Analisis Rangkaian Listrik

Sudaryatno Sudirham
Analisis
Rangkaian Listrik
Jilid 2
2
Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
BAB 6
Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde
Pertama
Sebagaimana kita ketahui, kondisi operasi normal rangkaian pada
umumnya adalah kondisi mantap dan dalam operasi tersebut banyak
digunakan sinyal sinus baik pada pemrosesan energi maupun
pemrosesan sinyal listrik. Dalam teknik energi listrik, tenaga listrik
dibangkitkan, ditransmisikan, serta dimanfaatkan dalam bentuk
sinyal sinus dengan frekuensi yang dijaga konstan yaitu 50 atau 60
Hz. Dalam teknik telekomunikasi, sinyal sinus dimanfaatkan dalam
selang frekuensi yang lebih lebar, mulai dari beberapa Hz sampai
jutaan Hz. Untuk hal yang kedua ini, walaupun rangkaian beroperasi
pada keadaan mantap, tetapi frekuensi sinyal yang diproses dapat
bervariasi ataupun mengandung banyak frekuensi (gelombang
komposit), misalnya suara manusia ataupun suara musik. Karena
impedansi satu macam rangkaian mempunyai nilai yang berbeda
untuk frekuensi yang berbeda, maka timbullah persoalan
bagaimanakah tanggapan rangkaian terhadap perubahan nilai
frekuensi atau bagaimanakah tanggapan rangkaian terhadap sinyal
yang tersusun dari banyak frekuensi. Dalam bab inilah persoalan
tersebut akan kita bahas.
6.1. Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus Keadaan
Mantap
Pernyataan di kawasan s dari sinyal masukan berbentuk sinus x(t) =
Acos(ωt+θ) adalah (lihat tabel Transformasi Laplace) :
X (s) = A
s cos θ − ω sin θ
s 2 + ω2
Jika T(s) adalah fungsi alih, maka tanggapan rangkaian adalah
(6.1)
1
Y ( s ) = T ( s ) X( s ) = A
s cos θ − ω sin θ
T (s)
s 2 + ω2
s cos θ − ω sin θ
=A
T (s)
( s − jω)( s + jω)
(6.2)
Sebagaimana telah kita bahas di bab sebelumnya, T(s) akan
memberikan pole-pole alami sedangkan X(s) akan memberikan pole
paksa dan pernyataan (6.2) dapat kita uraikan menjadi berbentuk
Y (s) =
kn
k
k2
k
k*
+
+ 1 +
+ ⋅⋅⋅ +
s − jω s + jω s − p1 s − p 2
s − pn
(6.3)
yang transformasi baliknya akan berbentuk
y (t ) = ke jωt + k *e − jωt + K1e p1t + k 2e p2t + ⋅ ⋅ ⋅ + k ne p n t
(6.4)
Di kawasan t, pole-pole alami akan memberikan komponen transien
yang biasanya berlangsung hanya beberapa detik (dalam kebanyakan
rangkaian praktis) dan tidak termanfaatkan dalam operasi normal.
Komponen mantaplah yang kita manfaatkan untuk berbagai
keperluan dan komponen ini kita sebut tanggapan mantap yang
dapat kita peroleh dengan menghilangkan komponen transien dari
(6.4), yaitu :
ytm (t ) = ke jωt + k *e − jωt
(6.5)
Nilai k dapat kita cari dari (6.2) yaitu
k = ( s − jω)Y ( s) s = jω = A
s cos θ − ω sin θ
T (s)
( s + jω)
s = jω
(6.6)
cos θ + j sin θ
=A
T ( jω)
2
Faktor T(jω) dalam (6.6) adalah suatu pernyataan kompleks yang
dapat kita tuliskan dalam bentuk polar sebagai |T(jω)|ejϕ dimana
|T(jω)| adalah nilai mutlaknya dan ϕ adalah sudutnya. Sementara itu
menurut Euler (cosθ + jsinθ) = ejθ. Dengan demikian (6.6) dapat kita
tuliskan
k=A
e jθ
T ( jω) e jϕ
2
2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
(6.7)
Dengan (6.7) ini maka tanggapan mantap (6.5) menjadi
e jθ
e − jθ
T ( jω) e jϕe jωt + A
T ( jω) e − jϕe − jωt
2
2
 e j (ωt + θ + ϕ) + e − j (ωt + θ + ϕ) 
(6.8)
= A T ( jω) 

2


ytm (t ) = A
= A T ( jω) cos(ωt + θ + ϕ)
Persamaan (6.8) ini menunjukkan bahwa tanggapan keadaan mantap
dari suatu rangkaian yang mempunyai fungsi alih T(s) dengan
masukan sinyal sinus, akan :
•
berbentuk sinus juga, tanpa perubahan frekuensi
•
amplitudo berubah dengan faktor |T(jω)|
•
sudut fasa berubah sebesar sudut dari T(jω), yaitu ϕ.
