yang sistematik bagi pemain yang terlibat dalam
persaingan untuk memilih strategi yang tradisional dalam pencapaian tujuan.
3. Memberi gambaran dan penjelasan phenomena situasi persaingan /konflik seperti
tawar menawar dan perumusan kualisi.
Aplikasi – aplikasi nyata yang paling sukses dari teori permainan banyak diketemukan
dalam militer. Tetapi dengan berkembangnya dunia usaha yang semakin bersaing dan
terbatasnya sumber daya serta saling meningkatkan pentingnya aplikasi bisnius teori
permainan . Kontrak dan program tawar menawar serta keputusan – keputusan penetapan
harga adalah contoh penggunaan teori permainan yang semakin luas. Model – model teori
permainan dapat diklasifikasikan dengan sejumlah cara seperti jumlah pemain, jumlah
keuntungan dan kerugian dan jumlah strategi yang digunakan dalam permainan. Jika
permainan ada 2 pemain, permainan disebut permainan dua pemain. Jika Jika permainan
ada N, permainan disebut permainan N pemain. Jika keuntungan dan kerugian adalah nol,
disebut permainan jumlah nol ( jumlah konstan). Jika keuntungan dan kerugian adalah
tidan nol, disebut permainan bukan jumlah nol ( Non zero – Zum Game)
UNSUR DASAR TEORI PERMAINAN
Dalam hal ini dibahas permainan dua pemain jumlah nol ( 2 – persen zero – zum
game)
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Luna Haningsih, SE, ME.
MANAJEMEN KUANTITATIF
Matriks Pay off sebagai berikut:
Pemain A
A1
A2
Pemain B
B1
B2
6
9
8
5
B3
2
4
Maka unsur dasarnya :
1.
merupakan
Angka dalam matrik Payoff, disebut Matriks Permainan,
hasil (payoff) dari strategi permainan yang berbeda ( dalam bentuk
uang, %, market share atau utility).
Dalam permainan 2 pemain jumlah nol, bilangan – bilangan positif menunjukkan
keuntungan bagi pemain baris ( atau maximizing player ) dan merupakan kerugian
bagi pemain kolom ( min. player)
Misal : Pemain A menggunakan strategi A1 dan B menggunakan strategi B2, maka
hasilnya A untung 9, dan B rugi 9.
2.
Strategi
permainan
adalah
rangkaian
kegiatan
yang
menyeluruh dari seorang pemain, sebagai reaksi antara aksi yang mungkin
dilakukan oleh pemain lain yang menjadi pesaing.A punya 2 strategi ( A1 dan A2), B
punya 3 strategi (B1,B2 dan B3)
3.
Aturan –aturan permainan menggambarkan kerangka bagi para pemain dalam
memilih strategi mereka. Sebagai contoh dipakai anggapan bahwa para pemain
harus memilih strategi mereka secara simultan dan bahwa permainan adalah
berulang
4. Nilai permainan merupakan hasil / payoff rata-rata dari sepanjang rangkaian
permainan, dimana kedua pemain dengan strategi penggunaan optimal.
Pemain adil(fair) jika nilainya nol ( tidak ada yang untung/rugi) dan sebaliknya.
5. Strategi dominan jika payoff adalah
superior terhadap setiap payoff yang
berhubungan dalam suatu strategi alternative.
B pilih strategi B1 dan B2 didiminasi B3, maka untuk pemecahan masalah ini, B1
dan B2 dihilangkan. Sedang A pilih A2 . Sehingga nilai permainan adalah 4.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Luna Haningsih, SE, ME.
MANAJEMEN KUANTITATIF
6. Strategi Optimal adalah:
Rangkaian kegiatan atau rencana yang menyeluruh, yang menyebabkan seorang
pemain dalam posisi paling menguntungkan ( tanpa memperhatikan kegiatan
pesaing)
7. Tujuan dari model pemain adalah mengidentifikasikan strategi atau rencana optimal
untuk tiap pemain
Strategi optimal A = A2
Strategi optimal B = B3
Permainan Dua- Pemain Jumlah Nol
Pemain ini dimainkan 2 orang, kelompok, organisasi yang secara langsung dan punya
kepentingan yang berhadapan.
Ada 2 tipe pemain Dua- Pemain Jumlah Nol yaitu:
1. Pemain dengan Strategi Murni ( Pure – Strategy Game)
dimana tiap pemain menggunakan strategi tunggal
