Distribusi Teoritis Variabel Acak Kontinu

Distribusi Normal (Distribusi Gaus)
 Distribusi Normal (Distribusi Gauss)  merupakan
distribusi probabilitas yang paling penting baik
dalam teori maupun aplikasi statistik.
 Terminology “normal”  karena memang distribusi
ini adalah yang paling banyak digunakan sebagai
model bagi data riil diberbagai bidang :
- antara lain karakteristik fisik mahluk hidup (berat,
tinggi badan manusia, hewan dll),
- kesalahan-kesalahan pengukuran dalam eksperimen
ilmiah pengukuran-pengukuran intelejensia dan
perilaku,
- nilai skor berbagai pengujian dan berbagai ukuran
dan indikator ekonomi.
Alasan mengapa distribusi normal
menjadi penting:
 Distribusi normal terjadi secara alamiah. Seperti
diuraikan sebelumnya banyak peristiwa di dunia nyata
yang terdistribusi secara normal.
 Beberapa variable acak yang tidak terdistribusi secara
normal dapat dengan mudah ditranformasikan menjadi
suatu distribusi variabel acak yang normal.
 Banyak hasil dan teknik analisis yang berguna dalam
pekerjaan statistik hanya bisa berfungsi dengan benar
jika model distribusinya berupa distribusi normal
 Ada beberapa variabel acak yang tidak menunjukkan
distribusi normal pada populasinya Namun distribusi
rata-rata sampel yang diambil secara random dari
populasi tersebut ternyata menunjukkan distribusi
normal.
Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi Distribusi
Kumulatif Normal
 Sebuah variabel acak kontinu X dikatakan
memiliki distribusi normal dengan parameter x
dan x dengan - < x <  dan x >0 jika fungsi
kepadatan probabilitas (pdf) dari X adalah :
f x;  x ,  x  
1
 x 2

x   x 2


2 
e
2
x
  x  
• Distribusi normal kumulatif didefinisikan sebagai
probabilitas variabel acak normal x tertentu.
Fungsi distribusi kumulatif (cdf – cumulative
distribution function) dari distribusi normal ini
dinyatakan sebagai :
F(x; x, x) = P(X  x)
=
2
x
x
 f t;  , dt   
x

1
x

t   x 
x
e 2  dt
2
x
2
• F(x), hanya bisa ditentukan dari integrasi secara
numerik, karena persamaan tersebut tidak bisa
diintegrasi secara analitik.
 Untuk setiap distribusi populasi dari suatu
variabel acak yang mengikut sebuah
distribusi normal, maka
 68,26% dari nilai-nilai variabel berada dalam
± 1 x dari x ,
 95,46% dari nilai-nilai variabel berada dalam
± 2 x dari x ,
 99,73% dari nilai-nilai variabel berada dalam
± 3 x dari x 
Gambar hubungan antara luasan
2
dan N(, )
Statistik Deskriptif Normal
 Untuk suatu distribusi normal dengan nilai-nilai
parameter mean x dan deviasi standard x akan
diperoleh suatu distribusi yang simetris terhadap nilai
mean x,
 sehingga kemencengan (skewness) = 0 dan dapat
ditunjukkan bahwa keruncingan (kurtosis) kurva
distribusi adalah 3.
Sifat-Sifat Distribusi Normal:
 Bentuk distribusi normal ditentukan oleh μ dan σ.
2
1
1
2
μ1 < μ2 σ 1 = σ 2
μ1 = μ2 σ 1 > σ 2
2
1
μ 1 < μ2 σ 1 < σ 2
Distribusi Normal Standard
 Untuk menghitung probabilitas P(a  X  b) dari suatu
variable acak kontinu X yang berdistribusi normal
dengan parameter  dan  maka fungsi kepadatan
probabilitasnya harus diintegralkan mulai dari x=a
sampai x =b.
 Namun, tidak ada satupun dari teknik-teknik
pengintegralan biasa yang bisa digunakan untuk
menentukan integral tersebut.
 Untuk itu diperkenalkan sebuah fungsi kepadatan
probabilitas normal khusus dengan nilai mean = 0 dan
deviasi standart = 1.
 Variabel acak dari distribusi normal standard
ini biasanya dinotasikan dengan Z. Fungsi
kepadatan probabilitas dari distribusi normal
standard variabel acak kontinu Z :
1
f N z;0,1 
e
2
 z2
2
  z  
 Fungsi distribusi kumulatif :
f N z;0,1  PZ  z   z  
z


1
2
e
t 2
2
dt
Menstandardkan distribusi Normal
 Distribusi normal variable acak kontinu X dengan
nilai-nilai parameter  dan  berapapun dapat diubah
menjadi distribusi normal kumulatif standard jika
variable acak X diubah menjadi variable acak standard
Z menurut hubungan :
Z 
x

 Jika X distribusi normal dengan mean  dan
deviasi standard  maka

 a  x 
x  x 



P  X  a   P Z x 
 

x   x 

 a  x
 b  x   a  x 
b  x 
  
  

Pa  x  b   P
 Zx 
x   x   x 
 x


 a  x 
b  x 
b  x 





P  X  b   P Z x 
 1  P Z x 
 1  


x 
x 


 x 
Z > 0 jika x > 
Z < 0 jika x < 
Simetri : P(0 ≤ Z ≤ b) = P(-b ≤ Z ≤ 0)
Contoh :
1. Diketahui data berdistribusi normal dengan
mean  = 55 dan deviasi standar = 15
a) P(55≤x≤75) =
=
= P(0≤Z≤1,33)
= 0,4082 (Tabel Z)
Atau
Tabel Z  A = 0,4082
b) P(60≤x≤80) =
= P(0,33≤Z≤1,67)
= P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33)
= 0,4525 – 0,1293 = 0,3232
Z1 =
= 0,33  B = 0,1293
Z2 =
= 1,67  A = 0,4525
C = A – B = 0,3232
c) P(40≤x≤60)= A + B
=
= P(-1,00≤Z≤0,33)
= P(-1,00≤Z≤0) + P(0≤Z≤0,33)
= 0,3412 + 0,1293
= 0,4705
Atau : Z1 =
= = -1,00
 A = 0,3412
Z2 =
= 0,33
 B = 0,1293
d) P(x ≤ 40) = 0,5 – A
= 0,5 – 0,3412
= 0,1588
e.
P(x ≥ 85)
f.
P(x ≤ 85) = 0,5 + A
= 0,5 + 0,4772
= 0,9772
2)
Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan
simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian
berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi
mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?
Jawab:
Jika 5% peserta terendah mendapat nilai E,
berapa batas atas nilai E ?
P(
P(
≤ x ≤ 0) = 0,45
≤ Z ≤ 0) = = -1,645  (x<)
= . + 
= (-1,645)7 + 74
= 62,485