Jadi, walaupun frekuensi sinyal keluaran sama dengan frekuensi
sinyal masukan tetapi amplitudo maupun sudut fasanya berubah dan
perubahan ini tergantung dari frekuensi. Kita akan melihat kejadian
ini dengan suatu contoh.
CO%TOH-6.1 : Carilah sinyal keluaran
keadaan mantap dari rangkaian di
samping ini jika masukannya adalah
vs = 10√2cos(50t + 60o) V.
+
−
vs
+
−
Vs
2H
100Ω
+
vo
−
2s
+
Vo
−
Penyelesaian :
Transformasi rangkaian ke kawasan
s memberikan rangkaian impedansi
seperti di samping ini.
100
Fungsi alih rangkaian ini adalah
TV ( s) =
100
50
=
.
2s + 100 s + 50
Karena frekuensi sinyal ω = 50 , maka
TV ( j 50) =
50
50
1 − j 45o
=
=
e
−1
50 + j 50
2
502 + 502 e j tan (50 / 50)
Keluaran keadaan mantap adalah :
3
vo (t ) =
10 2
2
cos(50t + 60o − 45o ) = 10 cos(50t + 15o )
Pemahaman :
Frekuensi sinyal keluaran sama dengan sinyal masukan, yaitu ω
= 50 rad/sec.
Amplitudo sinyal masukan vmaks = 10 2 V , sedangkan
TV ( jω) = TV ( j 50) =
1
.
2
Amplitudo sinyal keluaran
vomaks = vsmaks T ( jω) = 10 2 ×
1
2
= 10 V
Sudut fasa sinyal masukan θ = 60o, sedang sudut |T(jω)| = −45o.
Sudut fasa sinyal keluaran : θ + ϕ = 60o − 45o = 15o.
6.2. Pernyataan Tanggapan Frekuensi
6.2.1. Fungsi Gain dan Fungsi Fasa
Faktor pengubah amplitudo, yaitu |T(jω)| yang merupakan fungsi
frekuensi, disebut fungsi gain yang akan menentukan bagaimana
gain (perubahan amplitudo sinyal) bervariasi terhadap perubahan
frekuensi. Pengubah fasa ϕ yang juga merupakan fungsi frekuensi
disebut fungsi fasa dan kita tuliskan sebagai ϕ(ω); ia menunjukkan
bagaimana sudut fasa sinyal berubah dengan berubahnya frekuensi.
Jadi kedua fungsi tersebut dapat menunjukkan bagaimana amplitudo
dan sudut fasa sinyal sinus berubah terhadap perubahan frekuensi
atau dengan singkat disebut sebagai tanggapan frekuensi dari
rangkaian. Pernyataan tanggapan ini bisa dalam bentuk formulasi
matematis ataupun dalam bentuk grafik.
4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
CO%TOH-6.2: Selidikilah perubahan gain dan sudut fasa terhadap
perubahan frekuensi dari rangkaian orde pertama di bawah ini.
+
−
1 H 500Ω
vs
500Ω
+
vo
−
Penyelesaian :
Setelah di transformasikan ke kawasan s, diperoleh
500
fungsi alih rangkaian : TV ( s) =
s + 1000
500
⇒ TV ( jω) =
jω + 1000
500
⇒ fungsi gain : TV ( jω) =
1000 2 + ω 2
ω
⇒ fungsi fasa : ϕ(ω) = − tan −1
1000
Untuk melihat dengan lebih jelas bagaimana gain dan fasa
berubah terhadap frekuensi, fungsi gain dan fungsi fasa di plot
terhadap ω. Absis ω dibuat dalam skala logaritmik karena
rentang nilai ω sangat besar. Hasilnya terlihat seperti gambar di
bawah ini.
passband
Gain
stopband
0.5
0.5/√2
ωC
ω
0
1
10
100
1000 10000 1E+05
1
10
100
1000 10000 1E+05
0
-45
ϕ [o]
-90
5
Pemahaman:
Kurva gain menunjukkan bahwa pada frekuensi rendah terdapat
gain tinggi yang relatif konstan, sedangkan pada frekuensi tinggi
gain menurun dengan cepat. Kurva fungsi fasa menujukkan
bahwa pada frekuensi rendah sudut fasa tidak terlalu berubah
tetapi kemudian cepat menurun mulai suatu frekuensi tertentu.
