bab i pendahuluan

BAB I
PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang Masalah
Modul merupakan perumuman dari ruang vektor yang mana skalar pada mo-
dul merupakan elemen dari suatu ring dengan elemen satuan. Jika diberikan modul
kiri M atas R, maka diperoleh suatu definisi mengenai modul multiplikasi yaitu
setiap submodulnya dapat dinyatakan sebagai perkalian antara suatu ideal dengan
modul itu sendiri. Apabila suatu modul M atas R merupakan modul multiplikasi,
maka untuk setiap N submodul pada M , terdapat I ideal di R sedemikian hingga
N = IM .
Konsep yang berkaitan dengan modul multiplikasi dapat dibawa ke dalam
konsep dualnya yaitu modul komultiplikasi, yang mana setiap submodulnya dapat
dinyatakan sebagai (0 :M I). Jika diberikan modul M atas R, maka M disebut
modul komultiplikasi jika untuk setiap N submodul pada M , terdapat I ideal di R
sedemikian hingga N = (0 :M I). Pada modul multiplikasi terdapat suatu sifat
yang menyatakan bahwa setiap submodul N pada modul multiplikasi M , N dapat dinyatakan sebagai N = (0 :R (M/N ))M . Sifat ini dapat dipandang sebagai
dualisasi modul multiplikasi menjadi modul komultiplikasi.
Jika diberikan modul kiri M atas R dan S = EndR (M ), maka M mempunyai struktur modul kanan atas S, sehingga M merupakan bimodul atas (R, S). Hal
tersebut mendasari terbentuknya suatu struktur baru yaitu modul multiplikasi dan
modul komultiplikasi mempunyai struktur modul kanan atas S.
Pada skripsi ini akan dibahas mengenai modul multiplikasi dan komultiplikasi yang merupakan modul-modul khusus. Akibatnya, endomorfismanya juga
mempunyai sifat-sifat khusus. Hal inilah yang akan diselidiki dalam skripsi ini.
Manfaat yang bisa diambil dari Endomorfisma Modul Multiplikasi dan Komultiplikasi ini yaitu mengetahui sejauh mana hubungan modul multiplikasi dan
1
2
komultiplikasi dengan modul-modul khusus yang lain, diantaranya modul Hopf,
modul Hopf yang diperumum, modul ko-Hopf, dan modul ko-Hopf lemah.
Selain itu, hasil-hasil yang diperoleh pada Endomorfisma Modul Multiplikasi dan Komultiplikasi ini dapat pula dikembangkan untuk pendefinisian modul
lain, misalnya f ully multiplication module.
3
1.2.
Batasan Masalah
Batasan masalah yang dibahas dalam skripsi ini berkaitan dengan pengerti-
an modul multiplikasi dan komultiplikasi, hubungan antara modul multiplikasi dan
komultiplikasi, beberapa sifat pada kedua modul tersebut beserta endomorfismanya.
1.3.
Maksud dan Tujuan
Skripsi ini bertujuan untuk:
i. Memperkenalkan konsep modul multiplikasi dan komultiplikasi yang mempunyai struktur modul kanan atas EndR (M ).
ii. Menyelidiki sifat-sifat modul multiplikasi dan komultiplikasi.
iii. Menganalisa hubungan antara modul multiplikasi dan komultiplikasi dengan
modul-modul lain.
iv. Menyelidiki endomorfisma modul multiplikasi dan komultiplikasi.
1.4.
Tinjauan Pustaka
Modul multiplikasi merupakan modul yang dapat dinyatakan sebagai per-
kalian antara suatu ideal dengan modul itu sendiri. Konsep ini dapat ditemukan
pada paper Anshari dan Farshadifar (2007). Selain itu, Anshari dan Farshadifar
(2007) juga memperkenalkan konsep modul komultiplikasi yang merupakan dual
dari modul multiplikasi. Anshari dan Farshadifar (2008) juga memperkenalkan endomorfisma modul multiplikasi dan komultiplikasi.
Dasar teori mengenai ring dan modul dapat ditemukan dalam buku literatur,
antara lain Adkins dan Weintraub (1992), Anderson dan Fuller (1992), Malik et al.
(1997), serta Wisbauer (1991).
1.5.
Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih
dahulu mempelajari mengenai modul, terutama yang berkaitan dengan submodul,
4
bimodul, annihilator, homomorfisma modul, dan endomorfisma. Hal tersebut menjadi dasar untuk mempelajari tentang modul multiplikasi beserta sifat-sifatnya. Karena modul komultiplikasi merupakan dual dari modul multiplikasi, maka dipelajari
juga sifat-sifatnya. Kemudian mempelajari sifat homomorfisma modul multiplikasi
dan komultiplikasi terkait dengan image dan kernel, submodul kecil dan esensial,
modul Hopf dan Hopf yang diperumum, serta modul ko-Hopf dan ko-Hopf lemah.
1.6.
