Matrix Algebra Basics

e-tp.ub.ac.id
Interpolasi Spline
Interpolasi II
Arif Hidayat
TPI4104 – Matematika Industri
 Interpolasi polinomial adalah proses mendapatkan
persamaan polinomial ber-orde n dari kurva berdasarkan
data sejumlah n+1 titik.
 Teknik yang digunakan antara lain metode langsung,
metode beda hingga newton dan metode interpolasi
lagrange.
 Apakah Spline adalah sebuah metode lain untuk
mendapat persamaan polinomial …….. ? TIDAK
Interpolasi Spline
 Jika n sangat besar, hasil interpolasi polinomial
sering menunjukkan trend osilasi/bergelombang.
 Hasil interpolasi tidak sesuai.
 Solusi: interpolasi spline.
 Contoh:
Interpolasi data-data berdasarkan fungsi
Interpolasi Spline
Jika diambil 6 titik dalam interval tersebut dan
nilai y dicari dari fungsi, didapatkan data:
Dari 6 titik ini, dapat disusun
sebuah persamaan polinamial
pangkat 5
Dari titik-titik dalam interval
[-1, 1]
1
Interpolasi Spline
Interpolasi Spline
Menambah
jumlah data
dan tingkat
persamaan
polinomial
tidak memperbaiki
hasil
interpolasi
Hasil interpolasi berbeda dengan hasil exact fungsi
Interpolasi Spline Linier
Interpolasi Spline Linier
Jika diketahui titik-titik (x0,y0), (x1,y1) ….. (xn-1,yn-1),(xn,yn)
Dan titik-titik tersebut dihubungkan secara sederhana
dengan garis lurus, maka nilai interpolasi linier spline di
dapat dengan yi=f(xi)
2
Contoh
Contoh
Kecepatan pertumbuhan mikroba dinyatakan dalam data
Sebagai berikut:
Karena dicari jumlah mikroba saat t=16, maka dipilih data
terdekat dengan t=16, yaitu t0=15 dan t1=20, sehingga
Waktu (s) | Kecepatan (jum/s)
Hitung jumlah mikroba
saat t=16 detik
Contoh
Interpolasi Spline Kuadratik
Pada saat t=16 s,
v(16) =362,78 + 30,913 (16-15)
= 393,7 mikroba/s
Jika diketahui titik-titik (x0,y0), (x1,y1) ….. (xn-1,yn-1),(xn,yn),
masukkan data tersebut dalam persamaan, didapat:
Interpolasi spline linier hanya menggunakan dua
titik, tidak berbeda dengan metode linier yang
lain. Untuk memperbaiki akurasi estimasi
dilakukan dengan spline kuadratik
Terdapat tiga macam koefisien yang harus didapat:
- ai, i = 1, 2, …………….n
- bi, i = 1, 2, …………….n
- ci, i = 1, 2, …………….n
3
Interpolasi Spline Kuadratik
Bagaimana mendapat ketiga koefisien tersebut:
1. Setiap quadratic spline melalui 2 titik berurutan, sehingga
Interpolasi Spline Kuadratik
2. Turunan pertama fungsi spline kontinyu di titik-titik diantara
dua nilai batas, sehingga turunan spline di titik 1 dan 2:
Kedua turunan tersebut bernilai sama pada x=x1, sehingga:
Interpolasi Spline Kuadratik
Contoh
3. Asumsikan spline pertama adalah linier, sehingga
a1 = 0
6 titik, sehingga didapat 5 spline kuadratik
Contoh:
Dari soal sebelumnya:
Waktu (s) | Kecepatan (jum/s)
Tentukan jumlah mikroba saat
t=16 dengan spline kuadratik
1. Setiap spline kuadratik melalui 2 titik berurutan
a1t + b1t + c1 = 0, melalui t=0 dan t=10, sehingga
4
Contoh
Contoh
a2t + b2t + c2 = 0, melalui t=10 dan t=15, sehingga
a5t + b5t + c5 = 0, melalui t=22,5 dan t=30, sehingga
a3t + b3t + c3 = 0, melalui t=15 dan t=20, sehingga
2. Turunan pertama spline kuadratik kontinyu di titik-titik antara
dua batas
a4t + b4t + c4 = 0, melalui t=20 dan t=22,5, sehingga
Contoh
Contoh
3. Asumsikan spline pertama a1t + b1t + c1 linier, sehingga
a1 = 0
Penyelesaian matriks tersebut didapat:
Dari persamaan 1-15, didapat matriks:
Sehingga
5