Gain tinggi di daerah frekuensi rendah pada contoh di atas
menunjukkan bahwa sinyal yang berfrekuensi rendah mengalami
perubahan amplitudo dengan faktor tinggi, sedangkan gain rendah
di frekuensi tinggi menunjukkan bahwa sinyal yang berfrekuensi
tinggi mengalami perubahan amplitudo dengan faktor rendah.
Daerah frekuensi dimana terjadi gain tinggi disebut passband
sedangkan daerah frekuensi dimana terjadi gain rendah disebut
stopband. Nilai frekuensi yang menjadi batas antara passband dan
stopband disebut frekuensi cutoff , ωC . Nilai frekuensi cutoff
biasanya diambil nilai frekuensi dimana gain menurun dengan
faktor 1/√2 dari gain maksimum pada passband.
Dalam contoh-6.2 di atas, rangkaian mempunyai satu passband yang
terentang dari frekuensi ω = 0 (tegangan searah) sampai frekuensi
cuttoff ωC , dan satu stopband mulai dari frekuensi cutoff ke atas.
Dengan kata lain rangkaian ini mempunyai passband di daerah
frekuensi rendah saja sehingga disebut low-pass gain. Inilah
tanggapan frekuensi rangkaian pada contoh-6.2.
Kebalikan dari low-pass gain adalah high-pass gain, yaitu jika
passband berada hanya di daerah frekuensi tinggi saja seperti pada
contoh 6.3. berikut ini.
CO%TOH-6.3: Selidikilah tanggapan frekuensi rangkaian di bawah
ini.
vs
+
−
105/s
500
500
+
vo
−
Penyelesaian :
Fungsi alih rangkaian adalah
6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
TV ( s) =
500
0,5s
=
5
→ TV ( jω) =
2
0,5 × jω
10 / s + 1000 s + 10
jω + 10 2
0,5ω
ω
; ⇒ ϕ(ω) = 90 o − tan −1
⇒ TV ( jω) =
10 2
ω 2 + 10 4
Kurva gain dan fasa terlihat seperti pada gambar di bawah ini.
Stopband ada di daerah frekuensi rendah sedangkan passband
ada di daerah frekuensi tinggi. Inilah karakteristik high-pass
gain
stopband
Gain
passband
0.5
0.5/√2
ωC
ω
0
90
1
10
100
1
10
100
1000 10000 1E+05
1000
10000
100000
45
ϕ [o]
0
6.2.2. Decibel
Dalam meninjau tanggapan frekuensi, gain biasanya dinyatakan
dalam decibel (disingkat dB) yang didefinisikan sebagai
Gain dalam dB = 20 log T ( jω)
(6.9)
Gain dalam dB dapat bernilai nol, positif atau negatif. Gain dalam
dB akan nol jika |T(jω)| bernilai satu, yang berarti sinyal tidak
diperkuat ataupun diperlemah; jadi gain 0 dB berarti amplitudo
sinyal keluaran sama dengan sinyal masukan. Gain dalam dB akan
positif jika |T(jω)| >1, yang berarti sinyal diperkuat, dan akan
bernilai negatif jika |T(jω)| < 1, yang berarti sinyal diperlemah.
7
Frekuensi cutoff adalah frekuensi dimana gain telah turun 1/√2 =
0.707 kali nilai gain maksimum dalam passband. Jadi pada frekuensi
cutoff, nilai gain adalah

 1
20 log
T ( jω) maks  = 20 log T ( jω) maks − log 2
(6.10)

 2
= T ( jω) maks dB − 3 dB
Dengan demikian dapat kita katakan bahwa frekuensi cutoff adalah
frekuensi di mana gain telah turun sebanyak 3 dB.
Untuk memberikan gambaran lebih jelas, mengenai satuan decibel
tersebut, berikut ini contoh numerik gain dalam dB yang sebaiknya
kita ingat.
CO%TOH-6.4: Berapa dB-kah nilai gain sinyal yang diperkuat K
kali , jika K = 1; √2 ; 2 ; 10; 30; 100; 1000 ?
Penyelesaian :
Untuk sinyal yang diperkuat K kali,
gain = 20 log(K T ( jω) ) = 20 log( T ( jω) ) + 20 log(K )
Jadi pertambahan gain sebesar 20log(K) berarti penguatan sinyal
K kali.
K =1
⇒ gain : 20 log1
K= 2
⇒ gain : 20 log 2 ≈ 3 dB
K
K
K
K
K
=2
= 10
= 30
= 100
= 1000
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
= 0 dB
gain : 20 log 2 ≈ 6 dB
gain : 20 log10 = 20 dB
gain : 20 log 30 ≈ 30 dB
gain : 20 log100 = 40 dB
gain : 20 log1000 = 60 dB
Jika faktor K tersebut di atas bukan penguatan akan tetapi
perlemahan sinyal maka gain menjadi negatif.