Sistematika Penulisan
Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai beri-
kut.
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang, batasan masalah, maksud dan tujuan
penulisan, tinjauan pustaka, metode penelitian, serta sistematika penulisan.
BAB II
DASAR TEORI
Pada bab ini dibahas mengenai definisi dan sifat dasar suatu modul, submodul, modul faktor, homomorfisma modul, endomorfisma, serta annihilator.
BAB III MODUL DAN SUBMODUL KHUSUS
Pada bab ini dibahas mengenai beberapa modul dan submodul khusus seperti modul
self-generated dan self-cogenerated, submodul esensial dan submodul kecil, modul
Hopf dan Hopf yang diperumum, modul ko-Hopf dan ko-Hopf lemah, serta Lemma
Fitting dan modul idempoten.
BAB IV ENDOMORFISMA MODUL MULTIPLIKASI DAN KOMULTIPLIKASI
Pada bab ini dibahas mengenai definisi modul multiplikasi dan komultiplikasi beserta sifat-sifatnya serta endomorfisma kedua modul beserta sifat-sifatnya.
BAB V KESIMPULAN
Pada bab ini memuat kesimpulan yang berkaitan dengan isi skripsi secara menyeluruh.
BAB II
DASAR TEORI
Pada bab ini, akan dibahas mengenai beberapa teori yang berhubungan dengan modul. Teori tersebut menjadi dasar pembahasan modul multiplikasi dan komultiplikasi.
2.1.
Pengertian Modul
Modul merupakan perumuman dari ruang vektor. Pada modul, skalar didefi-
nisikan sebagai elemen suatu ring. Berikut ini diberikan definisi tentang modul kiri
dan modul kanan.
Definisi 2.1.1. Diberikan ring (R, +, ·) dengan elemen satuan. Suatu grup Abel
(M, +), dilengkapi dengan pemetaan ∗ : R×M −→ M , yang memetakan (r, m) ∈
R×M ke ∗(r, m) = rm ∈ M disebut modul kiri atas R jika untuk setiap r1 , r2 ∈ R
dan m1 , m2 ∈ M , berlaku
1. r(m1 + m2 ) = rm1 + rm2 ,
2. (r1 + r2 )m = r1 m + r2 m,
3. (r1 r2 )m = r1 (r2 m),
4. 1R m = m.
Berikut ini diberikan contoh modul kiri
Contoh 2.1.2. Diberikan lapangan R dan Rn ruang vektor berdimensi n atas R.
Diberikan pula operasi pergandaan skalar
∗ : R × Rn −→ Rn ,
dengan
a(b1 , b2 , ...., bn ) = (ab1 , ab2 , ...., abn ), abi ∈ R, i = 1, 2, ...., n.
5
6
Akan ditunjukkan bahwa Rn merupakan modul kiri atas R.
1. Ambil sebarang a ∈ R dan ambil sebarang (b1 , b2 , ...., bn ), (c1 , c2 , ...., cn ) ∈ Rn .
Diperoleh
a((b1 , b2 , ...., bn ) + (c1 , c2 , ...., cn )) = (ab1 , ab2 , ...., abn ) + (ac1 , ac2 , ...., acn )
= a(b1 , b2 , ...., bn ) + a(c1 , c2 , ...., cn ).
2. Ambil sebarang a, a1 ∈ R dan ambil sebarang (b1 , b2 , ...., bn ) ∈ Rn . Diperoleh
(a + a1 )(b1 , b2 , ...., bn ) = ((a + a1 )b1 , (a + a1 )b2 , ...., (a + a1 )bn )
= (ab1 + a1 b1 , ab2 + a1 b2 , ...., abn + a1 bn )
= (ab1 , ab2 , ...., abn ) + (a1 b1 , a1 b2 , ...., a1 bn )
= a(b1 , b2 , ...., bn ) + a1 (b1 , b2 , ...., bn ).
3. Ambil sebarang a, a1 ∈ R dan ambil sebarang (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Rn . Diperoleh
(aa1 )(b1 , b2 , . . . , bn ) = (aa1 b1 , aab2 , . . . , aabn )
= a(a1 b1 , a1 b2 , . . . , a1 bn ).
4. Ambil sebarang 1R ∈ R dan ambil sebarang (b1 , b2 , ...., bn ) ∈ Rn . Diperoleh
1R (b1 , b2 , ...., bn ) = (1R b1 , 1R b2 , ...., 1R bn )
= (b1 , b2 , ...., bn ).
Jadi, Rn merupakan modul kiri atas R.
Definisi 2.1.3. Diberikan ring (R, +, ·) dengan elemen satuan. Suatu grup Abel
(M, +), dilengkapi dengan pemetaan ∗ : M ×R −→ M , yang memetakan (m, r) ∈
M × R ke ∗(m, r) = mr ∈ M disebut modul kanan atas R jika untuk setiap
r1 , r2 ∈ R dan m1 , m2 ∈ M , berlaku
1. (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r,
2. m(r1 + r2 ) = mr1 + mr2 ,
3. m(r1 r2 ) = (mr1 )r2 ,
7
4. m1R = m.
Contoh 2.1.4. Diberikan lapangan R dan Rn ruang vektor berdimensi n atas R.
Diberikan pula operasi pergandaan skalar
∗ : Rn × R −→ Rn
dengan
(b1 , b2 , ...., bn )a = (b1 a, b2 a, ...., bn a), bi a ∈ R, i = 1, 2, ...., n.
Akan ditunjukkan bahwa Rn merupakan modul kanan atas R.
1. Ambil sebarang a ∈ R dan ambil sebarang (b1 , b2 , ...., bn ), (c1 , c2 , ...., cn ) ∈ Rn .
Diperoleh
((b1 , b2 , ...., bn ) + (c1 , c2 , ...., cn ))a = (b1 a, b2 a, ...., bn a) + (c1 a, c2 a, ...., cn a)
= (b1 , b2 , ...., bn )a + (c1 , c2 , ...., cn )a.
2. Ambil sebarang a, a1 ∈ R dan ambil sebarang (b1 , b2 , ...., bn ) ∈ Rn . Diperoleh
