bab i pendahuluan

BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Pada tahun 1843 kuaternion ditemukan oleh Hamilton dan pada tahun 1845
muncul Cayley Numbers atau oktonion ditemukan oleh Cayley. Dalam matematika
dikenal beberapa aljabar pembagi bernorma (normed division algebras) antara lain
bilangan riil (R), bilangan kompleks (C), kuaternion (H), dan oktonion (O) (Baez,
2001)
Terapan kuaternion dalam fisika teoritik antara lain ditemukan dalam teori relativitas khusus, wakilan grup, dinamika relativistik dan tak relativistik, teori
medan, formalisme Lagrange mekanika klasik, model interaksi listrik lemah, teori
penyatuan agung, dan model preonic. Terapan oktonion dalam fisika terkait dengan
struktur interaksi, simetri warna (color) dan kuark, model standard grup tera, teori
Yang-Mills tak asosiatif, simetri ruang-waktu dalam 10 dimensi, super simetri dan
teori gravitasi super.
Contoh terapan kuaternion pada relativitas umum dapat ditemukan misalnya
dalam (Rastall, 1964) dan (Horn, 2002). Titik dalam ruang-waktu dilabeli dengan
kuaternion. Sejauh ini, para peneliti melabeli titik dalam ruang-waktu dengan empat
buah bilangan riil. Tetapi titik dalam ruang-waktu atau peristiwa bisa juga dinyatakan dengan sebuah kuaternion. Tidak hanya dalam relativitas, terapan kuaternion
juga ditemukan dalam mekanika kuantum, yaitu pada spinor. Kuaternion dapat mewakili keadaan spinor.
Mekanika kuantum yang secara luas dikenal saat ini dibangun di atas dasar ruang Hilbert sebagai ruang keadaan. Ruang Hilbert merupakan ruang vektor
kompleks karena skalar yang dipilih adalah bilangan-bilangan kompleks. Ruang
vektor merupakan objek matematika yang dibangun di atas skalar-skalar yang disebut lapangan (field). Perluasan konsep ruang vektor adalah modul, yakni dengan
mengganti lapangan dengan konsep yang lebih umum yakni gelanggang. Mekanika
kuantum juga telah dirumuskan dengan menggunakan kuaternion sebagai gelanggang bagi modul Hilbert (De Leo, 2000). Sebelumnya De Leo pada tahun 1998
juga berupaya membangun mekanika kuantum di atas oktonion. Tetapi himpunan
semua oktonion bukanlah gelanggang dikarenakan tidak dipenuhinya hukum asosiatif perkalian.
1
2
Penelitian ini berupaya memperluas gagasan De Leo dengan mengganti gelanggang kuaternion dengan gelanggang yang lebih umum yang hendak disebut
gelanggang bilangan. Gelanggang bilangan adalah gelanggang bersatuan yang involutif dan bernorma dengan nilai norma di dalam himpunan semua anggota yang
lebih besar dari nol relatif terhadap involusi.
Perumuman ini sesungguhnya ingin memperluas konsep bilangan, maksudnya jika suatu pengukuran besaran fisika hasilnya dapat juga tidak bilangan riil R.
Contohnya seseorang melakukan pengukuran posisi dipermukaan bumi. Pengukuran posisi dipermukaan bumi sesungguhnya merupakan titik dipermukaan bumi,
tetapi kanyataanya posisi tersebut dilabeli oleh bilangan riil R yang sudah ditentukan sistem koordinatnya. Dapat juga permukaan bumi dilabeli dengan bilangan
yang tidak riil. Jika dalam mekanika kuantum dipilih label kompleks maka akan
menjadi mekanika kuantum yang biasa dikenal, sebaliknya jika dipilih kuaternion
maka menjadi mekanika kuaternionik, serta konsekuensi-konsekuensinya.
1.2
Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian pada latar belakang di atas maka dapat dirumuskan suatu
permasalahan, yakni:
1. Bagaimana perumusan struktur matematik bagi mekanika kuantum dalam
modul Hilbert sebagai perumusan mekanika kuantum pada modul Hilbert kuaternion?
2. Fitur-fitur penting apa saja yang membedakan mekanika kuantum ini dari mekanika kuantum biasa?
1.3
Batasan Masalah
Penelitian ini dibatasi dalam lingkup mekanika kuantum non relativistik.
