RUANG-RUANG VEKTOR

OLEH: NURUL SAILA
PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS PANCA MARGA
Rabu, 4 JANUARI 2012
Definisi:
 Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif maka
sebuah tupel-n-terorde(ordered-n-tupel) adalah
sebuah urutan dari n bilangan riel (a1, a2, a3, …,
an ).
 Himpunan dari semua tupel-n-terorde
dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan Rn.
 jika a1, a2, …, an adalah koordinat-koordinat
maka (a1, a2, a3, …, an ) adalah titik di Rn
 Jika a1, a2, …, an adalah komponen-komponen
maka (a1, a2, a3, …, an )adalah vector.
1.
2.
3.
4.
Kesamaan Vektor:
Dua vector u = (u1, u2, …, un) dan v = (v1, v2,
…, vn) di dalam Rn dinamakan sama jika u1 = v1,
u2 = v2, …, un = vn
Penjumlahan Vektor:
Jumlah u + v didefinisikan oleh u + v = (u1 +
v1, u2 + v2, …, un + vn).
Perkalian dengan Skalar:
jika k adalah sebarang scalar maka kelipatan
scalar k.u didefinisikan oleh ku = (ku1, ku2, …,
kun)
Vektor Nol:
O = (0,0,…,0)
5.
6.
7.
8.
Invers Aditif:
jika u = (u1, u2, …, un) maka –u = (-u1, -u2, …, un).
Pengurangan Vektor:
u - v didefinisikan oleh u - v = (u1 - v1, u2 - v2,
…, un - vn).
Norma Euclidis(panjang Euclidis):
Jika u = (u1, u2, …, un) maka norma Euclidis u
didefinisikan dengan: 𝑢 = 𝑢1 2 + 𝑢2 2 + 𝑢3 2 + ⋯ + 𝑢𝑛 2
Perkalian Dalam Euclidis;
Jika u = (u1, u2, …, un) dan v = (v1, v2, …, vn)
adalah sebarang vector di dalam Rn maka
perkalian dalam Euclidis(Euclidean inner
product) u . v didefinisikan oleh:
u . v = (u1v1, u2v2, …, unvn).
Definisi:
Misalkan V adalah sebarang himpunan ,
dimana didefinisikan dua operasi, yakni
penambahan dan perkalian dengan scalar.
Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh
semua benda u, v, w di dalam V dan oleh
semua scalar k dan l, maka kita menamakan
V sebuah ruang vector (vector space) dan
benda-benda di dalam v kita namakan vector:
1.
2.
3.
4.
5.
Jika u dan v adalah benda-benda di dalam V
maka u + v berada di dalam V.
[u, v  V => u + v  V
(tertutup/closure)]
u+v=v+u
(komutatif)
u +(v + w) = (u + v) + w
(assosiatif)
Ada sebuah benda O di dalam V sehingga O
+ u = u + O = u untuk semua u di dalam V
(mempunyai unsure identitas)
Untuk setiap u di dalam V ada sebuah
benda –u di dalam V yang dinamakan
negative dari u, sehingga u + (-u) = (-u) +
u = O (tiap unsure punya invers)
Jika k adalah sebarang bilangan riel dan u
adalah sebarang benda di dalam V maka ku
berada di dalam V
(tertutup)
7. k(u +v) = ku + kv
(distributive)
8. (k + l)u = ku + lu
(distributive)
9. k(lu) = (kl)u
(assosiatif)
10. 1u = u
(identitas)
Vektor O di dalam aksioma 4 dinamakan
vector nol (zero vector) untuk V.
6.
Contoh:
Tentukan himpunan mana yang merupakan
ruang vector dibawah operasi-operasi yang
diberikan. Untuk himpunan yang bukan
merupakan ruang vector, daftarkanlah semua
aksioma yg gagal dipenuhi.
1. Himpunan semua tripel bilangan riel (x, y,z)
dengan operasi-operasi (x, y, z) + (x’, y’, z’)
= (x+x’, y+y’, z+z’) dan k(x, y, z) = (kx, y,
z).
2. Himpunan semua tripel bilangan riel (x, y,z)
dengan operasi-operasi (x, y, z) + (x’, y’, z’)
= (x+x’, y+y’, z+z’) dan k(x, y, z) = (0, 0, 0).
3. Himpunan semua tripel bilangan riel (x, y)
dengan operasi-operasi (x, y) + (x’, y’) =
(x+x’, y+y’, z+z’) dan k(x, y, z) = (2kx, 2ky).
Definisi:
Sebuah subhimpunan W dari sebuah ruang
vector V dinamakan sebuah subruang
(subspace) dari V jika W itu sendiri adalah
sebuah rung vector dibawah penambahan
dan perkalian scalar yang didefinisikan pada
V.
Teorema 4 (subruang):
Jika W adalah sebuah himpunan dari satu atau
lebih vector dari sebuah ruang vector V maka
W adalah adalah sebuah subruang dari V jika
dan hanya jika kondisi-kondisi berikut
berlaku:
a. Jika u dan v adalah vector-vektor di dalam
W maka u + v berada di dalam W
b. Jika k adalah sebarang scalar dan u adalah
sebarang vector di dalam W, maka ku
berada di dalam W.
Contoh:
1. Tentukan manakah diantara yang berikut
yang merupakan subruang dari R3.
a. semua vector yg berbentuk (a, 0, 0)
b. semua vector yg berbentuk (a, 1, 1)
c. semua vector yg berbentuk (a, b, c), dimana
b=a+c
d. semua vector yg berbentuk (a, 0, 0), dimana
b=a+c+c
2.
a.
b.
c.
d.
Tentukan manakah diantara yg berikut yg
merupakan subruang dari M22.
semua matriks yang berbentuk , dimana a,
b, c, d adalah bilangan-bilangan bulat.
semua matriks yang berbentuk , dimana a +
d = 0.
Semua matriks A yg berukuran 2 x 2
sehingga A = At.
Semua matriks A yg berukuran 2 x 2
sehingga det(A) = 0.