(b1 , b2 , ...., bn )(a + a1 ) = (b1 (a + a1 ), b2 (a + a1 ), ...., bn (a + a1 ))
= (b1 a + b1 a1 , b2 a + b2 a1 , ...., bn a + bn a1 )
= (b1 a, b2 a, ...., bn a) + (b1 a1 , b2 a1 , ...., bn a1 )
= (b1 , b2 , ...., bn )a + (b1 , b2 , ...., bn )a1 .
3. Ambil sebarang a, a1 ∈ R dan ambil sebarang (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Rn . Diperoleh
(b1 , b2 , . . . , bn )(aa1 ) = (b1 aa1 , b2 aa1 , . . . , bn aa1 )
= (b1 a, b2 a, . . . , bn a)a1 .
4. Ambil sebarang 1R ∈ R dan ambil sebarang (b1 , b2 , ...., bn ) ∈ Rn . Diperoleh
(b1 , b2 , ...., bn )1R = (b1 1R , b2 1R , ...., bn 1R )
= (b1 , b2 , ...., bn ).
Jadi, Rn merupakan modul kanan atas R.
8
Selanjutnya diberikan definisi tentang bimodul.
Definisi 2.1.5. Diberikan R dan S masing-masing merupakan ring dengan elemen
satuan. Grup Abel M disebut bimodul atas (R, S) jika M merupakan modul kiri
atas R dan modul kanan atas S, serta memenuhi
r(ms) = (rm)s, ∀r ∈ R, m ∈ M, s ∈ S.
Berikut ini diberikan contoh bimodul.
Contoh 2.1.6. Diberikan R ring komutatif dengan elemen satuan. Diberikan pula
M merupakan modul kiri sekaligus modul kanan atas R. Akan ditunjukan bahwa M
merupakan bimodul atas (R, R). Ambil sebarang m ∈ M dan r, r0 ∈ R. Diperoleh,
r(mr0 ) = (rm)r0 .
Jadi, M merupakan bimodul atas (R, R).
Contoh 2.1.7. Diberikan Mmxm (R) dan Mnxn (R) masing-masing merupakan ring
dengan elemen satuan. Diberikan Mmxn (R) merupakan modul kiri atas Mmxm (R)
dan modul kanan atas Mnxn (R). Akan ditunjukan bahwa Mmxn (R) merupakan
bimodul atas (Mmxm (R), Mnxn (R)). Ambil sebarang A ∈ Mmxn (R) dan ambil
sebarang B ∈ Mmxm (R), C ∈ Mnxn (R). Diperoleh,
B(AC) = (BA)C.
Jadi, Mmxn (R) merupakan bimodul atas (Mmxm (R), Mnxn (R)).
Pada lemma berikut diberikan sifat dasar pada suatu modul.
Lemma 2.1.8. Diberikan modul M atas R. Jika 0M dan 0R masing-masing merupakan elemen nol pada M dan R, maka untuk setiap m ∈ M , r ∈ R berlaku
r0M = 0M dan 0R m = 0M .
9
Bukti. Ambil sebarang m ∈ R dan r ∈ R.
i. Akan ditunjukkan r0M = 0M . Dengan menggunakan sifat elemen nol pada
grup M , diperoleh r0M = r(0M + 0M ) = r0M + r0M . Diperoleh,
0M = r0M − r0M
= (r0M + r0M ) − r0M
= r0M .
ii. Akan ditunjukkan 0M = 0R m. Dengan menggunakan sifat elemen nol pada
ring R, diperoleh 0R m = (0R + 0R )m = 0R m + 0R m. Diperoleh,
0M = 0R m − 0R m
= (0R m + 0R m) − 0R m
= 0R m.
2.2.
Pengertian Submodul
Pada subbab ini akan diberikan definisi suatu struktur dari modul yang dise-
but submodul.
Definisi 2.2.1. Diberikan ring R dengan elemen satuan dan modul M atas R. Suatu himpunan tak kosong S ⊆ M disebut submodul pada M jika S merupakan
subgrup pada M terhadap operasi penjumlahan serta S juga merupakan modul
atas R terhadap operasi pergandaan skalar yang sama dengan yang berlaku pada
M . Dengan kata lain S merupakan submodul pada M jika:
i. (S, +) merupakan grup Abel terhadap operasi +, yaitu S merupakan subgrup
pada (M, +),
ii. (∀r ∈ R)(∀s ∈ S) rs ∈ S.
10
Selanjutnya diberikan suatu sifat yang menyatakan syarat cukup dan perlu
suatu modul menjadi submodul. Sifat ini merupakan akibat dari Definisi 2.2.1.
Teorema 2.2.2. Diberikan Modul M atas R dan N ⊆ M dengan N 6= ∅. Himpunan N disebut submodul pada M jika dan hanya jika
i. n1 − n2 ∈ N , ∀n1 , n2 ∈ N ,
ii. rn1 ∈ N , ∀n1 ∈ N , r ∈ R.
Bukti.
(=⇒). Diketahui N merupakan submodul pada M , sehingga N merupakan subgrup Abel pada M . Untuk setiap n1 , n2 ∈ N berlaku n1 − n2 ∈ N .
Operasi pergandaan skalar yang berlaku pada M juga berlaku pada N , sehingga untuk setiap n1 ∈ N dan r ∈ R berlaku rn1 ∈ N .
(⇐=). Diketahui n1 − n2 ∈ N , untuk setiap n1 , n2 ∈ N , N merupakan subgrup
Abel pada M . Karena rn1 ∈ N untuk setiap n1 ∈ N dan r ∈ R, maka
operasi pergandaan skalar di M juga berlaku di N . Karena N merupakan
himpunan bagian dari M dan operasi pergandaan skalar di M juga berlaku
di N , maka aksioma-aksioma modul di M juga berlaku di N .
Jadi, N merupakan submodul pada M .
Berikut ini diberikan contoh yang terkait dengan submodul.
Contoh 2.2.3. Diketahui R3 merupakan modul atas R dan S ⊂ R3 dengan
 