8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
K
K
K
K
K
K
= 1/ 2
= 1/ 2
= 1 / 10
= 1 / 30
= 1 / 100
= 1 / 1000
⇒ gain : − 3 dB
⇒ gain : − 6 dB
⇒ gain : − 20 dB
⇒ gain : − 30 dB
⇒ gain : − 40 dB
⇒ gain : − 60 dB
6.2.3. Kurva Gain Dalam Decibel
Kurva gain dibuat dengan absis (frekuensi) dalam skala logaritmik
(karena rentang frekuensi yang sangat lebar); jika gain dinyatakan
dalam dB yang juga merupakan bilangan logaritmik sebagaimana
didefinisikan pada (6.9), maka kurva gain akan berbentuk garis-garis
lurus.
Low-pass gain. Dengan menggunakan satuan dB, kurva low-pass
gain pada contoh-6.2 adalah seperti terlihat pada ganbar di bawah
ini. Gain hampir konstan −6 dB di daerah frekuensi rendah,
sedangkan di daerah frekuensi tinggi gain menurun dengan
kemiringan yang hampir konstan pula.
Gain 0
[dB] −6
−9
-20
ωC
ω
-40
1
10
100
1000 10000 1E+05
High-pass gain. Dalam skala dB, high-pass gain pada contoh-6.3
adalah seperti terlihat pada ganbar di bawah ini. Gain hampir
konstan −6 dB di daerah frekuensi tinggi sedangkan di daerah
frekuensi rendah gain meningkat dengan kemiringan yang hampir
konstan pula
9
0
Gain −6
[dB] −9
-20
ωC
ω
-40
1
10
100
1000 10000 1E+05
Band-pass gain. Apabila gain meningkat di daerah frekuensi rendah
dengan kemiringan yang hampir konstan, dan menurun di daerah
frekuensi tinggi dengan kemiringan yang hampir konstan pula,
sedangkan gain tinggi berada di antara dua frekuensi cutoff kita
memiliki karakteristik band-pass gain.
0
Gain −3
[dB]
-20
ωC
ω
-40
1
10
100
1000 10000 1E+05
Band-pass gain kita peroleh pada rangkaian orde kedua yang akan
kita pelajari lebih lanjut di bab selanjutnya. Walaupun demikian kita
akan melihat rangkaian orde kedua tersebut sebagai contoh di bawah
ini.
CO%TOH-6.5: Selidikilah perubahan gain dari rangkaian orde
kedua di samping ini. Gain belum dinyatakan dalam dB.
+
−
105/s
Vin(s)
s
1100
+
Vo(s)
−
Penyelesaian :
Fungsi alih rangkaian ini adalah
10 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
TV ( s ) =
1100
5
1100 + s + 10 / s
=
1100s
2
5
=
1100s
( s + 100)(s + 1000)
s + 1100s + 10
j1100ω
TV ( jω) =
( jω + 100)( jω + 1000)
1000ω
⇒ TV ( jω) =
2
ω + 1002 × ω2 + 10002
Kurva gain terlihat seperti gambar di bawah ini. Di sini terdapat
satu passband , yaitu pada ω antara 100 ÷ 1000 dan dua
stopband di daerah frekuensi rendah dan tinggi.
1.4
Gain
stopband
passband
stopband
1
0.7
1/√2
ω
0
1
10
100
1000
10000
Apabila kurva gain dibuat dalam dB, kurva yang akan
diperoleh adalah seperti diperlihatkan di atas.
CO%TOH-6.6: Selidikilah perubahan gain dari rangkaian orde
kedua di samping ini. Gain belum dinyatakan dalam dB.
Vin(s) +
−
0,1s
105/s
10
+
Vo(s)
−
Penyelesaian :
Fungsi alih rangkaian ini adalah
11
10
TV ( s) =
10 +
TV ( jω) =
0,1s × 105 / s
=
s 2 + 106
s 2 + 104 s + 106
0,1s + 105 / s
− ω2 + 106
− ω2 + j104 ω + 106
⇒ TV ( jω) =
− ω2 + 106
(106 − ω2 ) 2 + 108 ω2
Kurva gain adalah seperti gambar di bawah ini.
1.4
passband stopband passband
Gain
1
0.7
1/√2
ω
0
1
100
10000
1000000
Kurva ini menunjukkan bahwa ada satu stopband pada ω antara
100 ÷ 10000 dan dua passband masing-masing di daerah
frekuensi rendah dan tinggi.
Karakteristik gain seperti pada contoh-6.5. disebut band-pass gain
sedangkan pada contoh-6.6 disebut band-stop gain. Frekuensi cutoff
pada band-pass gain ada dua; selang antara kedua frekuensi cutoff
disebut bandwidth (lebar pita).
