BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Metode Pengali

BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Metode Pengali Lagrange adalah sebuah konsep populer dalam menangani
permasalahan optimasi untuk program-program nonlinier. Sesuai namanya,
konsep ini dikemukakan oleh Joseph Louis Langrange (1736-1813). Inti pokok
pada metode ini adalah membentuk Metode Pengali Lagrange yaitu fungsi baru
yang merupakan penjumlahan fungsi tujuan dengan hasil perkalian antara fungsi
kendala dengan faktor Pengali Lagrange. Nilai ekstrim pada Metode Pengali
Lagrange akan sama dengan nilai ekstrim pada fungsi berkendala, sehingga
dengan menyelesaikan persoalan optimasi bebas pada Metode Pengali Lagrange
akan memberikan hasil yang sama dengan menyelesaikan optimasi pada fungsi
berkendala.
Teori optimasi sangat aplikatif pada permasalahan-permasalahan yang
menyangkut pengoptimalan, baik itu kasus maksimasi atau minimasi. Masalah
optimasi dalam kehidupan nyata baik disadari maupun tidak ternyata banyak
digunakan oleh masyarakat untuk memenuhi kebutuhannya. Dalam bidang
keahlian tertentu, masalah optimasi juga banyak digunakan, misalnya seorang ahli
teknik sipil merencanakan pembangunan gedung dengan biaya minimum tetapi
menginginkan faktor keamanan yang tinggi, seorang investor menginginkan nilai
return yang tinggi dengan nilai risiko yang rendah, dan banyak lagi bidang
keahlian yang lain yang melibatkan masalah optimasi.
Teori portofolio modern mendasarkan teorinya pada asumsi bahwa
investor bertindak secara rasional dengan memilih porsi asetnya dalam sebuah
portofolio
sedemikian
rupa
sehingga
dapat
meminimalkan
risiko
dan
memaksimalkan return (Wawan dan Silvia, 2005).
Universitas Sumatera Utara
2
Untuk memaksimalkan return dengan risiko tertentu, para investor
tentunya harus melakukan diversifikasi untuk membentuk suatu portofolio. Reksa
dana saham merupakan suatu alternatif investasi yang telah mengakomodir kedua
unsur tersebut. Dengan semakin berkembangnya reksa dana saham di Indonesia,
maka investor dihadapkan kepada suatu keputusan untuk memilih portofolio reksa
dana saham yang optimal (Teguh, 2001).
Ada dua komponen yang harus diperhatikan dalam penggunaan Metode
Pengali Lagrange yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala. Untuk fungsi kendala
harus diperhatikan apakah fungsi kendala tersebut tunggal atau multi kendala dan
apakah fungsi kendala tersebut berbentuk persamaan atau pertidaksamaan. Fungsi
tujuan yang akan diselidiki berupa fungsi nonlinier yang dapat berupa fungsi
dengan satu variabel atau multi variabel. Untuk itu perlu dikaji lebih lanjut
tentang Metode Pengali Lagrange untuk menyelesaikan masalah optimasi pada
fungsi nonlinier multi variabel, khususnya dengan multi kendala berbentuk
persamaan.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, permasalahan di tulisan ini adalah bagaimana
peranan Metode Pengali Lagrange dalam optimasi portofolio reksa dana saham.
1.3 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, penulis menggunakan batasan masalah sebagai berikut:
1. Hanya terdapat satu penilaian pembuat keputusan terhadap bobot setiap
fungsi tujuan.
2. Sumber data reksa dana saham yang digunakan adalah Otoritas Jasa
Keuangan (OJK) (www.ojk.go.id).
3. Data yang dipilih dapat mewakili data NAB reksa dana saham pada tahuntahun sebelumnya.
4. Data reksa dana saham yang digunakan adalah data NAB pada akhir
bulan, dengan mengabaikan fluktuasi NAB pada satu periode (bulan).
2
Universitas Sumatera Utara
3
5. Data reksa dana saham yang digunakan merupakan 80% dari NAB reksa
dana saham.
6. Data reksa dana saham pada setiap perusahaan tidak bergantung pada
perusahaan lainnya.
1.4 Tinjauan Pustaka
Penentuan keuntungan maksimun pada penjualan olahan tape UD. Sari Madu di
mana pendapatan maksimum dari triwulan pertama sampai triwulan keempat
menjadi fungsi kendala (Femi, 2013).