2. Pemain strategi campuran
dimana kedua pemani memakai campuran dari beberapa strategi yang berbeda.
1. Permainan Strategy Murni
Dalam permainan Strategi Murni, pemain baris (maximum player) mengidentifikasikan
strategy optimalnya melalui aplikasi kriteria
maksimin (maximin). Pemain kolom
(minimax) untuk mengidentifikasikan strategi optimalnya.Nilai yang dihasilkan harus
merupakan : Minimmum dari minimaks baris dan Minimum dari maksimum kolom
Contoh:
Terdapat dua perusahaan yang sedang menentukan strategi periklanan. Perusahaan A
punya 2 strategi, sedang perusahaan B punya 3 strategi untuk meningkatkan pangsa
pasar( Market share). Pay off dari strategi tersebut adalah kenaikan pangsa pasar, yang
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Luna Haningsih, SE, ME.
MANAJEMEN KUANTITATIF
dalam permainan ini disusun dari dua pemain jumlah nol. Pay off dari strategi tersebut
seperti dalam tabel berkut:
Perusahaan A A1
Perusahan B
B1
B2
1
9
8
5
MinimumBaris
B3
2
4
1
4
maksimaks
A2
Maksimum Kolom
8
5
4
minimaks
Keterangan:
Perusahaan A:
Saat A memilih strategi A1, maka Perusahaan B akan pilih B1,sehingga payoff
Perusahaan A adalah 1. Saat A memilih strategi A2, maka perusahaan B akan
pilih B3,sehingga payoff Perusahaan A adalah 4. Perusahaan A paling optimal jika
memilih strategi tunggal A2
Perusahaan B
Saat perusahaan B memilih strategi B1, maka perusahaan A akan pilih A2 ,sehingga
kerugian yang diderita perusahaan B adalah 8. Saat perusahaan B memilih strategi B3,
maka perusahaan A akan pilih strategi A2 juga,sehingga kerugian perusahaan B adalah
4.Perusaah B akan optimal jika pilih strategi B3
Dari tabel diatas
menunjukkan titik equilibrium tercapai pada titik pelana (saddle
point) pada nilai payoff 4,dimana:
- Strategi optimal A
: A2
- Stratetgi optimal B : B3
Kesimpulan ini dicapai dengan kriteria maksimin( untuk pemain baris /maximizing
player) dan minimaks ( untuk pemain kolom/minimizing player)
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Luna Haningsih, SE, ME.
MANAJEMEN KUANTITATIF
Masalah
Jika
nilai minimaks tidak sama dengan nilai maksimaks maka permainan ini tak
tercapai equilibrium,sehingga strategi
murni tak bisa digunakan. Untuk mengatasi
persoalan tersebut digunakan teori permainan strategi campuran
2. Permainan Strategi Campuran.
Dalam Permainan Strategi Campuran dapat dilakukan dengan tiga cara:
1. Metode Grafik
2. Metode Analisis
3. MetodeAljabar Metrik
4. MetodeLinier Programing
Contoh
Ada
dua perusahaan yang sedang berlomba dalam mendapatkan pangsa pasar melalui
strategi persaingan harga. Kedua
perusahaan tersebut masing-masing memiliki tiga strategi
harga yaitu renh, sedang dan tinggi. Payoff bagi kedua perusahaan tersebut terlihat seperti
tabel dibawah:
Perusahan B
B1
B2
2
5
Perusahaan A A1
A2
A3
Maksimum Kolom
-1
6
6
2
1
MinimumBaris
B3
7
2
4
9
-1
1
maksimaks
5
9
Minimaks
Dari tabel terlihat bahwa nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks,maka tidak
ditemukan titik pelana. Maka permainan ini harus menggnakan strategi campuran.
Dalam permaina strategi camuran diberlakukan aturan Dominan sebagai berikut:
Strategi B3 didominasi oleh B2,sehingga B3 dapat dihilangkan. Strategi A2 didominasi
oleh A1,sehingga A2 dapat dihilangkan. Maka tabelmatrikdiatas berubah menjadi
Tabel Reduced Game Matriks seperti berikut:
Perusahan B
B1
B2
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
MinimumBaris
Luna Haningsih, SE, ME.
MANAJEMEN KUANTITATIF
2
Perusahaan A A1
A3
Maksimum Kolom
6
6
5
2
1
1
maksimaks
5
Minimaks
2.2. Permainan Strategi Campuran.dengan Metode Analisis
Tujuan metode analisis ini adalah agar terjadi kesamaan
antara kerugian dan
