Bab 2

Bab 2
DISTRIBUSI
PELUANG
[email protected]
PENDAHULUAN
Setiap peristiwa akan mempunyai peluangnya masingmasing, dan peluang terjadinya peristiwa itu akan
mempunyai penyebaran yang mengikuti suatu pola
tertentu yang di sebut dengan distribusi.
Distribusi peluang untuk suatu variabel acak
menggambarkan bagaimana peluang terdistribusi untuk
setiap nilai variabel acak.
Distribusi peluang didefinisikan dengan suatu fungsi
peluang, dinotasikan dengan p(x) atau f(x), yang
menunjukkan peluang untuk setiap nilai variabel acak.
Ada dua jenis distribusi, sesuai dengan variabel acaknya.
Jika variabel acaknya variabel diskrit, maka distribusi
peluangnya adalah distribusi peluang diskrit,
Sedangkan jika variabel acaknya variabel yang kontinu,
maka distribusi peluangnya adalah distribusi peluang
kontinu.
VARIABEL ACAK
Variabel acak
Sebuah ukuran atau besaran yang merupakan hasil suatu percobaan
atau kejadian yang terjadi acak atau untung-untungan dan mempunyai
nilai yang berbeda-beda.
Variabel acak diskret
Variabel acak kontinu
Ukuran hasil percobaan yang
mempunyai nilai tertentu dalam
suatu interval.
Ukuran hasil percobaan yang
mempunyai nilai yang
menempati seluruh titik dalam
suatu interval.
4
DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT
Adalah
sebuah
tabel
atau
rumus
yang
mencantumkan semua kemungkinan nilai variabel
acak diskrit dan nilai peluangnya
Syarat:
1. f(x) ≥ 0, nilai peluang selalu lebih besar dari 0
2.  p( x)  1 , jumlah total peluang pada sebuah kejadian
sama dengan 1

i 0
Distribusi peluang diskrit dapat digambarkan dalam
bentuk tabel, grafik, maupun persamaan.
Contoh :
1. Tentukan rumus distribusi peluang banyaknya sisi gambar
bila sebuah uang logam dilempar 3 kali. Buatlah tabelnya ?
Eksperimen :
pelemparan 1 mata uang 3x, Banyaknya titik sampel = 23 =
8
S ={AAA, AAG, AGG, GGG, AGA, GAG, GAA, GGA}
3 
Banyaknya muncul sisi gambar adalah  
 x
Jadi fungsi peluang adalah :
3 
 
x

f( x) 
8
Untuk x = 0,1,2,3
Tabel distribusi peluang :
2. Sebuah dadu dilemparkan 2x
Misalkan : x = jumlah titik dadu dalam kedua
lemparan itu, maka
x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Tabel distribusi probabilitas x :
a) P(x>8) = P(x=9)+P(x=10)+P(x=11)+ P(x=12)
=
=
b) P(4<x<7) = P(x=5) + P(x=6)
=
=
DISTRIBUSI BINOMIAL
Sifat percobaan Binomial
 Percobaan dilakukan dalam n kali ulangan yang
sama.
 Kemungkinan yang terjadi pada tiap ulangan
hanya ada 2, yaitu “sukses” atau “gagal”.
 Probabilitas “sukses” yang dinotasikan dengan p
selalu tetap pada tiap ulangan.
 Tiap ulangan saling bebas (independent).
Fungsi Peluang Binomial
n ! x ( n x)
 n x ( n  x )
P( x)    p q 
pq
x!( n  x)!
 x
dimana :
p : probabilitas sukses sebuah percobaan,
q = 1-p,
n : jumlah percobaan
x : jumlah sukses.
Jumlah
sukses x
0
1
2
3

n
Probabilitas P(x)
n!
p 0 q ( n 0)
0!( n  0)!
n!
p1q ( n 1)
1!( n  1)!
n!
p 2 q ( n2)
2!( n  2)!
n!
p 3 q ( n 3)
3!( n  3)!