1.4
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: membangun aksioma matematik yang merupakan perluasan struktur matematik bagi mekanika kuantum kuaternionik ke mekanika kuantum dalam modul Hilbert yang lebih umum serta mempelajari fitur-fitur pentingnya.
3
1.5
Manfaat Penelitian
Manfaat dari hasil penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Landasan mekanika kuantum yang lebih umum harapannya dapat dikembangkan untuk menjawab permasalahan-permasalahan yang terdapat di dalam mekanika kuantum.
2. Melihat perluasan realitas matematik bagi struktir mekanika kuantum.
1.6
Tinjauan Pustaka
Peter Rastall tahun 1964 (Rastall, 1964) berusaha menyusun relativitas dengan kuaternion. Titik dalam ruang-waktu dinyatakan dalam kuaternion. Dalam
artikelnya kuaternion dapat digunakan untuk menjelaskan spinor.
De Leo dan Rotelli pada tahun 1994 menjelaskan cara menerjemahkan dari
mekanika kuantum kuaternion ke mekanika kuantum biasa (di atas bilangan kompleks). Terjemahan yang dimaksud di sini adalah terjemahan keadaan (state) dalam mekanika kuantum kuaternionik ke keadaan mekanika kuantum biasa (De Leo,
1994).
Hideki Sabata pada tahun 1997 menunjukkan bahwa mekanika kuantum di
atas aljabar oktonion gagal dalam konsep kelengkapannya dan hasil kali dalam (inner product). Dalam artikel tersebut disarankan agar mendefinisikan ulang hasil
kali matriksnya (Sabata, 1997).
Tahun 1998 De Leo dan Abdel-Khalek memperkenalkan bilangan yang diberi nama oktonion dan membangun mekanika kuantum di atas oktonion (Octonionic Quantum Mechanics). Oktonion ini bersifat tak asosiatif. Dalam artikel ini
diperkenalkan operator batas (barred) kiri dan kanan dan menterjemahkan ke dalam
matriks kompleks dan riil (De Leo, 1998).
Pada tahun 1998 Dray memperkenalkan oktonion dan matriks oktonionik.
Dalam artikel tersebut dibahas matriks hermitian oktonionik 2 × 2 dan 3 × 3. Permasalahan swanilai dalam artikel tersebut hanya dibahas untuk swanilai riil matriks
oktonionik 2 × 2 (Dray, 1998).
Pada tahun 2000 De Leo dan Scolarici membahas mekanika kuantum di atas
bilangan kuaternion. Dalam hal ini, ruang vektornya disebut ruang vektor kuaternionik. Operator yang ada dalam ruang vektor kuaternionik ini antara lain operator
kiri dan kanan. Dalam artikel ini terdapat relasi antara mekanika kuantum kuaternionik dengan mekanika kuantum biasa (De Leo, 2000).
4
Pada tahun 2001 Baez meneliti bahwa oktonion adalah aljabar pembagi bernorma (normed division algebra) yang paling besar. Sifat oktonion tak asosiatif.
Terapan oktonion pada logika kuantum, relativitas khusus, dan supersimetri (Baez,
2001).
Tahun 2002, Martin Erik Horn berusaha menunjukkan bahwa kuaternion
dapat digunakan untuk membangun relativitas khusus dan menjelaskan spinor.
Tahun 2011 Arbab menunjukkan bahwa fungsi gelombang kuaternionik terdiri dari fungsi skalar dan riil memenuhi persamaan swanilai (eigenvalue) momentum kuaternionik dan diterapkan dalam interaksi partikel dengan rasiasi gelombang
elekrtomagnetik (Arbab, 2011).
Mekanika kuantum yang dibangun di atas kuaternion dan oktonion tersebut melibatkan ruang Hilbert yang berbeda. Kuaternion bersifat asosiatif sehingga
kuaternion dapat dikategorikan sebagai gelanggang, sedangkan oktonion tak asosiatif sehingga bukan merupakan gelanggang. Modul Hilbert pada dasarnya adalah
perumuman ruang Hilbert (ruang vektor kompleks berproduk skalar yang lengkap)
menjadi modul yang disertai dengan produk skalar (Landsman, 1998).
Penelitian ini berusaha untuk merumuskan mekanika kuantum kuaternion
dan mekanika kuantum biasa yang dinyatakan dalam modul Hilbert M dan gelanggang bilangan R. Dengan menyusun mekanika kuantum dalam modul Hilbert ini
selanjutnya fitur-fitur penting bagi mekanika kuantum modular ini dapat digali dan
dipahami.