x
 
 
S = {y  | x, y, z ∈ R}.
 
0
Akan dibuktikan S merupakan submodul pada R3 .
 
 
x
x
 1
 2
 
 
i. Ambil sebarang s1 , s2 ∈ S dengan s1 =  y1  , s2 =  y2 
 
 
0
0
11
    

x
x
x − x2
 1  2  1

    

maka s1 − s2 =  y1  −  y2  =  y1 − y2  ∈ S.
    

0
0
0
 
x
 1
 
ii. Ambil sebarang r ∈ R, s1 ∈ S dengan s1 =  y1  ,
 
0
     
x
rx
rx
 1  1  1
     
maka rs1 = r  y1  =  ry1  =  ry1  ∈ S.
     
0
r.0
0
Jadi, S merupakan submodul pada R3 .
Contoh 2.2.4. Diberikan modul Z atas Z. Akan ditunjukkan bahwa setiap submodul pada Z berbentuk
A = nZ = {nz|z ∈ Z}, dengan n ∈ Z.
i. Jika A = {0} maka A = 0Z.
ii. Jika A 6= {0}, maka terdapat −a ∈ A. Akibatnya A memuat bilangan bulat
positif terkecil yaitu n. Karena n ∈ A dan A submodul pada Z, maka nZ ⊆ A.
Selanjutnya ambil sebarang m ∈ A. Karena m, n ∈ Z dan n 6= 0, maka
terdapat dengan tunggal q, r ∈ Z sehingga m = nq + r, dengan 0 ≤ r < n.
Karena n ∈ A dan A submodul pada Z, maka diperoleh nq ∈ A, sehingga
r = m − nq ∈ A. Karena n bilangan bulat positif terkecil di A dan 0 ≤ r < n,
maka diperoleh r = 0. Akibatnya, m − nq = 0 atau m = nq ∈ nZ. Oleh
karena itu A ⊆ nZ, sehingga diperoleh A = nZ. Dengan demikian, modul Z
atas Z, setiap submodulnya berbentuk A = nZ = {nz|z ∈ Z}, dengan n ∈ Z.
Selanjutnya diberikan suatu sifat yang berkaitan dengan jumlahan dan irisan
dari dua submodul.
Lemma 2.2.5. Diberikan modul M atas R. Jika S1 dan S2 merupakan submodul
pada M , maka
12
i. S1 ∩ S2 merupakan submodul pada M .
ii. S1 + S2 merupakan submodul pada M .
Bukti.
i. Diketahui S1 dan S2 merupakan submodul pada M . Akan ditunjukkan bahwa
S1 ∩ S2 merupakan submodul pada M . Jelas bahwa S1 ∩ S2 bukan merupakan
himpunan kosong. Ambil sebarang x1 , x2 ∈ S1 ∩ S2 , maka x1 , x2 ∈ S1 dan
x1 , x2 ∈ S2 . Karena S1 dan S2 merupakan submodul pada M , maka x1 − x2 ∈
S1 dan x1 −x2 ∈ S2 . Diperoleh x1 −x2 ∈ S1 ∩S2 . Selanjutnya, ambil sebarang
r ∈ R. Karena S1 dan S2 merupakan submodul pada M , maka rx1 ∈ S1 dan
rx1 ∈ S2 . Akibatnya, rx1 ∈ S1 ∩ S2 . Jadi, S1 ∩ S2 merupakan submodul pada
M.
ii. Diketahui S1 dan S2 merupakan submodul pada M . Akan ditunjukkan bahwa
S1 + S2 merupakan submodul pada M , dengan
S1 + S2 = {x + y|x ∈ S1 dan y ∈ S2 }.
Jelas bahwa S1 + S2 bukan merupakan himpunan kosong. Ambil sebarang
a, b ∈ S1 + S2 , maka a = x + y dan b = m + n, untuk suatu x, m ∈ S1 dan
y, n ∈ S2 . Karena S1 dan S2 merupakan submodul pada M , maka x − m ∈ S1
dan y − n ∈ S2 . Diperoleh
a − b = (x + y) − (m + n) = (x − m) + (y − n) ∈ S1 + S2 .
Selanjutnya, ambil sebarang r ∈ R. karena S1 dan S2 merupakan submodul
pada M , maka rx ∈ S1 dan ry ∈ S2 . Akibatnya,
ra = r(x + y) = rx + ry ∈ S1 + S2 .
Jadi, S1 + S2 merupakan submodul pada M .
13
Selanjutnya diberikan suatu definisi mengenai jumlahan submodul.
Definisi 2.2.6. Diberikan modul M atas R dan diberikan N = {Ni |i ∈ I} meruS
pakan keluarga submodul pada M . Submodul pada M yang dibangun oleh i∈I Ni
P
disebut jumlahan submodul Ni , i ∈ I dan dinotasikan dengan i∈I Ni .
Berikut ini diberikan suatu sifat yang merupakan akibat dari Definisi 2.2.6.
Teorema 2.2.7. Diberikan modul M atas R dan diberikan N = {Ni |i ∈ I} merupakan keluarga submodul pada M , berlaku
X
Ni = {
i∈I
X
xi |xi ∈ Ni }.
berhingga
Bukti. Diberikan modul M atas R dan diberikan N = {Ni |i ∈ I} merupakan
keluarga submodul pada M . Akan ditunjukkan bahwa
X
N ={
xi |xi ∈ Ni }
berhingga
merupakan submodul pada M .
Pn
i. Ambil sebarang x, y ∈ N dengan x =
xi dan y =
i=1
Pn
i=1
yi , n ≤ m.
Diperoleh
x−y =
n
X
xi −
m
X
i=1
=
n
X
yi
i=1
m
X
(xi − yi ) +
i=1
(−yi ) ∈ N.
i=n+1
ii. Ambil sebarang r ∈ R dan x ∈ N dengan x =
rx = r
n
X
Pn
xi
i=1
=
n
X
i=1
rxi ∈ N.
i=1
xi . Diperoleh
14
Jadi, N merupakan submodul pada M . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
N=
X
Ni .
i∈I
S
Ni ⊆ N . Jelas bahwa Ni ⊆ N , sehingga i∈I Ni ⊆
P
S
N . Karena jumlahan submodul Ni , i ∈ I yaitu i∈I Ni dibangun oleh i∈I Ni ,
P
maka i∈I Ni ⊆ N .
i. Akan dibutikan bahwa
P
i∈I
P
ii. Akan dibutikan bahwa N ⊆ i∈I Ni . Ambil sebarang x ∈ N dengan x =
Pn
Pn
x
.
Karena
x
∈
N
,
maka
i
i
i
i=1