n!
p n q ( nn)
n!( n  n)!
1.00
Mean dari distribusi binomial :
  E ( X )  np
Variansi dari distribusi binomial :
 2  V ( X )  npq
Deviasi standar dari distribusi binomial :
 = SD(X) = npq
CONTOH :
Probabilitas bahwa seseorang pasien penderita
penyakit jantung akan sembuh adalah 0,4. Jika 10
orang diketahui terserang penyakit jantung, berapa
probabilitas :
a) 3 orang yang sembuh
b) Paling banyak 3 orang yang sembuh
c) Paling sedikit 3 orang yang sembuh
PENYELESAIAN :
a)
P(x=3) =
atau
dengan Tabel I (Binomial) :
P(x=3) = P(x  3) – P(x  2)
= 0,382 – 0,167
= 0,215
b) Paling banyak 3 berarti : 0, 1, 2, 3.
= P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)
atau dengan Tabel I
P(x ≤ 3) = b(3; 10; 0,4)
= 0,382
c) Paling sedikit 3 berarti : 3, 4, 5, …, 10 = A
= 0, 1, 2
P( ) ) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)
= ...
P(A) = 1 – P(
) atau dengan Tabel I
P(x3) = 1 – P(x≤2)
= 1 – 0,167
= 0,833
Rata-rata = mean x :
 = n.p = 10.(0,4) = 4
Variansi x :
= n.p.q = n.p.(1-q)
= 10.(0,4).(0,6) = 2,4
Deviasi standar x :
=
=
= 1,55
Latihan Soal 1
1. Berdasarkan suatu survey diketahui 2 dari 5 laki-laki
dewasa punya peluang menderita Osteoporosis.
Jika disuatu kantor ada 5 orang laki-laki, hitunglah
probabilitas bahwa 5 orang tersebut :
a. Tidak ada satupun yang menderita Osteoporosis
b. Paling sedikit 3 orang menderita Osteoporosis
c. Hanya 2 orang menderita Osteoporosis
Latihan Soal 2
2. Menurut pendapat seorang ahli mengatakan bahwa 4
dari 7 wanita berpotensi mengalami anemia. Dari 10
orang wanita, tentukan probabilitasnya
a. Hanya satu orang wanita yang mengalami anemia
b. Lebih dari 7 orang wanita mengalami anemia
c. Paling sedikit 2 orang wanita mengalami anemia
Latihan Soal 3
3. Jika 15% barang yang diproduksi suatu mesin
pabrik diketahui rusak, berapa probabilitasnya
dari 4 barang yang diproduksi :
a. Semua rusak
b. Paling banyak 2 rusak
c. Paling sedikit 3 rusak
DISTRIBUSI POISSON
Sifat percobaan Poisson
1. Peluang suatu kejadian adalah sama untuk 2 (dua)
interval yang sama.
2. Kejadian pada suatu inverval saling bebas dengan
kejadian pada inverval yang lain
3. Terjadinya kejadian sangat jarang terjadi
 Fungsi Peluang Poisson
p ( x) 
Dimana
e
x

x!
x =banyaknya kejadian pada interval waktu tertentu
 =rata-rata banyaknya kejadian pada interval waktu tertentu
  n. p
e = 2.71828 (bilangan natural)
Nilai Harapan (Expected Value) atau Rata-rata

E ( X )   xp( x)  
Varian
x 0
Var(x) = 2 = λ
Simpangan Baku (Standard Deviation)
   
2
CONTOH :
Di RS Mercy, 3 dari 100 pasien pasti mendatangi UGD
per jamnya. Berapa peluang dari 100 pasien akan
mendatangi UGD pada akhir minggu sebanyak :
a. 4 pasien saja
b. paling banyak 2 pasien
c. paling sedikit 2 pasien
PENYELESAIAN :
Diketahui :
λ = n .p = 3/100 * 100
x=4
4 3
3 e
p(4) 
 0,1680
4!
Jadi peluang ada 4 pasien mendatangi UGD
pada akhir minggu adalah 0,1680
Latihan Soal 1
1. Probabilitas bahwa seorang balita akan menderita
reaksi buruk akibat imunisasi adalah 0,001.
Hitunglah bahwa dari 2000 balita yang diimunisasi,
a. Tidak ada satupun balita yang menderita reaksi
buruk akibat imunisasi.
b. Hanya 2 balita yang menderita reaksi buruk
akibat imunisasi
c. Lebih dari 3 balita yang menderita reaksi buruk
akibat imunisasi
Latihan Soal 2
2. Diketahui bahwa rata-rata 1 dari 1500 mobil yang
lewat jalan tol Krapyak mengalami kerusakan ban.
Apabila pada hari tertentu lewat 4500 mobil di jalan
tol Krapyak, berapa probabilitas bahwa :
a. Hanya satu mobil yang mengalami kerusakan ban
b. Kurang dari 2 mobil mengalami kerusakan ban
c. Paling sedikit 3 mobil mengalami kerusakan ban
Latihan Soal 3
3. Seorang broker real estate mengatakan bahwa 2 dari 40
rumah yang ditawarkan akan terjual dalam setiap
minggunya. Jika rumah yang tersedia 80 rumah,
tentukan probabilitas bahwa dalam waktu satu minggu
akan terjual :
a. Hanya satu rumah
b. Lebih dari 5 rumah
DISTRIBUSI PELUANG KONTINU
 Distribusi peluang untuk variabel acak kontinu tidak dapat
disajikan dalam bentuk tabel, tetapi dinyatakan dalam
sebuah fungsi yang disebut fungsi densitas
 Fungsi tersebut dinyatakan sedemikian sehingga luas
daerah di bawah kurva, diatas sumbu x  1
~

