bab i pendahuluan

BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam ilmu matematika, banyak pembahasan di bidang analisis dan topologi
yang memerlukan pengertian ruang Hilbert. Ruang Hilbert merupakan konsep abstrak yang mendasari teori persamaan diferensial parsial, mekanika kuantum, analisis
Fourier, dan teori Ergodik. Ruang Hilbert H merupakan ruang Banach dengan
p
norma kxk =
hx, xi, untuk setiap x anggota ruang Hilbert H, dengan h·, ·i
menyatakan produk skalar pada ruang Hilbert H. Pada ruang Hilbert, operator
dikenal sebagai fungsi yang memetakan antara dua ruang Hilbert.
Teori operator merupakan bagian terpenting dalam analisis fungsional. Secara khusus, teori operator menjadi instrumen dasar dalam teori sistem dinamis,
menjadi representasi dari grup dan aljabar, dan merupakan instrumen penting dalam
matematika fisika dan mekanika kuantum. Operator juga terlibat dalam teori probabilitas.
Operator pada ruang Hilbert H dikatakan linear kontinu jika operator tersebut linear dan kontinu. Koleksi semua operator linear kontinu A pada ruang
Hilbert H, dinotasikan dengan Lc (H), merupakan ruang Banach terhadap norma
kAk = sup{kA(x)k : kxk ≤ 1}. Jika diberikan operator linear kontinu dari suatu
ruang Hilbert H ke ruang Hilbert K, maka ada tepat satu operator linear kontinu
dari K ke H yang disebut dengan operator adjoint A∗ .
Operator linear kontinu U dari ruang Hilbert H ke ruang Hilbert K dikatakan
uniter jika U ∗ U = U U ∗ = I. Operator linear kontinu A pada ruang Hilbert H dikatakan uniter ekuivalen (unitarily equivalent) dengan operator linear kontinu B
pada ruang Hilbert K, jika terdapat operator uniter U dari H ke K sehingga berlaku
B = U AU −1 . Operator linear kontinu A pada ruang Hilbert H disebut operator
1
2
kontraksi jika untuk setiap x ∈ H berlaku kA(x)k ≤ kxk. Koleksi semua operator
kontraksi pada H, dinotasikan dengan Ct (H), merupakan ruang bagian dari Lc (H).
Setiap ruang Hilbert dan ruang Banach merupakan ruang topologis. Oleh
karena itu, koleksi semua operator linear kontinu Lc (H) merupakan ruang topologis.
Pada Lc (H) terdapat topologi konvergen titik demi titik (pointwise convergence
topology / point-open topology). Untuk setiap x ∈ H dan U ⊆ H, himpunan
S(x, U ) = {A ∈ Lc (H) : A(x) ∈ U } merupakan anggota basis bagian untuk
topologi konvergen titik demi titik. Topologi ini disebut topologi operator kuat
(strong operator topology). Dalam hal ruang yang dimaksud adalah ruang operator,
topologi operator kuat biasa disebut topologi kuat.
Ruang topologis X disebut ruang Baire jika irisan sebanyak terhitung himpunan terbuka yang rapat (dense) di X merupakan himpunan yang rapat di X .
Konsep mengenai ruang Baire merupakan alat yang penting dalam topologi dan
analisis fungsional, sebab menyajikan gagasan mengenai himpunan bagian dari
ruang topologis yang sangat kecil yang dikenal dengan himpunan kategori pertama
(meager). Komplemen dari himpunan kategori pertama disebut himpunan residual
(co-meager).
Suatu himpunan dikatakan kategori pertama jika dapat dinyatakan sebagai gabungan sebanyak terhitung himpunan bagian yang tidak rapat dimanapun
(nowhere dense). Suatu himpunan pada ruang topologis yang dapat dinyatakan
sebagai irisan sebanyak terhitung himpunan terbuka disebut sebagai anggota Gδ .