i=1 xi ∈ Ni . Telah diketahui bahwa Ni ⊆
P
Pn
P
P
i∈I Ni , sehingga x =
i=1 xi ∈ Ni ⊆
i∈I Ni . Akibatnya, N ⊆
i∈I Ni .
P
S
Karena i∈I Ni merupakan submodul terkecil yang memuat i∈I Ni , diperoP
leh N = i∈I Ni .
2.3.
Annihilator Submodul pada Suatu Modul
Pada subbab ini akan dibahas mengenai definisi annihilator submodul pada
suatu modul beserta contohnya. Diberikan modul M atas R, untuk setiap L dan K
submodul pada M didefinisikan himpunan
(L :R K) = {r ∈ R|rK ⊆ L}
= {r ∈ R|rk ∈ L, untuk setiap k ∈ K}.
Jika L = {0} maka
(0 :R K) = {r ∈ R|rK ⊆ {0}}
= {r ∈ R|rk = 0, untuk setiap k ∈ K}.
Definisi 2.3.1. Diberikan modul M atas R dan diberikan N submodul pada M .
Himpunan (0 :R N ) disebut annihilator submodul N yang didefinisikan sebagai
(0 :R N ) = {r ∈ R|rn = 0, ∀n ∈ N }.
Sering juga dinotasikan sebagai AnnR (N ).
15
Dari Definisi 2.3.1, diperoleh sifat berikut.
Lemma 2.3.2. Jika M merupakan modul atas R dan N, K submodul pada M sedemikian hingga K ⊆ N maka AnnR (N ) ⊆ AnnR (K).
Bukti. Diketahui M merupakan modul atas R dan N, K submodul pada M sedemikian hingga K ⊆ N . Akan ditunjukkan AnnR (N ) ⊆ AnnR (K). Ambil sebarang
r ∈ AnnR (N ), artinya rn = 0. Karena K ⊆ N , maka untuk setiap k ∈ K, rk = 0.
Akibatnya r ∈ AnnR (K). Sehingga AnnR (N ) ⊆ AnnR (K).
Berikut ini merupakan contoh annihilator pada suatu modul.
Contoh 2.3.3. Diberikan modul Z atas Z. Akibatnya annihilator submodul N pada
Z yaitu
AnnZ (N ) = {z ∈ Z|zn = 0, ∀n ∈ N }
= {0}.
Contoh 2.3.4. Diberikan modul Z6 atas Z. Akibatnya annihilator Z6 yaitu
AnnZ (Z6 ) = {z ∈ Z|zn = 0, ∀n ∈ Z6 }
= 6Z.
2.4.
Pengertian Ideal
Pada subbab ini akan dibahas mengenai definisi ideal kiri dan kanan pada
ring beserta contohnya.
Definisi 2.4.1. Diberikan ring R dan I ⊆ R dengan I 6= ∅ disebut ideal kiri jika
untuk setiap a, b ∈ I dan untuk setiap r ∈ R maka
i. a − b ∈ I,
ii. ra ∈ I.
Definisi 2.4.2. Diberikan ring R dan I ⊆ R dengan I 6= ∅ disebut ideal kanan jika
untuk setiap a, b ∈ I dan untuk setiap r ∈ R maka
16
i. a − b ∈ I,
ii. ar ∈ I.
Selanjutnya I cukup disebut ideal di R apabila I merupakan ideal kiri dan
kanan di R.
Contoh 2.4.3. Diberikan ring Z. Akan ditunjukkan
I = {nk|k ∈ Z}, dengan n ∈ Z.
merupakan ideal di Z.
i. Jelas bahwa I 6= ∅.
ii. Diambil sebarang a, b ∈ I, dengan a = nk1 dan b = nk2 , untuk suatu k1 , k2 ∈
Z. Diperoleh a − b = nk1 − nk2 = n(k1 − k2 ) ∈ I.
iii. Diambil sebarang a ∈ I dan z ∈ Z. Diperoleh za = z(nk1 ) = (zn)k1 ∈ I.
iv. Diambil sebarang a ∈ I dan z ∈ Z. Diperoleh az = (nk1 )z = n(k1 z) ∈ I.
Jadi, I merupakan ideal di Z.
2.5.
Annihilator Ideal pada Suatu Ring
Pada subbab ini akan dibahas mengenai definisi annihilator ideal pada suatu
ring beserta contohnya. Diberikan modul M atas R, untuk setiap I ideal di R dan
L submodul pada M didefinisikan himpunan
(L :M I) = {m ∈ M |Im ⊆ L}
= {m ∈ M |xm ∈ L, untuk setiap x ∈ I}.
Jika L = {0} maka
(0 :M I) = {m ∈ M |Im ⊆ {0}}
= {m ∈ M |xm = 0, untuk setiap x ∈ I}.
17
Definisi 2.5.1. Diberikan modul M atas R dan diberikan I ideal di R. Himpunan
(0 :M I) disebut annihilator ideal I dan didefinisikan sebagai
(0 :M I) = {m ∈ M |xm = 0, ∀x ∈ I}.
Sering juga dinotasikan sebagai AnnM (I).
Dari Definisi 2.5.1, diperoleh sifat berikut.
Lemma 2.5.2. Jika M merupakan modul atas R dan I, J ideal di R sedemikan
hingga I ⊆ J maka AnnM (J) ⊆ AnnM (I).
Bukti. Diketahui modul M atas R dan I, J ideal di R sedemikan hingga I ⊆ J.
Akan ditunjukkan AnnM (J) ⊆ AnnM (I). Ambil sebarang m ∈ AnnM (J), artinya ym = 0. Karena I ⊆ J, maka untuk setiap x ∈ I, xm = 0. Akibatnya
m ∈ AnnM (I). Sehingga AnnM (J) ⊆ AnnM (I).
Berikut ini merupakan contoh annihilator pada suatu ideal.
Contoh 2.5.3. Diberikan modul Z4 atas Z dan diberikan pula 2Z ideal di Z. Akibatnya annihilator ideal 2Z yaitu
AnnZ4 (2Z) = {n̄ ∈ Z4 |(2z)n = 0, ∀2z ∈ 2Z}
= {0̄, 2̄}.
Definisi annihilator yang diberikan pada Definisi 2.3.1 memiliki perbedaan
pengertian jika dibandingkan dengan Definisi 2.5.1. Jika pada Definisi 2.3.1 menjelaskan elemen-elemen R yang mengenolkan elemen pada submodul N , maka pada
Definisi 2.5.1 menjelaskan elemen-elemen M yang mengenolkan setiap elemen I.