6.3. Bode Plot
Bode plots adalah grafik gain dalam dB ( |T(jω|dB ) serta fasa (ϕ(ω)
) sebagai fungsi dari frekuensi dalam skala logaritmik. Kurva-kurva
ini berbentuk garis-garis lengkung. Walaupun demikian kurva ini
mendekati nilai-nilai tertentu secara asimtotis, yang memungkinkan
kita untuk melakukan pendekatan dengan garis lurus dengan patahan
di titik-titik belok. Melalui pendekatan ini, penggambaran akan lebih
mudah dilakukan. Bila kita ingin mendapatkan nilai yang lebih tepat,
terutama di sekitar titik belok, kita dapat melakukan koreksi-koreksi
pada kurva pendekatan ini.
12 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Manfaat Bode plots dapat kita lihat misalnya dalam proses
perancangan rangkaian; kurva-kurva pendekatan garis lurus tersebut
merupakan cara sederhana tetapi jelas untuk menyatakan
karakteristik rangkaian yang diinginkan. Dari sini kita dapat
menetapkan maupun mengembangkan persyaratan-persyaratan
perancangan. Selain dari pada itu, tanggapan frekuensi dari berbagai
piranti, perangkat maupun sistem, sering dinyatakan dengan
menggunakan Bode plots. Pole dan zero dari fungsi alih peralatanperalatan tersebut dapat kita perkirakan dari bentuk Bode plots yang
diberikan. Berikut ini kita akan mempelajari tahap demi tahap
penggambaran Bode plots dengan pendekatan garis lurus. Kita akan
mulai dari rangkaian orde pertama disusul dengan rangkaian orde
kedua.
6.3.1. Low-Pass Gain
Bentuk fungsi alih rangkaian orde pertama dengan karakteristik lowpass gain adalah
TV ( s ) =
K
s+α
(6.11)
K dapat bernilai riil positif ataupun negatif. Jika K positif berarti K
mempunyai sudut θK = 0o dan jika negatif mempunyai sudut θK =
±180o. Pole fungsi alih ini haruslah riil negatif karena hanya pole
negatif (di sebelah kiri sumbu imajiner dalam bidang s) yang dapat
membuat rangkaian stabil; komponen transiennya menuju nol untuk t
→∞. Hanya rangkaian yang stabil sajalah yang kita tinjau dalam
analisis mengenai tanggapan frekuensi.
Dari (6.11) kita dapatkan :
T ( jω) =
K
K
=
jω + α α(1 + jω / α )
(6.12)
Fungsi gain dan fungsi fasa dapat kita tuliskan
TV ( jω) =
K /α
1 + (ω / α )
2
dan
ϕ(ω) = θ K − tan −1 (ω / α) (6.13)
Fungsi gain dalam satuan dB, menjadi
13
TV ( jω) dB = 20 log( K / α ) − 20 log 1 + (ω / α) 2 
(6.14)


Fungsi gain ini terdiri dari dua komponen, yang ditunjukkan oleh
suku pertama dan suku kedua ruas kanan (6.14). Komponen pertama
bernilai konstan untuk seluruh frekuensi. Komponen kedua
tergantung dari frekuensi dan komponen inilah yang menyebabkan
gain berkurang dengan naiknya frekuensi. Komponen ini pula yang
menentukan frekuensi cutoff, yaitu saat (ω/α) =1 dimana komponen
ini mencapai nilai −20log√2 ≈ −3 dB. Jadi dapat kita katakan bahwa
frekuensi cutofff ditentukan oleh komponen yang berasal dari pole
fungsi alih, yaitu
ωC = α
(6.15)
Gb.6.1. memperlihatkan perubahan nilai komponen kedua tersebut
sebagai fungsi frekuensi, yang dibuat dengan α = 1000. Dengan
pola perubahan komponen kedua seperti ini maka gain total akan
tinggi di daerah frekuensi rendah dan menurun di daerah frekuensi
tinggi, yang menunjukkan karakteristik low-pass gain. Kurva ini
mendekati nilai tertentu secara asimtotis yang memungkinkan
dilakukannya pendekatan garis lurus sebagai berikut.
0
pendekatan
garis lurus
dB
-20
−log√((ω/α)2+1)
-40
ωC
1E+06
1E+05
10000
1000
100
10
1
-60
ω
[rad/s]
Gb.6.1. Pola perubahan−log√((ω/α)2+1); α=1000 ; dan pendekatan
garis lurusnya.
Untuk frekuensi rendah, (ω/α) << 1 atau ω << α , komponen kedua
dapat didekati dengan
( )
− 20 log 1 + (ω / α) 2  ≈ −20 log 1 = 0


14 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
(6.17)
yang akan memberikan kurva garis lurus horisontal di 0 dB.
