Ensembel Grand Kanonik (Kanonik Besar)

Perumusan Ensembel
Mekanika Statistik Kuantum
Part-1
Latar Belakang
• Untuk system yang distinguishable maka teori ensemble
mekanika statistic klasik dapat dipergunakan.
• Tetapi bilamana system partikel bersifat indistinguishable
maka penerapan teori ensemble klasik mesti dilakukan
hati-hati, bahkan bisa memberikan kesimpulan yang salah
dalam kasus tertentu.
• Oleh karena itu, agar mampu menangani kasus system
partikel yang indistinguishable diperlukan perumusan ulang
teori ensemble dalam kerangka mekanika kuantum.
• Dalam limit suhu tinggi, kerapatan partikel rendah systemsystem akan kembali berlaku seperti system klasik.
Teori Ensembel Mekanika Kuantum
• Misal ada N buah system identik, N >>1. Semua system ini
dikarakterisasi oleh Hamiltonian yang sama, dinyatakan oleh
operator Hamiltonian 𝐻
• Tiap saat t, setiap system tsb dikarakterisasi oleh fungsi
gelombang 𝜓 𝒓𝒊 , 𝑡 . Misalkan 𝜓 𝑘 𝒓𝒊 , 𝑡 adalah fungsi
gelombang ternormalisasi system ke k.
• Perilaku 𝜓 𝑘 𝒓𝒊 , 𝑡 akan tunduk pada pers. Schrodinger :
𝐻𝜓 𝑘 𝒓𝒊 , 𝑡 = 𝑖ℏ 𝜓 𝑘 𝒓𝒊 , 𝑡
(1)*
• Misalkan kita punya basis set orthonormal yang lengkap (di
ruang Hilbert)
𝜕
*) dalam notasi Bra-Ket, 𝐻 𝑘 > = 𝑖ℏ 𝜕𝑡 𝑘 >
Teori Ensembel Mekanika Kuantum
• 𝜙𝑛 sehingga 𝜓 𝑘 tsb dapat dinyatakan dalam 𝜙𝑛 *):
𝜓𝑘 𝑡 =
𝑎𝑛𝑘 𝑡 𝜙𝑛
𝑛
• Koefisien 𝑎𝑛𝑘 dapat diperioleh melalui sifat orthonormal **)
𝑎𝑛𝑘 (𝑡) =
𝜙𝑛∗ 𝜓 𝑘 (𝑡) 𝑑𝜏
• Dengan 𝑑𝜏 adalah elemen volume di ruang spatial terkait.
• Sehingga jika 𝑎𝑛𝑘 bisa diperoleh berarti kita peroleh ungkapan
bagi fungsi gelombang system tsb 𝜓 𝑘 (𝑡).
• Evolusi koefisien 𝑎𝑛𝑘 (𝑡) diberikan oleh:
*) dalam notasi Bra-Ket, |𝑘 > =
**) 𝑎𝑛𝑘 =< 𝑛|𝑘 >
𝑘
𝑛 𝑎𝑛 |𝑛
>
Teori Ensembel Mekanika Kuantum
𝑖ℏ𝑎𝑛𝑘 (𝑡) = 𝑖ℏ
𝑖ℏ𝑎𝑛𝑘 (𝑡) =
𝑖ℏ𝑎𝑛𝑘 (𝑡) =
𝜙𝑛∗ 𝜓 𝑘 (𝑡) 𝑑𝜏
𝜙𝑛∗ 𝐻 𝜓 𝑘 (𝑡) 𝑑𝜏
𝜙𝑛∗ 𝐻
𝑘 𝑡 𝜙
𝑎𝑚
𝑚 𝑑𝜏
𝑚
𝑖ℏ𝑎𝑛𝑘 (𝑡) =
𝑘 𝑡
𝐻𝑛𝑚 𝑎𝑚
𝑚
Dengan Hnm adalah elemen matrix operator H :
𝐻𝑛𝑚 =
𝜙𝑛∗ 𝐻𝜙𝑚 𝑑𝜏
Teori Ensembel Mekanika Kuantum
𝑎𝑛𝑘
2
• Arti fisis
𝑡 dikaitkan dengan probabilitas menemukan
system ke-k pada saat t berada dalam keadaan 𝜙𝑛 . Karena
tiap saat system mesti berada di salah satu keadaan-n tsb
maka mestilah:
2
𝑘
𝑎𝑛
=1
𝑛
• Dalam notasi Dirac, |𝑛 > ≡ 𝜙𝑛 , maka nilai rata-rata
(ekspektasi) suatu observable A yg dinyatakan oleh operator 𝐴
berada dalam status keadaan terkait 𝜓 𝑘 ≡ |𝑘 > diberikan
oleh :
Rata-rata Besaran Fisis
𝑎𝑛𝑘
< 𝐴 >𝑘 =< 𝑘 𝐴 𝑘 > =
𝑚
< 𝐴 >𝑘 =
∗
𝑘
𝑎𝑚
<𝑚𝐴𝑛>
𝑛
< 𝑛 𝑘 >< 𝑘 𝑚 > < 𝑚 𝐴 𝑛 >
𝑚
𝑛
• Ini adalah perata-rattan thd status keadaan kuantum.