keuntungan yang diharapkan. Metode ini di kembangkan menurut diistribusi probabilitas.
Untuk strategi-strategi yang berbeda nilai probabilitas memungkinkan ditemukan strategi
campuran yang optimal.
Dari contoh diatas tabel Reduced Game Matrik sebagai berikut:
Tabel Reduced Game Matriks seperti berikut:
Perusahan B
B1
2
Perusahaan A A1
A3
6
Maksimum Kolom
6
MinimumBaris
B2
5
2
1
1
maksimaks
5
Minimaks
Strategi A
-. Jika perusahaan A pilih strategi A1 dengan probabilitas p dan A3 dengan probabilitas (1p). Sedang perusahaan B pilih B1, maka keuntungan (return) yang diharapkan A (E(R)A
adalah:
E(R)A = 2p + 6 (1-p) = 6 –4 p
-. Jika perusahaan A pilih strategi A1 dengan probabilitas p dan A3 dengan probabilitas-p).
Sedang perusahaan B pilih B2,maka keuntungan
yang diharapkan A
(E(R)A
adalah:
E(R)A = 5p + 1 (1-p) = 1 +4 p
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Luna Haningsih, SE, ME.
MANAJEMEN KUANTITATIF
Maka startegi optimal untuk perusahaan A diperoleh dengan :
6 –4p = 1+4p
p = 5/8 = 0,625
artinya:
A harus pilih strategi A1 = 62,5% dan strategi A3 =37,5%
E(R) A
A1 = 0,625 (2) +-,375(6)
A3 = 0,625 (5) + 0,375(1)
=3,5
Strategi B
-
Jika perusahaan B pilih strategi B1 dengan probabilitas q dan B2 dengan
probabilitas (1-q). Sedang perusahaan A pilih A1,maka kerugian (loss) yang diharapkan
B (E(L)B adalah:
E(L)B = 2g + 5 (1-q) = 5 –3 q
- Jika perusahaan B pilih strategi B1 dengan probabilitas q dan B2 denga probabilitas (1-q).
Sedang perusahaan A pilih A3,maka kerugian (loss) yang diharapkan B (E(L)B adalah:
E(L)B = 6g + 1 (1-q) = 1 +5 q
Maka strategi optimal untuk perusahaan B diperoleh dengan :
5 -3q = 1-5q
q = 4/8 = 0,50
artinya:
B harus menggunakan strategi B1 = 50 % dan strategi B2 =50%
E(L)BA
B1 = 0,50 (2) +0,50(6)
B2 = 0,50(5) + 0,50(1)
=3,5
Jadi dengan metode analisis titik equilibrium tercapai dengan nilai payoff=3,5
Perhitungan diatas dapat pula dilakukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut :
Andaikan matriks permainannya adalah :
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Luna Haningsih, SE, ME.
MANAJEMEN KUANTITATIF
Y
M=
a
c
b
d
X
Maka harapan ganjaran bagi pemain X adalah :
ap1 + c ( 1 - p1 ) jika pemain Y menjalankan strategi 1
Dan adalah :
b p1 + d ( 1 - p1 ) jika pemain Y menjalakan strategi 2.
Selanjutnya dengan menyamakan ke 2 harapan ganjaran tersebut diperoleh :
ap1 + c ( 1 - p1 ) = b p1 + d ( 1 - p1 )
p1 = ( a – b – c + d ) = d – c
p1 =
d −c
a−b−c+d
p2 = 1 - p1 =
a −b
a−b−c+d
Dengan cara serupa, harapan ganjaran bagi pemain Y dapat pula dihitung sebagai berikut :
ap1 + b ( 1 - p1 ) jika pemain X menjalankan strategi 1
Dan adalah :
c p1 + d ( 1 - p1 ) jika pemain X menjalakan strategi 2.
Selanjutnya dengan menyamakan ke 2 harapan ganjaran tersebut diperoleh :
ap1 + b ( 1 - p1 ) = c p1 + d ( 1 - p1 )
p1 = ( a – b – c + d ) = d – b
p1 =
d −b
a−b−c+d
p2 = 1 - p1 =
2.3.
a−c
a−b−c+d
Permainan Strategi Campuran.dengan Metode Aljabar Matrik
Metode ini adalah cara lain untuk menghasilkan permainan yang punya matrik segi
empat. Dari tabel 2x2 ( Reduced Game Matriks) :
Tabel Reduced Game Matriks seperti berikut:
Perusahan B
B1
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
MinimumBaris
B2
Luna Haningsih, SE, ME.
MANAJEMEN KUANTITATIF
Perusahaan A A1
A3
Maksimum Kolom
2
5
2
6
1
1
6
maksimaks
5
Minimaks
bentuk matriknya adalah seperti berikut:
B1B2
25
 = [ Pij ]
61
A1 
A2
Strategi optimal untuk Perusahaan A & B dan nilai permintaan dapat dicari dengan
formula sebagai berikut:
Strategi Optimal A:
[11][ Padj.]
[11][ Padj.][11]
Strategi Optimal B:
[11][ Pcof .]
[11][ Padj.]  
1
1
Nilai Permainan:
 Strategi 
OptimalA . [ Pij ] .