Untuk frekuensi tinggi, (ω/α)>>1 atau ω>>α, komponen kedua
tersebut didekati dengan
− 20 log 1 + (ω / α) 2  ≈ −20 log(ω / α )


(6.18)
sehingga kurvanya berupa garis lurus menurun terhadap log(ω).
Untuk setiap kenaikan frekuensi 10 kali, yang kita sebut satu dekade,
penurunan itu adalah
− 20 log(10ω / α ) − 20 log(ω / α ) = −20 log 10 = −20 dB
Jadi pendekatan garis lurus untuk komponen kedua ini adalah garis
nol untuk 1<ω<α dan garis lurus −20 dB per dekade untuk ω>α.
Titik belok terletak pada perpotongan kedua garis ini, yaitu pada
(ω/α) =1, yang berarti terletak di frekuensi cutoff, seperti terlihat
pada Gb.6.1.
Tanggapan fasa kita peroleh dari fungsi fasa (6.13) yaitu
ϕ(ω) = θ K − tan −1 (ω / α)
(6.16)
Komponen pertama fungsi ini bernilai konstan. Komponen kedua
memberi pengurangan fasa yang juga menjadi penentu pola
perubahan tanggapan fasa. Lengkung komponen kedua ini terlihat
pada Gb.6.2.
0
pendekatan
garis lurus
ϕ [o]
−tan−1(ω/α)
-45
ωC
1E+06
1E+05
10000
1000
100
10
1
-90
ω
[rad/s]
Gb.6.2. Pola perubahan−tan−1(ω/α); α=1000 ; dan pendekatan garis
lurusnya.
15
Seperti halnya kurva pada Gb.6.1. kurva inipun mendekati nilainilai tertentu secara asimtotik yang juga memungkinkan kita untuk
melakukan pendekatan garis lurus. Pendekatan garis lurus untuk
komponen kedua fungsi fasa ini kita lakukan dengan
memperhatikan bahwa pada (ω/α)=1, yaitu pada frekuensi cutoff,
nilai −tan−1(ω/α) adalah −45o. Pada ω=0.1ωC , nilai −tan−1(ω/α)
kecil dan dianggap 0o ; pada ω=10ωC , nilai −tan−1(ω/α) mendekati
−90o dan dianggap −90o; untuk ω>10ωC , nilai −tan−1(ω/α) adalah
−90o . Jadi untuk daerah frekuensi 0.1ωC < ω < 10ωC perubahan
fasa dapat dianggap linier −45o per dekade, seperti terlihat pada
Gb.6.2.
Dengan pendekatan garis lurus seperti di atas, baik untuk fungsi
gain maupun untuk fungsi fasa, maka tanggapan gain dan
tanggapan fasa dapat digambarkan dengan nilai seperti tercantum
dalam dua tabel di bawah ini. Perhatikanlah bahwa nilai komponen
pertama konstan untuk seluruh frekuensi sedangkan komponen kedua mempunyai nilai hanya pada selang frekuensi tertentu.
Gain
Frekuensi
ωC = α
ω=1
1<ω<α
ω>α
Komponen 1
20log(|K|/α)
20log(|K|/α)
20log(|K|/α)
Komponen 2
0
0
−20dB/dek
20log(|K|/α)
20log(|K|/α)
−20dB/dek
Total
ϕ
Frekuensi
ωC = α
ω=1
0,1α<ω<10α
ω>10α
θK
θK
θK
Komponen 2
0
−45 /dek
0
Total
θK
θK −45 /dek
θK
Komponen 1
o
o
16 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Kurva pendekatan garis lurus tanggapan gain dan tanggapan fasa
ini, dengan mengambil α = 1000, diperlihatkan pada Gb.6.3.a. dan
Gb.6.3.b.
ϕ [o]
Gain [dB]
20
45
θK
20log(|K|/α)
0
0
−45o/dek
-45
−20dB/dek
-20
-90
b).
1 E+06
1 E+05
1 00 00
10 00
10ωC
1 00
10
1
1 E+06
1 E+05
1 00 00
ω [rad/s]
a).
0.1ωC
-135
10 00
10
1
-40
1 00
ωC = α
ω [rad/s]
Gb.6.3. Pendekatan garis lurus tanggapan gain dan
tanggapan fasa − lowpass gain. ωC = α = 1000 rad/s.
Karena kurva garis lurus adalah kurva pendekatan, maka untuk
mengetahui gain sebenarnya, diperlukan koreksi-koreksi. Sebagai
contoh, pada Gb.6.3.a. gain pada frekuensi cutoff sama dengan gain
maksimum dalam pass-band; seharusnya gain pada frekuensi cutoff
adalah gain maksimum dalam pass-band dikurangi 3 dB.
