TRANSFORMASI LINIER

TRANSFORMASI LINIER
KANIA EVITA DEWI
DEFINISI
Suatu fungsi yang memetakan suatu vektor di
ruang vektor V ke ruang vektor W
(dituliskan T : V  W) disebut sebagai
transformasi linear bila berlaku :
   
2. T  u   T u 
1. T u  v  T u  T v
Operasi linier
• Jika V = W maka transformasi T : V  V
disebut operator linear pada V.
Contoh:
Periksa apakah fungsi dibawah merupakan
operator linier
1. F : R  R dengan F  x   3 x
2. G : R  R dengan G  x   5 x  8
Transformasi Matriks

• Transformasi TA : V  W denganT u  Au
disebut transformasi matriks, sedangkan A
disebut matriks transformasi.
Contoh:
1 2 
Misalkan A  3 4
5 6
Jika TA : R 2  R 3 , periksa apakah TA transform asi linier
Contoh
• Tentukan standar matriks (matriks A) dari
transformasi linier berikut.
1. Misal G : R 2  R 2 didefinisi kan
 x    x  y 
G      

y
x

2
y

  
2. Misal G : R 3  R 4 didefinisi kan
2x  y 

  x  

 
z

G  y    
  z   x  z  y

    
x
Transformasi nol

• Transformasi T : V  W dengan T u  0
disebut transformasi nol.
Operator Identitas

• Transformasi I : V  V dengan I u  u
disebut operator identitas pada V.
Teorema 1
• Jika T: V→ W adalah sebuah transformasi
linier, maka

b. T  v   T v 
c. T v  w  T v   T w
a. T 0  0
Kernel dan Range
• Diketahui transformasi linear T: V→W dengan
1. Kernel dari T, dinotasikan ker(T), didefinisikan

 
ker T   u V T u  0
2. Range dari T, dinotasikan im(T), didefinisikan

imT   T v v V

Dimensi
• Jika T: V→W adalah transformasi linier
1. Dimensi dari ker(T) disebut nulitas dari T,
dinotasikan null(T).
2. Dimensi dari im(T) disebut rank dari T,
dinotasikan rk (T).
Teorema
• Jika T  TA : R n  R m adalah transformasi
linier dimana A adalah matriks m x n. Maka
1. ker(T) adalah himpunan penyelesaian dari
AX  0
2. im(T) adalah ruang kolom dari matriks A
3. rk(T) = rk(A)
4. rk(T) + null (T) = n
Contoh
Misalkan TB : R 3  R 5 dimana
 1 1
 2 1

B 1 2
 0 6

 1  5
1 

4 
3 
4 

 5
Tentukan ker(T) dan im(T)!
Matriks Transformasi
• Jika T: V→W adalah transformasi linier, B = {b1,
b2, …, bn} adalah basis dari V dan C = {c1, c2, …
cm} adalah basis dari W. Didefiniskan matriks
m xn yaitu [T]B,C dengan [T]B,C = (aij) dimana j
merupakan
T v j   a1 j w1  a2 j w2  ...  amj wm
Tentukan [T]B,C
• T : F3 → F2 adalah transformasi linier yang
didefinisikan   x  
    x  y
T   y   

  z   z  y
 
1 0 0 
      
Jika B  1, 1, 0  basis untuk R 3
0 1 1 
      
1  1  
C   ,    basis untuk R 2
1  1 
Tentukan [T]B,C
• T : F3 → F2 adalah transformasi linier yang
didefinisikan   x  
     x  3z 
T   y   

z  y 
 
0 0 1 
      
Jika B  1, 0, 0  basis untuk R 3
1 1 1 
      
1  1  
C   ,    basis untuk R 2
1  1 
Teorema 3
• Misal T : V→W adalah transformasi linier, Jika
B adalah basis V dan C adalah basis W. Maka
untuk setiap v Є V
T B ,C vB  T v C
Contoh
• Jika U : R2 → R3 dengan
 x 
  x  
U       x  y 
  y   y 


1  1  
B   ,    basis untuk R 2
1  1 
  0   0  1  
      
C  1 , 0, 0  basis dari R 3
 1  1  1  
      
1. Tentukan [U]B,C
2. Jika x  2 Tentukan [U(x)]C
 3
Matriks Transisi
Matriks P = [I]B1,B2 disebut matriks transisi dari
basis B1 ke basis B2.
Definisi Keserupaan
Misalkan A dan B adalah matriks m x n. Jika ada
sebuah matriks P yang memiliki invers sehingga
A = P B P-1, maka A serupa dengan B
Teorema 4
• Jika T: V→V adalah suatu linear pada suatu
ruang vektor berdimensi terhinggaV , dan
anggap B1 dan B2 adalah basis-basis untuk V.
Maka T B2  P 1T B P
Dimana P adalah matriks transisi dari B2 ke B1.
Contoh
• Jika
T:R2→R2
  x   x  y 
didefinisikan oleh T      

y

2
x

4
y

  
1. Tentukan matriks T yang berkenaan dengan basis
standar B1 ={e1, e2}
2. Jika B2  2,   1
5  3 
dengan basis B2
, tentukan matriks T berkenaan