 Strategi 
OptimalB 


Atau
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Luna Haningsih, SE, ME.
MANAJEMEN KUANTITATIF
[ Pij ]
[11][ Padj.]  
1
1
,
dimana
[ Padj.] = Adjoint matriks
[ Pcof .] = Cofactor matriks
[ Pij ] = matriks permainan
[ Pij ] = determinan matriks permainan
Pada persamaan ini strategi optimal A ada dalam vector paris dan B dalam vector kolom,
sehingga:
. [ Pij ]
25
 = 2 – 30 = -28
61
= 
1 − 6

− 52 
[ Pcof .]
= 
[ Padj.]
=. [ Pcof .] T = 
1 − 5 

− 62
Strategi optimal A =
1− 5 

[ − 5 − 3]
− 62.
=
1− 5 1
−8
[11]    
− 62 1
[11] 
Strategi optimal B =
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Luna Haningsih, SE, ME.
MANAJEMEN KUANTITATIF
1− 6 

−4−4
− 52.
=
1− 5 1
−8
[11]    
− 62 1
[11] 
Jadi Strategi Campuran Yang Optimal :
A1 = 5/8
A2 = 3/8
B1 = 4/8 = ½
B2 = 4/8 = ½
Nilai Permainan:
25
.
61
[ 5 / 83 / 8] . 
1 / 2
1 / 2 = [ 28 / 828 / 8] .
 