6.3.2. High-Pass Gain
Fungsi alih rangkaian orde pertama dengan karakteristik high-pass
gain ini berbentuk
T (s ) =
Ks
s+α
sehingga
T ( jω) =
Ks
Ks
=
jω + α α(1 + jω / α )
(6.19)
Berbeda dengan fungsi alih low-pass gain, fungsi alih ini
mempunyai zero pada s = 0. Fungsi gain dan fungsi fasa-nya adalah
T ( jω) =
( K / α)ω
1 + (ω / α )
2
dan ϕ(ω) = θ K + 90o − tan −1(ω / α) (6.20)
⇒ T ( jω) dB = 20 log( K / α ) + 20 log ω − 20 log 1 + (ω / α) 2
(6.21)
17
Dengan hanya menggunakan pendekatan garis lurus, nilai fungsi
gain dan fungsi fasa adalah seperti dalam tabel berikut.
Gain
Frekuensi
ωC = α
ω=1
1<ω<α
Komponen 1 20log(|K|/α) 20log(|K|/α)
Komponen 2
0
Komponen 3
0
Total
ω>α
20log(|K|/α)
+20dB/dek 20log(α/1)+20dB/dek
−20dB/dek
0
20log(|K|/α) 20log(|K|/α)
20log(|K|/α)
+20dB/dek
+20log(α/1)
ϕ(ω)
Frekuensi
ωC = α
ω=1
0,1α<ω<10α
ω>10α
Komponen 1 θK
θK
θK
Komponen 2 90o
90o
90o
Komponen 3 0o
−45o/dek
−90o
θK +90o −45o/dek
θK
Total
θK +90o
Pendekatan garis lurus dari tanggapan gain dan tanggapan fasa
dengan α=100, diperlihatkan pada Gb.6.4.a.dan Gb.6.4.b.
18 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
40
θK+90o
90
Gain [dB]
ϕ [o]
20
0
θK
1E+06
1E+05
100
1
b).
1000
-45
1E+06
1E+05
10000
1000
100
10
1
10ωC
ω [rad/s]
0.1ωC
ω [rad/s]
-40
a).
0
10
ωC = α
10000
20log(|K|/α)
-20
−45o/dek
45
+20dB/dek
Gb.6.4. Pendekatan garis lurus tanggapan gain dan
tanggapan fasa – highpass gain. ωC = α = 100 rad/s.
CO%TOH-6.7: Gambarkan pendekatan garis lurus tanggapan gain
dari dua rangkaian yang masing-masing mempunyai fungsi alih
T1 ( s) =
20
s + 100
dan
T2(s) =
20s
s + 100
Penyelesaian:
Fungsi gain rangkaian pertama adalah
T1 ( jω) =
20
0.2
0.2
=
⇒ T1 ( jω) =
jω + 100 1 + jω / 100
1 + (ω / 100) 2
⇒ T1 ( jω) dB = 20 log( T1 ( jω) ) = 20 log(0.2) − 20 log 1 + (ω / 100) 2
Frekuensi dan nilai tanggapan gain rangkaian pertama terlihat
pada tabel berikut ini.
Gain
Frekuensi
ωC = 100 rad/s
ω=1
Komponen 1 −14 dB
Komponen 2
Total
1<ω<100
ω>100
−14 dB
−14 dB
0
0
−20dB/dek
−14 dB
−14 dB
−14 dB −20dB/dek
19
Fungsi gain rangkaian kedua adalah:
T2 ( jω) =
j 20ω
j 0,2ω
0.2ω
=
⇒ T2 ( jω) =
jω + 100 1 + jω / 100
1 + (ω / 100) 2
⇒ T2 ( jω) dB = 20 log(0.2) + 20 log(ω) − 20 log 1 + (ω / 100) 2
Frekuensi dan nilai tanggapan gain rangkaian kedua terlihat
pada tabel berikut ini.
Gain
Frekuensi
ωC = 100 rad/s
ω=1
Komponen 1 −14 dB
1<ω<100
ω>100
−14 dB
−14 dB
Komponen 2
0
20 dB/dek
40+20 dB/dek
Komponen 3
0
0
−20 dB/dek
−14 dB −14 dB +20 dB/dek
Total
26 dB
Gambar tanggapan gain ke-dua rangkaian adalah sebagai
berikut.
Gain [dB]
Gain [dB]
40
40
Komp-1
Komp-2
20
0
-20
Gain
0
-20
Gain
ωC
-40
Komp-2
20
Komp-1 Komp-3
-40
-60
ω
[rad/s] 2)
(Rangkaian
20 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
10000
100
10
1
1000
ω
[rad/s] 1)
(Rangkaian
10000
1000
100
10
1
-60
6.3.3. Band-Pass Gain
Rangkaian dengan karakteristik band-pass gain dapat diperoleh
dengan menghubungkan secara bertingkat dua rangkaian orde
pertama dengan menjaga agar rangkaian yang di belakang (rangkaian
kedua) tidak membebani rangkaian di depannya (rangkaian pertama).