Selanjutnya diberikan definisi dari modul setia.
Definisi 2.5.4. Suatu modul M atas R disebut modul setia jika AnnR (M ) = {0}.
18
Berikut ini merupakan contoh modul setia.
Contoh 2.5.5. Diberikan modul Z6 atas Z, sehingga annihilator modul Z6 adalah
AnnZ (Z6 ) = {z ∈ Z|zn = 0, ∀n̄ ∈ Z6 }
= {0}.
Jadi, modul Z6 atas Z merupakan modul setia.
Berikut ini bukan merupakan modul setia.
Contoh 2.5.6. Dari Contoh 2.3.4 diperoleh AnnZ (Z6 ) = 6Z. Jadi, modul Z6 atas
Z bukan merupakan modul setia.
2.6.
Modul Faktor
Jika M merupakan modul atas R, maka (M, +) merupakan grup Abel dan
setiap subgrupnya merupakan grup Abel. Jika N subgrup pada M maka N merupakan subgrup normal pada M , sehingga dapat dibentuk grup faktor
M/N = {m = m + N |m ∈ M }.
Untuk setiap m1 , m2 ∈ M/N berlaku m1 + m2 = m1 + m2 . Akibatnya
m1 + m2 = m1 + m2
= m2 + m1
= m2 + m1 .
Akibatnya, (M/N, +) merupakan grup Abel.
Teorema 2.6.1. Jika M merupakan modul atas R dan N merupakan submodul
pada M , maka M/N merupakan modul atas R terhadap operasi pergandaan koset
sebagai berikut:
Untuk setiap r ∈ R dan untuk setiap m + N ∈ M/N didefinisikan
rm = rm ⇐⇒ r(m + N ) = rm + N.
Lebih lanjut M/N disebut sebagai modul faktor atas R.
19
Bukti. Diberikan modul M atas R dan diberikan N submodul pada M . Jelas bahwa
(M/N, +) merupakan grup Abel. Akan ditunjukkan bahwa operasi pergandaan
koset terdefinisi dengan baik serta M/N merupakan modul atas R.
i. Akan ditunjukkan operasi pergandaan koset terdefinisi dengan baik.
Ambil sebarang r1 , r2 ∈ R dan m1 , m2 ∈ M/N dengan r1 = r2 dan m1 = m2 .
Akan ditunjukkan r1 m1 = r2 m2 . Karena
m1 = m2
maka
m1 + N = m2 + N.
Menggunakan sifat kesamaan dua buah koset, diperoleh
m1 − m2 ∈ N.
Karena N merupakan submodul, maka
r1 (m1 − m2 ) = r1 m1 − r1 m2 ∈ N.
Karena r1 = r2 , maka
r1 m1 + N = r2 m2 + N ⇐⇒ r1 m1 = r2 m2 .
Jadi, operasi pergandaan koset terdefinisi dengan baik.
ii. Akan ditunjukkan M/N merupakan modul atas R.
a. Ambil sebarang r1 ∈ R dan ambil sebarang m1 , m2 ∈ M/N . Diperoleh
r1 (m1 + m2 ) = r1 (m1 + m2 )
= r1 m1 + r1 m2
= r1 m1 + r1 m2
= r1 m1 + r1 m2 .
20
b. Ambil sebarang r1 , r2 ∈ R dan ambil sebarang m1 ∈ M/N . Diperoleh
(r1 + r2 )m1 = (r1 + r2 )m1
= r1 m1 + r2 m1
= r1 m1 + r2 m1
= r1 m1 + r2 m1 .
c. Ambil sebarang r1 , r2 ∈ R dan ambil sebarang m1 ∈ M/N . Diperoleh
(r1 r2 )m1 = (r1 r2 )m1
= r1 (r2 m1 )
= r1 (r2 m1 )
= r1 (r2 m1 ).
d. Ambil sebarang 1R ∈ R dan ambil sebarang m1 ∈ M/N . Diperoleh
1R m1 = 1R .m1
= m1 .
Jadi, M/N merupakan modul atas R.
2.7.
Homomorfisma Modul
Pada subbab ini akan diberikan definisi tentang homomorfisma modul dan
contohnya.
Definisi 2.7.1. Diberikan M dan M 0 masing-masing merupakan modul atas R. Pemetaan
f : M −→ M 0
disebut homomorfisma modul jika dan hanya jika memenuhi:
i. f (m1 + m2 ) = f (m1 ) + f (m2 ), untuk setiap m1 , m2 ∈ M ,
21
ii. f (rm) = rf (m), untuk setiap m ∈ M dan r ∈ R.
Berikut ini diberikan contoh yang berkaitan dengan homomorfisma modul.
Contoh 2.7.2. Diberikan modul Z atas Z. Diberikan pemetaan
f : Z −→ Z
x −→ f (x) = 2x.
Akan ditunjukkan f merupakan homomorfisma modul.
i. Ambil sebarang x1 , x2 ∈ Z. Diperoleh
f (x1 + x2 ) = 2(x1 + x2 )
= 2x1 + 2x2
= f (x1 ) + f (x2 ).
ii. Ambil sebarang z, x1 ∈ Z. Diperoleh
f (zx1 ) = 2(zx1 )
= z(2x1 )
= zf (x1 ).
Jadi, f merupakan homomorfisma modul.
Selanjutnya diberikan definisi yang berkaitan dengan homomorfisma modul.
Definisi 2.7.3. Diberikan modul M dan M 0 atas R dan
f : M −→ M 0
merupakan homomorfisma modul.
a. Jika f merupakan homomorfisma yang injektif, maka f disebut monomorfisma.
b. Jika f merupakan homomorfisma yang surjektif, maka f disebut epimorfisma.
22
c. Jika f merupakan homomorfisma yang bijektif, yaitu f merupakan homomorfisma yang injektif dan surjektif maka disebut isomorfisma. Lebih lanjut, M dan
M 0 dikatakan isomorfis jika terdapat isomorfisma dari M ke M 0 , yang dinotasikan dengan M ∼
= M 0.
d. Jika f : M −→ M merupakan homomorfisma modul, maka f disebut endomorfisma.
Berikut ini diberikan penjelasan mengenai kernel dan image dari suatu homomorfisma modul.
