Partikel Dalam Kisi Satu Dimensi

Partikel Dalam Kisi Satu Dimensi
Imam N Albania
21 Januari 2011
Definisi Permasalahan
Pada mekanika kuantum, partikel dalam kisi satu dimensi adalah masalah kuantum yang terjadi dalam model kisi periodis. Energi potensial yang
muncul diakibatkan oleh partikel-partikel dalam struktur periodis yang akan
membangun suatu lapang elektromagnetis. Oleh karena itu, elektron adalah
subjek partikel dalam masalah kuantum ini.
Dalam artikel ini akan dibahas kisi satu dimensi dari ion positif. Energi
potensial dalam kisi disajikan seperti pada gambar di bawah ini.
Misalkan masing-masing ion terpisah dalam kisi sejauh a. Representasi
matematika dari energi potensial adalah fungsi periodis dengan perida a.
Berdasarkan teorema Bloch, penyelesaian fungsi gelombang dari persamaan
Schrödinger pada saat memiliki energi potensial yang periodis dapat ditulis
sebagai
ψ = eikx u(x)
dengan u(x) adalah fungsi periodis yang memenuhi
u(x + a) = u(x).
Terdapat masalah syarat batas ketika menganalisa energi potensial pada
ujung kisi. Oleh karenanya, kisi-kisi yang memuat partikel tadi disajikan ke
dalam bentuk cincin. Jika L adalah panjang kisi sedemikian sehingga nilai
L jauh lebih besar dibandingkan dengan nilai a, maka ion yang terdapat
pada kisi-kisi tadi juga akan banyak. Di lain pihak, pada saat menganalisa
sebuah ion, fungsi gelombang dari elektron tidak berubah (Albania, 2007).
Berdasarkan kondisi ini maka diperoleh
ψ(0) = ψ(L).
Jika N adalah banyaknya ion di dalam kisi, maka diperoleh hubungan
aN = L,
1
Gambar 1: Grafik Potensial
dengan mensubstitusi syarat batas dan mengaplikasikan teorema Bloch, maka diperoleh suatu kuantisasi untuk k sebagai berikut.
ψ(0) = eik0 u(0) = eikL u(L) = ψ(L)
u(0) = eikL u(N a) → eikL = 1
2π
n
L
N
(n = 0, ±1, ±2, ..., ± ).
2
Model Kronig-Penney
Model Kronig-Penney adalah suatu metode aproksimasi untuk menyederhanakan dan mengidealisasikan sistem mekanika kuantum yang terdiri atas
barisan periodis dari energi potensial yang berbentuk segi-empat. Fungsi
energi potensial yang diaproksimasi oleh energi potensial yang berbentuk
segi empat disajikan seperti pada Gambar 2.
Berdasarkan teorema Bloch, maka cukup dicari penyelesaian dari salah
satu perioda untuk menggeneralisasi penyelesaian pada perioda yang lain.
Salah satu syarat dari penggunaan metode ini adalah bahwa fungsi gelombang tersebut kontinu dan ”mulus.” Pada suatu perioda tunggal diperoleh
dua daerah yang diselesaikan secara terpisah yaitu untuk
⇒ kL = 2πn → k =
1
1
− (a − b) < x < (a − b)
2
2
diperoleh
−~2
ψxx = Eψ
2m
2
Gambar 2: Grafik Hampiran Potensial (Model Kronig-Penney)
⇒ ψ = Aeiαx + A0 e−iαx
di mana
(α2 =
untuk
2mE
),
~2
1
1
− (a + b) < x < − (a − b)
2
2
diperoleh
−~2
ψxx = (E + V0 )ψ
2m
⇒ ψ = Beiβx + B 0 e−iβx
di mana
2m(E + V0 )
).
~2
Diperlukan suatu manipulasi dalam mencari fungsi potensial u(x) untuk
masing-masing daerah, yaitu
(β 2 =
ψ(0 < x < a − b) = Aeiαx + A0 e−iαx = eikx (Aei(α−k)x + A0 e−i(α+k)x )
⇒ u(0 < x < a − b) = Aei(α−k)x + A0 e−i(α+k)x ,
dengan cara yang serupa diperoleh
u(−b < x < 0) = Bei(β−k)x + B 0 e−i(β+k)x .
untuk melengkapkan penyelesaian maka diperlukan fungsi kepadatan peluang
yang kontinu dan ”mulus,” yaitu
ψ(0− ) = ψ(0+ )
3
ψ 0 (0− ) = ψ 0 (0+ ),
sedangkan masing-masing fungsi potensial adalah periodis sehingga diperoleh
u(−b) = u(a − b)
u0 (−b) = u0 (a − b).
Dari kondisi di atas maka diperoleh matriks sebagai berikut


1
1
1
1
A

  A0
α
−α
−β
β
 i(α−k)(a−b) −i(α+k)(a−b)

 e
e
−e−i(β−k)b −ei(β+k)b   B
B0
A
B
C
D



0
  0 
 =  ,
  0 
0
(1)
di mana
A = (α−k)ei(α−k)(a−b) , B = −(α+k)e−i(α+k)(a−b) , C = −(β −k)e−i(β−k)b , D =
(β + k)ei(β+k)b .
Penyelesaian yang terbangun tidak trivial sehingga determinan matriks
haruslah sama dengan nol. Dari matriks di atas kemudian diperoleh
cos(ka) = cos(βb)cos(α(a − b)) −
α2 + β 2
sin(βb) sin(α(a − b)).
2αβ
Untuk penyederhanaan lebih lanjut digunakan hampiran berikut ini.
b → 0; V0 → ∞; V0 b = konstanta
⇒ β 2 b = konstanta; α2 b → 0
⇒ βb → 0; sin(βb) → βb; cos(βb) → 1,
yang selanjutnya menjadi
cos(ka) = cos(αa) − P
sin(αa)
αa
dengan
P =
mV0 ba
.
~2
Referensi
Albania, I. (2007). Aljabar Operator Pada Mekanika Kuantum Dan Aplikasinya Pada Partikel Dalam Kisi Satu Dimensi. Skripsi UPI Bandung:
Tidak diterbitkan.
Wikipedia. (2011). Particle In A One-Dimensional Lattice [Online]
4