Rangkaian pertama mempunyai karakteristik high-pass gain
sedangkan rangkaian kedua mempunyai karakteristik low-pass gain.
Hubungan kaskade demikian ini akan mempunyai fungsi alih sesuai
kaidah rantai dan akan berbentuk
T = T1 × T2 =
T ( jω) =
K1s
K
× 2
s+α s+β
(6.22)
K 1 ( jω)
K2
K 1 ( jω)
K2
×
=
×
jω + α jω + β α(1 + jω / α ) β(1 + jω / β)
⇒ T ( jω) =
{K 1 K 2
/ αβ}ω
1 + (ω / α )2 × 1 + (ω / β)2
⇒ T ( jω) dB = 20 log( K 1 K 2 / αβ) + 20 log ω
− 20 log 1 + (ω / α) 2 − 20 log 1 + (ω / β) 2
Dengan membuat β >> α maka akan diperoleh karakteristik bandpass gain dengan frekuensi cutoff ωC1 = α dan ωC2 = β.
Sesungguhnya fungsi alih (6.22) berbentuk fungsi alih rangkaian
orde kedua. Kita akan melihat karakteristik band-pass gain
rangkaian orde ke-dua dalam bab berikut.
21
Daftar Pustaka
1.
Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB
2002, ISBN 979-9299-54-3.
2. Sudaryatno Sudirham, “Pengembangan Metoda Unit Output Untuk
Perhitungan Susut Energi Pada Penyulang Tegangan Menengah”,
Monograf, 2005, limited publication.
3. Sudaryatno Sudirham, “Pengantar Rangkaian Listrik”, Catatan
Kuliah El 1001, Penerbit ITB, 2007.
4. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Harmonisa Dalam Permasalahan
Kualitas Daya”, Catatan Kuliah El 6004, 2008.
5. P. C. Sen, “Power Electronics” McGraw-Hill, 3rd Reprint, 1990,
ISBN 0-07-451899-2.
6. Ralph J. Smith & Richard C. Dorf : “Circuits, Devices and Systems”
; John Wiley & Son Inc, 5th ed, 1992.
7. David E. Johnson, Johnny R. Johnson, John L. Hilburn : “Electric
Circuit Analysis” ; Prentice-Hall Inc, 2nd ed, 1992.
8. Vincent Del Toro : “Electric Power Systems”, Prentice-Hall
International, Inc., 1992.
9. Roland E. Thomas, Albert J. Rosa : “The Analysis And Design of
Linier Circuits”, . Prentice-Hall Inc, 1994.
10. Douglas K Lindner : “Introduction to Signals and Systems”,
McGraw-Hill, 1999.
22 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Daftar %otasi
v atau v(t) : tegangan sebagai fungsi waktu.
V
: tegangan dengan nilai tertentu, tegangan searah.
: tegangan, nilai rata-rata.
Vrr
: tegangan, nilai efektif.
Vrms
: tegangan, nilai maksimum, nilai puncak.
Vmaks
V
: fasor tegangan dalam analisis di kawasan fasor.
V
: nilai mutlak fasor tegangan.
V(s)
: tegangan fungsi s dalam analisis di kawasan s.
i atau i(t) : arus sebagai fungsi waktu.
I
: arus dengan nilai tertentu, arus searah.
: arus, nilai rata-rata.
Irr
: arus, nilai efektif.
Irms
Imaks
: arus, nilai maksimum, nilai puncak.
I
: fasor arus dalam analisis di kawasan fasor.
I
: nilai mutlak fasor arus.
I(s)
p atau p(t)
prr
S
|S|
P
Q
q atau q(t)
w
R
L
C
Z
Y
TV (s)
TI (s)
TY (s)
TZ (s)
µ
β
r
g
: arus fungsi s dalam analisis di kawasan s.
: daya sebagai fungsi waktu.
: daya, nilai rata-rata.
: daya kompleks.
: daya kompleks, nilai mutlak.
: daya nyata.
: daya reaktif.
: muatan, fungsi waktu.
: energi.
: resistor; resistansi.
: induktor; induktansi.
: kapasitor; kapasitansi.
: impedansi.
: admitansi.
: fungsi alih tegangan.
: fungsi alih arus.
: admitansi alih.
: impedansi alih.
: gain tegangan.
: gain arus.
: resistansi alih, transresistance.
: konduktansi; konduktansi alih, transconductance.
23