Setiap ruang metrik lengkap merupakan ruang Baire dan setiap anggota Gδ yang
rapat di X merupakan himpunan residual (co-meager) di X . Diperhatikan bahwa
terdapat suatu sifat yang dapat dipelajari di ruang Baire yang hanya berlaku pada himpunan yang bukan kategori pertama. Dengan kata lain, sifat tersebut hanya
berlaku pada himpunan residual.
Diberikan sebarang ruang Baire X dan sifat Φ pada titik di X . Sifat φ
dikatakan tipikal pada X jika A = {x ∈ X : x memenuhi Φ} merupakan himpunan
bagian residual dari X . Sifat tipikal memberi peranan di dalam perkembangan
3
ilmu pengetahuan, ada beberapa pengertian tipikal di matematika. Dalam teori
ukuran, sifat tipikal merupakan sifat yang berlaku hampir dimana-mana (almost everywhere). Dalam teori probabilitas, sifat yang berlaku hampir dimana-mana merujuk pada himpunan dengan probabilitas 1. Selanjutnya, dalam topologi dan aljabar
geometri, sifat tipikal merupakan sifat yang berlaku pada himpunan residual.
Sifat tipikal telah diselidiki oleh beberapa peneliti, khususnya pada ruang
topologis, diantaranya A. Bruckner, Tanja Eisner, dan Tamás Mátrai. Bruckner
membahas tentang himpunan semua fungsi kontinu yang tidak terdiferensial dimanapun merupakan himpunan yang residual dari (C[0, 1], k · k∞ ). Tanja Eisner
dan Tamás Mátrai membahas tentang sifat tipikal operator linear kontraksi pada
ruang Hilbert berdimensi tak hingga atas C di beberapa topologi, diantaranya pada
topologi lemah (weak topology) dan topologi kuat (strong topology).
Koleksi semua operator kontraksi Ct (H) dengan H ruang Hilbert separabel
berdimensi tak hingga atau ruang Hilbert klasik (classical Hilbert space), merupakan ruang Baire. Dengan memandang pentingnya operator dan peranan sifat tipikal
di dalam perkembangan ilmu matematika, muncul gagasan untuk menyelidiki sifat
tipikal pada Ct (H). Pada tesis ini, akan dipelajari dan diselidiki sifat tipikal operator
kontraksi pada ruang Hilbert berdimensi tak hingga di topologi operator kuat yang
dinotasikan dengan s-tipikal kontraksi.
1.2 Perumusan Masalah
Seperti yang telah disampaikan di dalam latar belakang penelitian, permasalahan yang akan dibahas di dalam tesis ini adalah menyelidiki sifat s-tipikal pada
operator kontraksi. Karena sifat tipikal dikerjakan pada ruang Baire dan koleksi semua operator kontraksi yang memenuhi sifat tersebut merupakan himpunan bagian
residual dari Ct (H), permasalahan yang dibahas di tesis ini disampaikan sebagai
berikut.
1. Membuktikan bahwa koleksi semua operator kontraksi, dinotasikan Ct (H),
merupakan ruang Baire.
4
2. Menunjukkan bahwa sifat s-tipikal pada operator di Ct (H) merupakan uniter
ekuivalen dengan operator backward unilateral shift berdimensi tak hingga.
1.3 Tujuan dan Manfaat Penelitian
Tujuan utama dari tulisan ini adalah mempelajari tentang sifat s-tipikal operator linear kontraksi pada ruang Hilbert klasik. Adapun manfaatnya, diharapkan
dengan adanya tulisan ini pembahasan lebih lanjut tentang sifat s-tipikal operator kontraksi di dalam topologi operator kuat dapat diselidiki dengan meneliti sifat
operator backward unilateral shift berdimensi tak hingga.
1.4 Tinjauan Pustaka
Ruang Hilbert merupakan ruang pre-Hilbert yang lengkap. Setiap ruang
pre-Hilbert yang berdimensi hingga selalu dapat ditemukan basis ortonormal sehingga setiap ruang pre-Hilbert yang berdimensi hingga merupakan ruang Hilbert.