Penerapan Metode Pengali Lagrange dalam upaya untuk meminimalkan
biaya bahan bakar pembangkit dalam permasalahan economic dispatch. Dalam hal
ini Metode Pengali Lagrange bersifat deterministik (Khairudin, 2012).
Penerapan Metode Pengali Lagrange dalam perekonomian di mana tujuan
dari penelitian ini adalah untuk mengubah bentuk masalah ekonomi terkendala
dan tanpa kedala kemudian dimodelkan dalam bentuk optimasi. Penelitian
terfokus pada masalah parsial dan utilitas marjinal konsumsi juga kesetimbangan
parsial marjinal produksi (Syaripuddin, 2011).
Mengoptimalkan portofolio saham dengan menggunakan Metode Pengali
Lagrange di mana pada penelitian ini membahas pemecahan model portofolio
investasi Markowitz untuk aset di pasar saham Bursa Efek Kolombia (Eduardo,
2013).
Markowitz mendefinisikan portofolio sekuritas yang efisien sebagai
portofolio yang memberikan tingkat keuntungan diharapkan maksimum untuk
suatu tahap varian dan memberikan varian yang minimum untuk suatu tahap
tingkat keuntungan yang diharapkan. Asas pendekatan teori portofolio modern
adalah menggunakan perubahan atau variabel keuntungan sebagai taksiran untuk
risiko investasi. Reksa dana saham (equity fund) adalah reksa dana yang
melakukan investasi sekurang-kurangnya 80% dari portofolio yang dikelola ke
dalam efek bersifat ekuitas atau saham.
3
Universitas Sumatera Utara
4
Adapun metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah Metode
Pengali Lagrange. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang
didefinisikan sebagai:
, = + ∑
1.1
Syarat perlu bagi sebuah fungsi dengan kendala = 0 , dengan
= 1,2, . . . , agar mempunyai maksimum/minimum relatif pada titik ∗ adalah
sebagai = , , … , , , , … , terhadap setiap argumennya mempunyai
turunan parsial pertama dari Metode Pengali Lagrangenya yang didefinisikan
nilai nol.
Syarat cukup bagi sebuah fungsi agar mempunyai minimum/maksimum
relatif pada titik ∗ adalah jika fungsi kuadrat Q yang didefinisikan sebagai:
= ∑ ∑ "
!
# "$
d& d&
1.2
Dievaluasi pada titik = ∗ harus definit positif (atau definit negatif) untuk
setiap nilai dx yang memenuhi semua kendala.
Syarat perlu agar = ∑ ∑ "
!
# "$
d& d& definit positif (atau definit
negatif) untuk setiap variasi nilai dx adalah setiap akar polinomial zi, yang di
dapat dari determinan persamaan di bawah ini harus positif (atau negatif).
− )
'
⋮
'
'
⋮
*
− ) *
⋮
⋮
*
*
*
⋮
⋮
*
…
…
⋱
⋮
⋮
… − ) …
0
…
0
⋱
⋮
⋮
…
0
⋮
0
0
⋮
0
… … …
⋮ '
⋱ '=0
…
0
…
0
'
⋱
⋮
…
0
1.3
4
Universitas Sumatera Utara
5
dengan:
=
!- ∗ ,.
"# "$
, =
/# - ∗ "$
1.4
Proses penelitian Metode Pengali Lagrange pada optimasi portofolio dimulai
dengan mencari nilai varian portofolionya kemudian dijadikan fungsi tujuannya.
Misalnya diberikan 2 jenis saham, yaitu saham perusahaan A dan saham
perusahaan B. Investor ingin membentuk susunan portofolio dari 2 saham
tersebut. Selanjutnya diberikan track record dari saham A dan saham B adalah
sebagai berikut:
Tabel 1.1 Track Record Saham A dan Saham B
Saham A
1870
1960
2175
2200
2000
2880
2800
2875
1880
2050
Mean
Var
Cov
Return
Saham B
45000
44000
46000
45000
44000
44500
45000
46100
46700
47000
0,048
0,110
0,011
-0,091
-0,060
-0,043
0,042
0.003
0,090
0,0123
0,0046
Return
-0,022
0,045
-0,022
-0,022
0,011
0,011
0,024
0,013
0,006
0,0051
0,0005
0,0007
Apabila investor ingin membentuk susunan portofolio yang memiliki
risiko kerugian minimum, maka bagaimanakah bobot yang harus diberikan pada
saham A dan saham B?