1 / 2
1 / 2 = 3,5
 
Atau
Nilai Permainan =
25
61 = 128/ -8 = 3,5
 
−8
Metode Aljabar Matrik hasilnya sama dengan metode sebelumnya.
3. Teori Permainan dengan Linier Programming
Metode-metode diatas bergerak terbatas,sehingga untuk penyelesian strategi
campuran 3 x3 atau lebih bisa digunakan metode linier programming.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Luna Haningsih, SE, ME.
MANAJEMEN KUANTITATIF
Dari contoh diatas:
Tabel Reduced Game Matriks seperti berikut:l
Perusahan B
B1
2
Perusahaan A A1
A3
6
Maksimum Kolom
6
MinimumBaris
B2
5
2
1
1
maksimaks
5
Minimaks
Ditemukan:
V= nilai permainan
X1 dan X2 = probabilitas pemilihan strategiA1 dan A2.
Y1 dan Y2 = probabilitas pemilihan strategi B1 dan B2.
Untuk pemain A:
A sebagai maximum player . E( R) A dengan tanda ≥
2.X1 +6.X2 ≥ V :bila pemain B menggunakan strategi B1
5.X1 +1.X2 ≥ V: bila pemain B menggunaakan strategi B2.
Diketahui bahwa: X1 +X2 = 1, X1,X2 ≥ 0
Untuk pemain B
Sebagai minimizing player,maka kerugian B dinyatakan dengan ketidak samaan(≤ )
artinya B mengalami kerugian kurang dari V bila Amenggunakan strategi lemah.
E(L)B =
2Y1 +5Y2 ≤ V (bila A menggunakan strategi A1)
6Y1 +1Y2 ≤ V ( bila A menggunakan strategi A3)
Diketahui bahwa: Y1 +Y2 = 1, Y1,Y2 ≥ 0
Dengan membagai setiap ketidaksamaan dan persamaan diatas dengan V didapat:
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Luna Haningsih, SE, ME.
MANAJEMEN KUANTITATIF
Untuk Pemain A:
Untuk Pemain B:
2.X1 / V + 6.X2 / V ≥ 1
2.Y1 / V + 5Y2 / V ≤ 1
5.X1 / V + 1.X2 / V ≥ 1
6Y1 / V + 1.Y2 / V ≤ 1
X1 / V +X2 / V ≥ 1
Y1 / V +Y2 / V ≤ 1
Bila ditentukan variabel-variabel baru:
X1 / V = X1 dan X2 / V = X2
Y1 / V = Y1 dan Y2 / V = Y2
maka didapat :
Untuk A
Untuk B
2.X1 +6.X2 ≥ 1
2.Y1 +5Y2 ≤ 1
5.X1 +1.X2 ≥ 1
6Y1 +1.Y2 ≤ 1
X1 +X2= 1/V
Y1 +Y2 = 1/V
Pemain A =max. player, maks. V atau min. 1/V, maka dengan X1+X2=1/V, dapat diringkas
masalah LP. A:
Tujuan A:
Tujuan B:
Minimum=X1+X2
Maksimum=Y1+Y2
Batasan: 2.X1 +6.X2 ≥ 1
Batasan: 2.Y1 +5.Y2 ≤ 1
5.X1 +1.X2 ≥ 1
6.Y1 +1.Y2 ≤ 1
X1 ,X2 ≥ 0
Y1 ,Y2 ≥ 0
Catatan:
Rumus LP untuk A adalah dualnya untuk B:
-
Penyelesaian dual dapat diperoleh kembali dari tabel optimal primal
-
Dengan M.Simpleks, masalah LP primal dapat dipecahkan seperti terlihat pada
tabel dibawah:
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Luna Haningsih, SE, ME.
MANAJEMEN KUANTITATIF
-Penyelesaian optimal = Y1 = 1/7, Y2 =1/7
-Penyelesaian optimal dualdapat diperoleh dari baris=(cj –zj)
X1 =5/28, X2=3/28
Tabel Optimal
Variabel
Keuntung
Kuantit
Cj:1
1
0
0
Dasar
Y2
an /unit
1
as
1/7
Y1
1
Y2
0
S1
3/14
S2
-1/14
Y1
Zj
1
1/7
0
1
1
1
-1/28
5/28
5/28
3/28
0
0
-5/28
-3/28
Cj-Zj
Tujuannya adalah:
Menentukan distribusi optimal untuk A & B.
Nilai permainan U dicari dengan:
1/U = X1+X2 = 5/28+3/28 = 2/28
V
= 7/2
= 3,5
Selanjutnya dicari:
X1 = V. X1 =7/2.5/28=5/8=0,625
X2 = V.X2 =7/2.3/28=3/8=0,375
Y1 = V. Y1 =7/2.1/7=0,5
Y2 = V.Y2 =7/2.1/7=0,5
---------0000-----------
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Luna Haningsih, SE, ME.
MANAJEMEN KUANTITATIF
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Luna Haningsih, SE, ME.
MANAJEMEN KUANTITATIF