Ruang Hilbert H yang separabel memiliki basis ortonormal. Sebarang ruang Hilbert
separabel berdimensi tak hingga disebut ruang Hilbert klasik (Classical Hilbert
Space).
Pada saat dua buah ruang Hilbert diberikan, dapat didefinisikan operator
linear dari satu ruang Hilbert ke ruang Hilbert. Di dalam konsep operator linear
kontinu, dikenal beberapa jenis operator beberapa diantaranya adalah operator kontraksi dan operator Adjoint. Dari konsep operator adjoint dikenalkan operator uniter
dan isometrik. Operator A dikatakan uniter ekuivalen dengan operator B jika terdapat operator uniter U sedemikian hingga B = U AU −1 (Berberian, 1961).
Di dalam koleksi operator linear kontinu terdapat topologi. Dengan didasari
oleh definisi basis dan basis bagian di dalam Munkres (2000) dan Hunter (1975),
diperoleh pengertian basis bagian untuk topologi pada ruang operator. Salah satu
topologi pada ruang operator adalah topologi konvergen titik demi titik. Alasan
menyebut topologi konvergen titik demi titik adalah karena topologi tersebut berkorespondensi dengan konvergen titik demi titik yang pada ruang operator yang
5
dikenal dengan nama konvergen kuat. Oleh karena itu, topologi tersebut sering
dikenal sebagai topologi operator kuat.
Dari pengertian ruang topologis, dikenal konsep mengenai ruang Baire. Setiap ruang metrik lengkap merupakan ruang Baire dan suatu ruang topologis dikatakan ruang Baire jika irisan sebanyak terhitung himpunan terbuka yang rapat di
dalamnya merupakan himpunan rapat (Royden, 1988). Suatu himpunan pada ruang
topologis dikatakan anggota Gδ apabila dapat dinyatakan sebagai irisan sebanyak
terhitung himpunan terbuka. Setiap himpunan anggota Gδ yang rapat di X merupakan himpunan yang residual. Hal tersebut dipergunakan untuk mendefinisikan
sifat tipikal. Sifat Φ disebut sifat tipikal pada titik di ruang Baire X apabila koleksi
titik-titik pada X yang memenuhi Φ merupakan himpunan bagian residual dari X
(Kechris, 1994).
Selanjutnya, akan diselidiki sifat tipikal operator linear kontinu pada ruang
Hilbert klasik. Penelitian pertama yang dilakukan adalah menunjukkan bahwa koleksi operator kontraksi pada H merupakan ruang Baire, yaitu dengan menunjukkan
bahwa Ct (H) merupakan ruang yang completely metrizable. Pengertian tentang
ruang topologis yang completely metrizable diperoleh dari Dugundji (1966). Penelitian berikutnya dilakukan terhadap sifat tipikal pada operator kontraksi yang
diamati di dalam topologi operator kuat ditulis singkat s-tipikal kontraksi dan koleksi operator kontraksi yang memenuhi sifat s-tipikal kontraksi tersebut ditulis singkat
koleksi s-tipikal kontraksi.
Eisner dan Mátrai (2012) menunjukkan bahwa s-tipikal kontraksi adalah
uniter ekuivalen dengan operator backward unilateral shift berdimensi tak hingga.
Di dalam tulisannya, Eisner dan Mátrai tidak memberikan bukti dengan lengkap
namun hanya secara garis besar alur pembuktiannya. Langkah untuk menunjukkan
sifat s-tipikal kontraksi tersebut adalah melengkapi alur pembuktian yang ditulis
oleh Eisner dan Mátrai. Dengan memanfaatkan teorema dekomposisi Wold (Nagy,
1970) akan dibahas bahwa operator s-tipikal kontraksi A uniter ekuivalen dengan
jumlahan langsung operator uniter dan operator backward unilateral shift. Operator
6
kontraksi A dikatakan stabil kuat (strongly stable) jika s- lim An = 0. Selanjutnya,
n∈N
akan ditunjukkan bahwa koleksi s-tipikal kontraksi tersebut bersifat stabil kuat sehingga bagian uniternya merupakan ruang bagian trivial (Kubrusly 2010). Langkah
terakhir dalam penelitian ini adalah menunjukkan kernelnya berdimensi tak hingga.