• Selanjutnya dihitung rata-rata statistic (ensemble) dari
besaran A diberikan oleh
𝑁
<𝐴 >=
𝑊𝑘 < 𝐴 >𝑘
𝑘=1
• Dengan Wk adalah bobot statistic (probabilitas) ditemukan
system berada dalam keadaan k ini. Tentu saja :
Density Operator
0 ≤ 𝑊𝑘 ≤ 1 dan
𝑁
𝑘=1 𝑊𝑘
=1
• Sehingga :
𝑁
<𝐴>=
< 𝑛 𝑘 > 𝑊𝑘 < 𝑘 𝑚 > < 𝑚 𝐴 𝑛 >
𝑘=1 𝑛
𝑚
• Sekarang kita definisikan operator kerapatan (density
operator) 𝜌:
𝑁
𝜌=
|𝑘 > 𝑊𝑘 < 𝑘|
𝑘=1
• Elemen matrix dari density operator ini di ruang {|n>} adalah:
Elemen Density Matrix
𝑁
𝜌𝑛𝑚 =< 𝑛 𝜌 𝑚 > =
𝑘=1
𝑁
∗
𝑘
𝑊𝑘 𝑎𝑚
=
𝑘=1
< 𝑛 𝑘 > 𝑊𝑘 < 𝑘 𝑚 >
𝑎𝑛𝑘
1
=
𝑁
𝑁
∗
𝑘
𝑎𝑚
𝑎𝑛𝑘
𝑘=1
• Untuk hasil terakhir telah diasumsikan bobot Wk sama untuk
𝑘 𝑎𝑘 .
seluruh k. Terlihat 𝜌𝑛𝑚 =rata-rata ensemble 𝑎𝑚
𝑛
• Nilai 𝝆𝒏𝒏 adalah probabilitas menemukan suatu system
berada dalam keadaan |n>.
𝑁
𝑘=1
2
𝑘
𝑎𝑛
• Jika dipakai definisi: 𝜌𝑛𝑛 =
yg terkait dengan
operator 𝜌 = 𝑁
𝑘=1 |𝑘 >< 𝑘|, maka 𝜌 adalah jumlah status
keadaan.
Rata-Rata Besaran Fisika dan Density
Operator
• Dengan hasil terakhir ini maka ungkapan <A> dapat dituliskan:
<𝐴>=
<𝑛𝜌𝑚><𝑚𝐴𝑛>
𝑛
𝑚
<𝐴 >=
< 𝑛 𝜌𝐴 𝑛 > = 𝑇𝑟(𝜌𝐴)
𝑛
Tr : trace(A)! Jika A=I (identitas), jelas bahwa :
𝑇𝑟 𝜌 =
Catatan: jika fungsi gelombang
𝜌𝑛𝑛 = 1
𝑛
𝜓𝑘
tidak ternormalisasi maka:
Rata-Rata Besaran Fisika dan Density
Operator
𝑇𝑟 𝜌𝐴
<𝐴 >=
𝑇𝑟 𝜌
Dalam representasi ruang vector yang terkait dengan
Hamiltonian (energy) matrix density akan berupa diagonal
matrix. Dalam ruang representasi yg lain, umumnya tetap
simmetrik karena kebutuhan akan sifat “detailed balanced” agar
menjamin tercapainya kesetimbangan dalam system mekanika
statistic.
Perumusan Ensembel Mikrokanonik
• Ensembel memiliki N dan V tetap, dengan energy H=E atau
1
1
𝐸 − Δ < 𝐻 < 𝐸 + Δ𝐸 (atau bahkan H < E).
2
2
• Γ(𝐸): banyaknya status keadaan (microstate) yg aksesible
yang terkait! Asumsinya tiap microstate ini memiliki
probabilitas yg sama untuk terpilih. Hal ini dikenal sbg prinsip
“equal apriori probabilities”.