Definisi 2.7.4. Diberikan M dan M 0 merupakan modul atas R dan pemetaan
f : M −→ M 0
merupakan homomorfisma modul. Kernelf dan Imagef masing-masing didefinisikan sebagai
Ker(f ) = {m ∈ M |f (m) = 0M 0 }
dan
Im(f ) = {m0 ∈ M 0 |f (m) = m0 , untuk suatu m ∈ M }.
Berikut ini merupakan contoh untuk Ker(f ) dan Im(f ).
Contoh 2.7.5. Diberikan pemetaan
f : Z −→ Z
x −→ f (x) = 2x.
i. Akan ditentukan Ker(f ).
Ker(f ) = {x ∈ Z|f (x) = 0}
= {x ∈ Z|2x = 0}
= {x ∈ Z|x = 0}
= {0}.
23
ii. Akan ditentukan Im(f ).
Im(f ) = {y ∈ Z|f (x) = y, untuk suatu x ∈ Z}
= {y ∈ Z|2x = y, untuk suatu x ∈ Z}
= {2x ∈ Z|x ∈ Z}
= 2Z.
Selanjutnya diberikan sebuah lemma yang menyatakan bahwa Ker(f ) dan
Im(f ) merupakan submodul M .
Lemma 2.7.6. Jika M dan M 0 merupakan modul atas R dan f homomorfisma modul
f : M −→ M 0
maka,
a. Ker(f ) merupakan submodul pada M ,
b. Im(f ) merupakan submodul pada M 0 .
Bukti.
a.
i. Akan ditunjukkan Ker(f ) 6= ∅.
Diberikan pemetaan f homomorfisma modul
f : M −→ M 0
0M −→ f (0M ) = 0M 0 .
Sehingga 0M 0 ∈ Ker(f ). Jadi, Ker(f ) 6= ∅.
ii. Akan ditunjukkan k1 − k2 ∈ Ker(f ).
Ambil sebarang k1 , k2 ∈ Ker(f ) dengan f (k1 ) = 0M 0 dan f (k2 ) = 0M 0 .
Karena f homomorfisma modul, akibatnya
f (k1 − k2 ) = f (k1 ) − f (k2 )
= 0M 0 − 0M 0
= 0M 0 .
Jadi, k1 − k2 ∈ Ker(f ).
24
iii. Akan ditunjukkan rk1 ∈ Ker(f ).
Ambil sebarang k1 ∈ Ker(f ) dengan f (k1 ) = 0M 0 . Diambil pula sebarang
r ∈ R. Karena f homomorfisma modul, akibatnya
f (rk1 ) = rf (k1 )
= r.0M 0
= 0M 0 .
Jadi, rk1 ∈ Ker(f ).
Jadi, Ker(f ) merupakan submodul pada M .
b.
i. Akan ditunjukkan Im(f ) 6= ∅.
Diberikan pemetaan f homomorfisma modul
f : M −→ M 0
0M −→ f (0M ) = 0M 0 .
Sehingga 0M 0 ∈ Im(f ). Jadi, Im(f ) 6= ∅.
ii. Akan ditunjukkan y1 − y2 ∈ Im(f ).
Ambil sebarang y1 , y2 ∈ Im(f ) dengan y1 = f (x1 ) dan y2 = f (x2 ), untuk
suatu x1 , x2 ∈ M . Karena f homomorfisma modul, akibatnya
y1 − y2 = f (x1 ) − f (x2 )
= f (x1 − x2 ).
Jadi, y1 − y2 ∈ Im(f ).
iii. Akan ditunjukkan ry1 ∈ Ker(f ).
Ambil sebarang y1 ∈ Im(f ) dengan y1 = f (x1 ), untuk suatu x1 ∈ M .
Diambil pula sebarang r ∈ R. Karena f homomorfisma modul, akibatnya
ry1 = rf (x1 )
= f (rx1 ).
Jadi, ry1 ∈ Im(f ).
Jadi, Im(f ) merupakan submodul pada M .
25
Selanjutnya diberikan suatu sifat monomorfisma modul.
Lemma 2.7.7. Diberikan M dan M 0 masing-masing merupakan modul atas R.
Diberikan pula pemetaan f homomorfisma modul
f : M −→ M 0 .
Homomorfisma f merupakan monomorfisma jika dan hanya jika Ker(f ) = {0M }.
Bukti.
(=⇒). Diketahui f merupakan monomorfisma. Akan dibuktikan bahwa Ker(f ) =
{0M }. Ambil sebarang m ∈ Kerf , sehingga f (m) = 0M 0 . Karena f merupakan homomorfisma modul, akibatnya f (0M ) = 0M 0 . Sehingga f (m) =
f (0M ). Karena f merupakan monomorfisma yaitu homomorfisma yang injektif, akibatnya m = 0M . Diperoleh Ker(f ) = {0M }. Jadi, jika f merupakan monomorfisma maka Ker(f ) = {0M }.
(⇐=). Diketahui Ker(f ) = {0M }. Akan dibuktikan bahwa f merupakan monomorfisma. Ambil sebarang m1 , m2 ∈ M dengan f (m1 ) = f (m2 ). Diperoleh f (m1 ) − f (m2 ) = 0M 0 . Karena f homomorfisma modul, akibatnya
f (m1 ) − f (m2 ) = f (m1 − m2 )
= 0M 0 .
Sehingga, m1 − m2 ∈ Kerf . Karena Ker(f ) = {0M }, m1 − m2 = 0M ,
dengan m1 = m2 . Sehingga, f merupakan monomorfisma. Jadi, jika
Ker(f ) = {0M } maka f merupakan monomorfisma.
Selanjutnya diberikan M dan M 0 masing-masing merupakan modul atas
R. Himpunan semua homomorfisma modul dari M ke M 0 dinotasikan dengan
HomR (M, M 0 ) yaitu
HomR (M, M 0 ) = {f : M −→ M 0 | f homomorfisma modul}.
26
HomR (M, M 0 ) 6= ∅, karena selalu dapat dibentuk pemetaan
f : M −→ M 0
m −→ f (m) = 0M 0 , untuk setiap m ∈ M.
Selanjutnya akan didefinisikan operasi 0 +0 pada HomR (M, M 0 ). Diberikan
pemetaan
+ : HomR (M, M 0 ) × HomR (M, M 0 ) −→ HomR (M, M 0 )
−→ +(f, g) = f + g,
(f, g)
dengan definisi
f + g : M −→ M 0
m −→ (f + g)(m) = f (m) + g(m), ∀m ∈ M.
Ambil sebarang f, g ∈ HomR (M, M 0 ). Akan ditunjukkan f +g ∈ HomR (M, M 0 ).
i. Ambil sebarang m1 , m2 ∈ M . Diperoleh
(f + g)(m1 + m2 ) = f (m1 + m2 ) + g(m1 + m2 )
= f (m1 ) + f (m2 ) + g(m1 ) + g(m2 )