Pada permasalahan ini, diperoleh variabel keputusannya adalah:
01 adalah besar alokasi dana di saham A
02 adalah besar alokasi dana di saham B
5
Universitas Sumatera Utara
6
Sementara itu, pendekatan besarnya risiko kerugian portofolio dapat
didekati melalui nilai varian portofolio. Sehingga dari sini didapatkan fungsi
tujuannya, yaitu:
meminimalkan:
3456 = 34501 . 51 + 02 . 52 = 01 . 71 + 02 . 72 + 201 02 . 712
1.5
= 01 . 0,0046 + 02 . 0,0005 + 201 02 . 0,0007
dengan kendala:
01 + 02 = 1
1.6
Penyelesaian dengan menggunakan Metode Pengali Lagrange terlebih
dahulu dibentuk fungsi tujuan, yaitu:
meminimalkan:
01 , 02 = 01 . 0,0046 + 02 . 0,0005 + 201 02 . 0,0007
1.7
dengan kendala:
01 , 02 = 01 + 02 − 1 = 0
1.8
selanjutnya, dicari titik kritis (a,b) yang terjadi saat:
∇01 , 02 = . ∇01 . 02 1.9
sehingga diperoleh 2 persamaan, yaitu:
=>
=?@
=>
= =? ↔ 2. 01 . 0,0046 + 2. 02 . 0,0007 = B
=?C
=/
@
= =? ↔ 2. 02 . 0,0005 + 2. 01 . 0,0007 = B
=/
C
1.10
1.11
dari persamaan (1) dan (2) tersebut diperoleh:
6
Universitas Sumatera Utara
7
B=B
1.12
↔ 2. 01 . 0,0046 + 2. 02 . 0,0007 = 2. 02 . 0,0005 + 2. 01 . 0,0007
↔ 01 0,0046 − 0,0007 = 02 0,0005 − 0,0007
↔ 01 = 02
−0,0002
0,0039
↔ 01 = −0,05128205. 02
apabila disubstitusikan ke fungsi kendala diperoleh:
01 + 02 = 1
↔ −0,05128205. 02 + 02 = 1
↔ 02 =
↔ 02 = 1,0540540523
GH,HIJHIK
kemudian diperoleh:
01 = −0,0540540523
Terbukti bahwa menggunakan Metode Pengali Lagrange diperoleh kombinasi
portofolio yang memiliki risiko kerugian terkecil adalah apabila diambil bobot
untuk saham B sebesar 100%, atau dengan kata lain investor harus
menginvestasikan seluruh modalnya di saham B agar risiko kerugian investasinya
minimal.
1.5 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mendapatkan gambaran tentang efektifitas
Metode Pengali Lagrange dalam optimalisasi portofolio reksa dana saham.
1.6 Kontribusi Penelitian
7
Universitas Sumatera Utara
8
Manfaat dari penelitian ini adalah dapat digunakan sebagai acuan dalam
pemilihan metode untuk optimalisasi reksa dana saham.
1.7 Metodologi Penelitian
1.7.1 Studi Literatur
Tahap ini dilakukan dengan mengidentifikasi permasalahan, mengkaji metode
pengali lagrange, prosedur pembentukan model optimisasi portofolio reksa dana
saham secara matematis. Penelusuran referensi penelitian ini dari berbagai sumber
seperti, buku, internet, jurnal, maupun penelitian yang telah ada sebelumnya
mengenai hal-hal yang berhubungan dengan Metode Pengali Lagrange.
1.7.2. Pengumpulan Data
Pada tahap ini dilakukan pengumpulan data sekunder yang diperoleh dari web
resmi Otoritas Jasa Keungan (www.ojk.go.id) yaitu data ringkasan NAB reksa
dana saham bulanan periode Januari 2014-Desember 2014 pada 1 perusahaan
reksa dana saham.
1.7.3. Pengolahan Data
Berdasarkan data ringkasan reksa dana saham yang diperoleh dari Otoritas Jasa
Keuangan (OJK) akan dilakukan langkah-langkah berikut ini:
1. Menentukan fungsi tujuan
2. Mencari return periode bulan
3. Meminimumkan risiko
4. Mencari varian-kovarian setiap reksa dana saham
5. Menyelesaikan persamaan linier dengan menggunakan matriks
6. Penyelesaian kasus
7. Membuat kesimpulan
8
Universitas Sumatera Utara