• Maka komponen density matrix (dlm representasi energy
diagonal):
𝜌𝑛𝑚 = 𝛿𝑛𝑚 𝜌𝑛
Perumusan Ensembel Mikrokanonik
• 𝜌𝑛 =
1
𝑎𝑡𝑎𝑢
Γ
0
1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑎𝑘𝑠𝑒𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒
𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
• 1/Γ : jika 𝜌n yg dipakai adalah probabilitas.
• Hubungan dengan Thermodinamika sama spt perumusan
klasik yaitu melalui entropi :
𝑆 = 𝑘 ln Γ
Dengan Γ adalah banyak status keadaan mikro berbeda
(distinct) yg aksesible! Dalam menghitung Γ mesti dilakukan
secara mekanika kuantum yaitu memperhitungkan sifat
indistinguishability dari partikel yg terlibat. Jadi tidak akan terjadi
Paradox Gibbs!
Banyak Status Keadaan
• Jika dipakai 𝜌𝑛 = 1 maka,
Γ 𝐸 = 𝑇𝑟 𝜌 =
𝜌𝑛𝑛
𝑛
• Untuk system makroskopik, jarak antar status keadaan di skala
energy sangat kecil shg bisa dianggap kontinum, maka :
Γ(𝐸) = 𝜔 𝐸 Δ
• Jadi dari perumusan klasik untuk Γ(𝐸) menjadi perumusan
kuantum :
1
Γ 𝐸 =
∫ 𝑑𝑝 𝑑𝑞 →
3𝑁
𝑁! ℎ
𝑛
Dari menghitung volum di ruang fasa menjadi menjumlah status
keadaan microstate.
Fungsi Partisi Kanonik
• Seperti di mikrokanonik:
1
Γ 𝐸 =
∫ 𝑑𝑝 𝑑𝑞 →
3𝑁
𝑁! ℎ
𝑛
• Untuk ensemble kanonik maka komponen density matrix-nya
diberikan oleh:
𝜌𝑛𝑚 = 𝛿𝑛𝑚 𝑒 −𝛽𝐸𝑛
Dengan 𝜌𝑛𝑛 menyatakan probabilitas menemukan system dalam
status keadaan microstate n yg memiliki energy En.
• Fungsi partisi Kanonik adalah:
𝑒 −𝛽𝐸𝑛 =
𝑄𝑁 𝑉, 𝑇 = 𝑇𝑟 𝜌 =
𝑛
𝑔 𝐸 𝑒 −𝛽𝐸
𝐸
Penjumlahan thd n adalah thd seluruh n yg distinct! Bukan thd energy!
Fungsi Partisi dan Operator Density
• Operator density dinyatakan oleh:
𝑛 > 𝑒 −𝛽𝐸𝑛 < 𝑛 = 𝑒 −𝛽𝐻
𝜌=
𝑛
𝑛 >< 𝑛
𝑛
Dengan H adalah operator Hamiltonian. Karena sifat
completeness dari fungsi basis {|n>}, maka :
𝜌 = 𝑒 −𝛽𝐻
• Jadi secara formal fungsi partisi Kanonik dapat dituliskan:
𝑄𝑁 𝑉, 𝑇 = 𝑇𝑟(𝑒 −𝛽𝐻 )
• Rata-rata ensemble suatu besaran :
𝑇𝑟 𝐴𝑒 −𝛽𝐻
𝑇𝑟 𝑒 −𝛽𝐻
<𝐴 >=
=
−𝛽
𝐻
𝑄𝑁
𝑇𝑟 𝑒
Perumusan Ensembel Grand Kanonik
• Seperti di Klasik fungsi partis Grand Kanonik :
∞
𝑧 𝑁 𝑄𝑁 (𝑉, 𝑇)
𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 =
𝑁=0
Dengan QN(V,T) adalah fungsi partisi kanonik system N partikel.
Rata-rata ensemble besaran A diberikan oleh :
1
<𝐴 >=
𝜁
∞
𝑧 𝑁 < 𝐴 >𝑁
𝑁=0
Dengan <A>N : rata-rata ensemble kanonik. Sehingga boleh juga
dituliskan:
𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 = 𝑇𝑟(𝑒 −𝛽 𝐻−𝜇𝑁 )
1
< 𝐴 > = 𝑇𝑟 (𝐴 𝑒 −𝛽 𝐻−𝜇𝑁 )
𝜁
Penerapan Mikrokanonik: Gas Ideal
Tak Berinteraksi
• Model gas ideal : N partikel identic tak saling interaksi dalam
volum V. Hamiltonian system :
𝑁
𝐻=
𝑖=1
𝑝𝑖2
2𝑚
Dengan 𝑝𝑖2 = 𝒑𝒊 . 𝒑𝒊 .