~
f ( x ) dx  1
RATA-RATA HITUNG / HARGA HARAPAN / EKSPEKTASI,
VARIANSI DAN STANDAR DEVIASI
• Rata-rata
Hitung/Harga
harapan/ Ekspektasi
x= E(x) = x.f(x)
• Varians
2= E(x2) - E(x)2
2
= (x.f(x)) –[ (x.f(x))]2
• Standar Deviasi
=  2
Contoh
1. Diketahui : distribusi probabilitas sbb :
Hitung : a) Mean x
b) Variansi x
c) Deviasi standar x
d) Jika y = 4x-2,
hitung : E(y), var(y) & Ds(y)
Jawab :
Mean x
Var (x)
= E(x) = x.f(x) = 3,30
=
= 12,8 – (3,3)2
= 12,8 – 10,89
= 1,91
c) Ds (x) =
= 1,38
d) y = 4x – 2
E(y) = E(4x-2)
= 4.E(x) – 2
= 4.(3,3) – 2
= 13,2 – 2
= 11,2
Ds(y) = Ds(4x-2)
= 4.Ds(x)
= 4.(1,38) = 5,52
Var (y) = var(4x-2)
= 4.var(x)
= 4.(1,91)
= 7,64
2) Diketahui table distribusi probabilitas x
x = banyak computer yang terjual dalam 1 hari
Hitung :
a) Banyak computer yang diharapkan terjual ratarata dalam 1 hari = E(x)
b) Deviasi standar x = Ds(x)
Jawab :
a) E(x) =  x.f(x) = 2,7
b) Var(x) =
= 9,3 – (2,7)2
= 2,01
Ds(x) =
=
= 1,42
DISTRIBUSI NORMAL
 Distribusi normal adalah sebuah distribusi yang paling luas
penggunaannya.
 Karakterisik Distribusi Peluang Normal
 Bentuk kurva normal seperti bel dan simetris.
 Parameter , menunjukkan lebar dari kurva normal (semakin
besar nilainya, semakin lebar).
 Titik tertinggi dari kurva nomal terletak pada nilai ratarata=median=modus.
 Luas total area di bawah kurva normal adalah 1. (luas bagian di
sebelah kiri µ = sebelah kanan µ).
 Peluang suatu variabel acak normal sama dengan luas di
bawah kurva normal.
Persamaan distribusi normal tergantung pada 2 parameter, yaitu
µ dan σ. Persamaanya sebagai berikut :
f ( x) 
1
e
 2
1  x 
 

2  
2
Dimana:  = rata-rata (mean)
 = simpangan baku (standard deviation)
 = 3.14159
e = 2.71828
Untuk mempermudah perhitungan itu, maka variabel x
di transformasi menjadi angka baku z, dimana :
z
x

Latihan Soal 1
1. Suatu variable random mempunyai distribusi
normal dengan mean = 80 dan simpangan
baku = 4,8. Berapa probabilitasnya bahwa
variable random akan mempunyai nilai :
a. Kurang dari 87,2
b. Lebih dari 76,4
c. Antara 81,2 dan 86,0
d. Antara 71,6 dan 88,4
Latihan Soal 2
2. Panjang ikan sardine yang diterima suatu pabrik
pengalengan ikan mempunyai panjang rata-rata
4,54 inci dan simpangan baku 0,25 inci. Apabila
distribusi panjang ikan sardine tersebut
mendekati distribusi normal, berapa persentase
dari ikan-ikan tersebut yang panjangnya adalah :
a. Lebih dari 5 inci
b. Kurang dari 4 inci
c. 4,4 sampai 4,6 inci
Latihan Soal 3
3. Suatu mesin pengisi minuman ringan diatur sedemikian
rupa sehingga rata-rata mengisi setiap botol 200 milimeter.
Jika volume minuman tersebut berdistribusi normal dengan
simpangan baku 15 milimeter, ditanyakan :
a. Berapa bagian yang berisi lebih dari 224 milimeter
b. Berapa probabilitas seluruh botol akan berisi 191 sampai
209 milimeter
c. Berapa banyak botol minuman yang berisi melebihi 230
milimeter bila produksi diketahui 1000 botol.
d. Di bawah nilai berapa untuk diperoleh 25 % isi terendah.
Latihan Soal 4
4. Pengemudi taksi berdasarkan pengalamannya mengetahui
bahwa jumlah penumpang yang ia antarkan untuk sore hari
rata-rata 23,7 orang dengan deviasi standar 4,2. Jika
dianggap jumlah penumpang berdistribusi normal, hitunglah
probabilitasnya bahwa waktu sore hari pengemudi taksi
tersebut mengantarkan :
a.
b.
c.
d.
20 penumpang
Paling sedikit 18 penumpang
Paling banyak 25 penumpang
15 sampai 21 penumpang