1.5 Metodologi Penelitian
Penulisan tesis ini menggunakan metode studi literatur yaitu mengkaji jurnal
dan makalah terdahulu serta artikel terkait mengenai sifat s-tipikal operator pada
ruang Hilbert. Paper "On Typical Properties of Hilbert Space Operator" oleh Tanja
Eisner dan Tamás Mátrai dijadikan referensi utama dalam tesis ini dengan melengkapi pembuktian teorema di dalamnya.
Terdapat beberapa tahap yang harus dilalui dalam penelitian ini. Pertama,
dibuktikan terlebih dahulu bahwa koleksi operator kontraksi pada ruang Hilbert
H merupakan ruang Baire dengan menunjukkan bahwa Ct (H) merupakan ruang
topologis yang completely metrizable dan terdapat metrik ds pada Ct (H) sehingga
(Ct (H), ds ) merupakan ruang metrik lengkap yang separabel.
Selanjutnya, dikenalkan definisi shift operator yang ditekankan pada pembahasan operator backward unilateral shift. Diberikan ruang Hilbert H = `2 (N × N)
dan dinyatakan {ein : i, n ∈ N} adalah basis ortonormal kanonik dari H. Didefinisikan operator backward unilateral shift berdimensi tak hingga S ∈ Ct (H)
dengan S(e1n ) = 0̂ dan S(e{i+1}n ) = ein , untuk i, n ∈ N. Diberikan koleksi
O(S) = {U SU −1 : U uniter} adalah koleksi operator yang uniter ekuivalen dengan operator backward unilateral shift tersebut. Langkah berikutnya adalah membuktikan bahwa koleksi O(S) merupakan himpunan yang residual dari Ct (H).
Didefinisikan himpunan S koleksi operator kontraksi A yang stabil kuat,
dan himpunan G koleksi operator kontraksi A yang memenuhi SH ⊆ A[SH ] dengan
SH = {x ∈ H : kxk = 1} dan dim ker A = ∞. Himpunan S dan G merupakan
himpunan bagian residual dari Ct (H). Dalam menunjukkan G residual dibutuhkan
lemma yang mengatakan bahwa setiap operator kontraksi yang terdefinisi pada
7
ruang bagian berdimensi hingga dari H dapat diperluas menjadi operator kontraksi
yang surjektif dalam arti yang lebih kuat. Sedangkan untuk menunjukkan kernel
A berdimensi tak hingga dibutuhkan lemma yang mengatakan bahwa s-tipikal kontraksi A konvergen ke nol pada ruang bagian Z sehingga untuk setiap n ∈ N,
berlaku dim Z ≥ n.
Himpunan O(S) merupakan himpunan yang residual dari Ct (H) dapat terbukti dengan menujukkan untuk setiap A ∈ S ∩ G uniter ekuivalen dengan operator
S. Untuk setiap A ∈ G berlaku AA∗ = I dan A∗ A merupakan proyeksi pada range
A∗ . Akan ditunjukkan bahwa A∗ merupakan operator isometrik sehingga A merupakan operator co-isometrik dan A isometrik pada range A∗ . Menggunakan teorema
dekomposisi Wold, karena A∗ operator isometrik, diperoleh H dapat didekomposisi
menjadi jumlahan ortogonal H = H1 ⊕ H2 sehingga H1 dan H2 mereduksi A∗ ,
A∗ |H1 merupakan operator uniter, dan A∗ |H2 merupakan operator shift. Karena S
merupakan himpunan bagian residual dari Ct (H), sama artinya dengan mengatakan
bahwa operator s-tipikal kontraksi A merupakan operator yang stabil kuat, yaitu
s- lim An = 0. Akibatnya, A∗ shift sehingga bagian uniternya merupakan himpunan
n∈N
trivial, dengan kata lain H1 = {0̂}.