• Di alam ini N partikel identic ada 2 jenis : system Fermi atau
system Bose.
• Untuk system Fermi : fungsi gelombang system bersifat
antisimetrik thd pertukaran posisi partikel.
• Untuk system Bose: fungsi gelombang system bersifat simetrik
thd pertukaran posisi partikel
Penerapan Mikrokanonik: Gas IDeal
• Partikel yg memenuhi kaidah Fermi disebut Fermion dan yg
memenuhi kaidah Bose disebut Boson.
• Untuk keperluan model matematik, didefinisikan partikel
memenuhi kaidah Boltzmann, yaitu system dengan fungsi
eigennya = fungsi eigen fermion + boson + lainnya. Di alam tak
ada partikel spt ini, tapi pada suhu tinggi dan density rendah
Fermion dan Boson mendekati system Boltzmann.
• Jadi sekarang kita bahas tiga model non interacting partikel:
– Fermion
– Boson
– Boltzon
Ilustrasi Perbedaan “Counting”
Fermion-Boson-Boltzon
Kasus 1: Dua medali hadiah : 1Medali Newton dan 1Medali
Faraday.
Rule : Satu orang bisa menerima keduanya, atau 1 atau tidak
sama sekali.
Akan dibagikan kepada 3 orang : Andi, Bayu dan Caca. Berapa
cara berbeda membagikan medali tsb?
No Andi Bayu Caca
Ada  =9 cara berbeda mendistribusikannya.
Hadiah : adalah jenis partikel
Orang : adalah status keadaan (“bilangan kuantum”)
Berarti dalam contoh ini : Ada 3 status keadaan
berbeda dan 2 partikel yg akan menempatinya.
Jadi 1 status keadaan bisa menerima lebih dari 1
partikel dan partikelnya berbeda (medali BEDA) Ini
distribusi Boltzmann.
1
N,F
2
N
3
N
4
5
F
F
NF
F
6
N
N
7
NF
8
9
F
F
F
N
N
Ilustrasi : Distribusi Boson
Kasus 2: Dua hadiah berupa 2 koin emas 100 gram (K)
masing-masing.
Rule: Satu orang bisa menerima keduanya, atau 1 atau tidak
sama sekali.
Akan dibagikan kepada 3 orang : Andi, Bayu dan Caca. Berapa
cara berbeda membagikan medali tsb?
Ada  =6 cara berbeda mendistribusikannya.
Hadiah : adalah jenis partikel (dalam hal ini KOIN tak
ada bedanya)
Orang : adalah status keadaan (“bilangan kuantum”)
Berarti dalam contoh ini : Ada 3 status keadaan
berbeda dan 2 partikel tak terbedakan yg akan
menempatinya.
Jadi 1 status keadaan bisa menerima lebih dari 1
partikel dan partikelnya tak terbedakan  Ini distribusi
Boson.
No Andi Bayu Caca
1
2K
2
K
3
K
4
5
K
K
2K
K
6
K
K
7
2K
8
9
K
K
K
K
K
Ilustrasi : Distribusi Fermion
Kasus 3: Dua hadiah berupa kesempatan menjadi pemain
bola (B) di tim Universitas.
Rule : Maka satu orang tentu hanya bisa menerima 1 atau
tidak sama sekali.
Akan dibagikan kepada 3 orang : Andi, Bayu dan Caca. Berapa
cara berbeda membagikan medali tsb?
Ada  =3 cara berbeda mendistribusikannya.
Hadiah : adalah jenis partikel (dalam hal ini 1 orang
hanya bisa menerima 1 hadiah)
Orang : adalah status keadaan (“bilangan kuantum”)
Berarti dalam contoh ini : Ada 3 status keadaan
berbeda dan 2 partikel tak terbedakan yg akan
menempatinya.
Jadi 1 status keadaan hanya bisa menerima max 1
partikel dan partikelnya tak terbedakan  Ini distribusi
Fermion.
No Andi Bayu Caca
1
B
2
B
3
B
4
5
B
B
B
B
6
B
B
7
B
8
9
B
B
B
B
B