= f (m1 ) + g(m1 ) + f (m2 ) + g(m2 )
= (f + g)(m1 ) + (f + g)(m2 ).
ii. Ambil sebarang r1 , m2 ∈ M . Diperoleh
(f + g)(rm1 ) = f (rm1 ) + g(rm1 )
= rf (m1 ) + rg(m1 )
= r(f (m1 ) + g(m1 ))
= r((f + g)(m1 )).
27
Selanjutnya akan ditunjukkan (HomR (M, M 0 ), +) merupakan grup Abel.
Ambil sebarang f, g, h ∈ (HomR (M, M 0 )) dan m1 ∈ M . Diperoleh
((f + g) + h)(m1 ) = (f + g)(m1 ) + h(m)
= (f (m1 ) + g(m1 )) + h(m1 )
= f (m1 ) + (g(m1 ) + h(m1 ))
= f (m1 ) + ((g + h)(m1 ))
= (f + (g + h))(m).
Diberikan pemetaan θ dengan
θ : M −→ M 0 .
m −→ θ(m) = 0M 0 , ∀m ∈ M.
Ambil sebarang f ∈ HomR (M, M 0 ) dan diambil sebarang m1 ∈ M . Diperoleh
a.
(θ + f )(m1 ) = (θ + f )(m1 )
= θ(m1 ) + f (m1 )
= 0M 0 + f (m1 )
= f (m1 ),
b.
(f + θ)(m1 ) = (f + θ)(m1 )
= f (m1 ) + θ(m1 )
= f (m1 ) + 0M 0
= f (m1 ).
Diberikan pemetaan −f dengan
−f : M −→ M 0
m −→ −f (m) = f (−m), ∀m ∈ M.
Ambil sebarang f ∈ HomR (M, M 0 ) dan diambil sebarang m1 ∈ M . Diperoleh
28
a.
(f + (−f ))(m1 ) = f (m1 ) + (−f )(m1 )
= f (m1 ) + f (−m1 )
= f (m1 − m1 )
= f (0)
= 0M 0 ,
b.
((−f ) + f )(m1 ) = (−f )(m1 ) + f (m1 )
= f (−m1 ) + f (m1 )
= f (−m1 + m1 )
= f (0)
= 0M 0 .
Ambil sebarang f, g ∈ HomR (M, M 0 ) dan diambil sebarang m1 ∈ M .
Diperoleh
(f + g)(m1 ) = f (m1 ) + g(m1 )
= g(m1 ) + f (m1 )
= (g + f )(m1 ).
Jadi, (HomR (M, M 0 ), +) merupakan grup Abel.
Himpunan semua homomorfisma modul yang memetakan suatu modul ke
dirinya sendiri disebut endomorfisma modul, dinotasikan dengan HomR (M, M ) =
EndR (M ) atau dapat dituliskan sebagai
EndR (M ) = {f : M −→ M |f homomorfisma modul}.
Jelas bahwa (EndR (M ), +) merupakan grup Abel. Selanjutnya dapat didefinisikan operasi komposisi ◦ pada EndR (M ). Diberikan pemetaan
◦ : EndR (M ) × EndR (M ) −→ EndR (M )
(f, g)
−→ ◦(f, g) = f ◦ g,
29
dengan definisi
f ◦ g : M −→ M
m −→ (f ◦ g)(m) = f (g(m)), ∀m ∈ M.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa (EndR (M ), +, ◦) merupakan ring. Ambil sebarang f, g, h ∈ EndR (M ) dan diambil sebarang m ∈ M . Diperoleh
((f ◦ g) ◦ h)(m) = (f ◦ g)(h(m))
= f (g(h(m)))
= f ((g ◦ h)(m))
= (f ◦ (g ◦ h))(m).
Ambil sebarang f, g, h ∈ EndR (M ) dan ambil sebarang m ∈ M . Diperoleh
i.
((f + g) ◦ h)(m) = (f + g)(h(m))
= f (h(m)) + g(h(m))
= (f ◦ h)(m) + (g ◦ h)(m)
= (f ◦ h + g ◦ h)(m),
ii.
(f ◦ (g + h))(m) = (f (g + h))(m)
= ((f ◦ g) + (f ◦ h))(m)
= (f ◦ g)(m) + (f ◦ h)(m))
= (f ◦ g + f ◦ h)(m).
Jadi, (EndR (M ), +, ◦) merupakan ring.
Selanjutnya didefinisikan pemetaan identitas
i : M −→ M
m −→ (i)(m) = m, ∀m ∈ M.
30
Akan ditunjukkan bahwa i merupakan homomorfisma modul. Ambil sebarang
m1 , m2 ∈ M dan r ∈ R. Akibatnya,
i.
i(m1 + m2 ) = m1 + m2
= i(m1 ) + i(m2 ),
ii.
i(rm1 ) = rm1
= ri(m1 ).
Jadi, i merupakan homomorfisma modul. Akibatnya, i ∈ EndR (M ). Selanjutnya
akan ditunjukkan bahwa i merupakan elemen satuan EndR (M ). Ambil sebarang
i, f ∈ EndR (M ) dan m ∈ M . Diperoleh,
i.
(i ◦ f )(m) = i(f (m))
= f (m),
ii.
(f ◦ i)(m) = f (i(m))
= f (m).
Jadi, i merupakan elemen satuan EndR (M ).
Jika M merupakan modul kiri atas R dan S := EndR (M ) maka M dapat
dipandang sebagai modul kiri atas S dengan
· : S × M −→ M.
(f, m) −→ f · m = f (m),
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi · terdefinisi dengan baik. Diambil sebarang f, g ∈ S dan m1 , m2 ∈ M dengan f = g dan m1 = m2 . Akibatnya,
f · m1 = f (m1 ) = g(m1 ) = g(m2 ) = g · m2 .
31
Selanjutnya diambil sebarang f, g ∈ S dan m1 , m2 ∈ M , sehingga
1. f · (m1 + m2 ) = f (m1 + m2 ) = f (m1 ) + f (m2 ) = f · m1 + f · m2 .
2. (f + g) · m1 = (f + g)(m1 ) = f (m1 ) + g(m1 ) = f · m1 + g · m1 .
3. (f ◦ g) · m1 = (f ◦ g)(m1 ) = f · (g(m1 )) = f · (g · m1 ).
4. i ◦ m1 = i(m1 ) = m.
Jadi, M merupakan modul kiri atas S. Dengan demikian setiap M modul kiri atas
R dapat dipandang sebagai modul kiri atas S.
Jika M merupakan modul kiri atas R dan S := EndR (M ) maka operasi
pergandaan skalar · didefinisikan sebagai
· : M × S −→ M.
(m, f ) −→ m · f = (m)f,
dengan (m)f menyatakan peta dari m oleh fungsi f , serta berlaku (m)(f ◦ g) =
((m)f )g, maka dapat dibuktikan dengan mudah bahwa M juga dapat dipandang
sebagai modul kanan atas S.