Dengan memanfaatkan kesamaan multiplisitas, Rosenblum dan Rovnyak
(1985) mengatakan bahwa dua operator shift dikatakan uniter ekuivalen jika memiliki multiplisitas yang sama. Dengan demikian, karena dim ker A = ∞, diperoleh operator shift A∗ uniter ekuivalen dengan operator shift pada l2 (N, ker A).
Diperhatikan bahwa l2 (N, ker A) isomorfik dengan `2 (N × N). Dengan demikian,
operator s-tipikal kontraksi A uniter ekuivalen dengan operator adjoint dari operator
shift pada `2 (N × N) yang merupakan backward unilateral shift pada `2 (N × N).
Metodologi penelitian ini disampaikan dalam diagram berikut.
8
.
Koleksi semua ope-
- i. Himpunan G menyatakan koleksi operator kontraksi
rator Kontraksi
A yang memenuhi SH ⊆ A[SH ] dan dim ker A = ∞
6
Ruang
Baire
himpunan bagian residual dari Ct (H),
ii. untuk setiap A ∈ G, berlaku AA∗ = I dan A∗ A meru-
?
Koleksi operator kon-
pakan proyeksi pada range A∗ ,
traksi yang stabil kuat
merupakan himpunan
bagian residual dari
iii. operator A merupakan operator isometrik pada range
A∗ dan operator A∗ merupakan operator isometrik.
Ct (H)
Operator
A
kontraksi
?
Bagian
uniternya
merupakan
uniter ekuivalen dengan
him-
punan trivial yaitu
jumlahan langsung ope- rator uniter dan operator
U [H] = {0̂}
backward unilateral shift
?
operator
Teorema
dekomposisi
Wold
Setiap operator kontraksi yang sta-
Koleksi
bil kuat yang memenuhi SH ⊆
yang uniter ekuivalen dengan
A[SH ] dan dim ker A = ∞ uniter
- operator backward unilateral
merupakan
kontraksi
himpunan
ekuivalen dengan operator back-
shift
ward unilateral shift
bagian residual dari Ct (H).
Gambar 1.1 Diagram Alur
1.6 Sistematika Penulisan
Penelitian ini bertujuan untuk memaparkan pengertian tentang sifat tipikal
kuat dari operator linear kontraksi pada ruang Hilbert separabel atas himpunan
bilangan kompleks berdimensi tak hingga. Secara umum, sistematika penulisan
tesis ini dibagi menjadi lima bagian. Bab I berisi tentang pendahuluan yang menjelaskan tentang latar belakang permasalahan yang dibahas dalam penelitian dan
merumuskan permasalahan yang akan diteliti, tujuan dan manfaat dari penelitian
ini, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan disampaikan di
dalam bab ini.
9
Bab II berisi tentang landasan teori yang memaparkan dasar-dasar teori yang
diperlukan dalam penelitian. Landasan teori yang dimaksud meliputi konsep tentang
ruang Hilbert dan beberapa sifat di dalamnya, operator linear kontinu pada ruang
Hilbert, khususnya operator proyeksi, uniter, dan isometrik. Untuk mengenalkan
definisi s-tipikal dalam bab selanjutnya, dipaparkan konsep tentang ruang topologis
yang secara khusus lebih ditekankan pada basis dan basis bagian topologi, ruang
Baire, dan teorema kategori Baire.
Bab III dan bab IV berisi tentang hasil penelitian. Dalam bab III lebih
ditekankan pada pengertian topologi konvergen titik demi titik atau dapat disebut
topologi operator kuat (strong operator topology), uniter ekuivalen, operator kontraksi, dan karakteristik khusus pada operator kontraksi. Selanjutnya, pada bab IV
dibahas mengenai sifat s-tipikal kontraksi, dekomposisi Wold, operator shift, dan
pengertian operator backward unilateral shift, serta uniter ekuivalen antara operator
s-tipikal kontraksi dan operator bakcward unilateral shift. Sebagai penutup, bab V
berisi tentang kesimpulan dari seluruh rangkaian pembahasan sebelumnya.