Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil
Pendahuluan
 Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan
riil dan sifat-sifatnya.
 Sistem bilangan riil adalah himpunan
bilangan riil yang disertai operasi
penjumlahan dan perkalian sehingga
memenuhi aksioma tertentu.
Kalkulus Dasar
2
 Komponen bilangan riil dapat digambarkan sebagai
berikut :
Bilangan Riil
Bilangan
rasional
Bilangan
pecahan
Bilangan
Irrasional
Bilangan
Bulat
Bilangan
Bulat Negatif
Bilangan Asli
Bilangan
Cacah
Bilangan nol
Kalkulus Dasar
3
Pendahuluan
Himpunan bilangan riil adalah sekumpulan bilangan
yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan
negatifnya dan nol. [ Purcell]
Himpunan bilangan rasional adalah bilangan yang
dapat dituliskan dalam bentuk
m
n
m,n bilangan bulat, dengan n ≠ 0.
Apakah bilangan-bilangan rasional berfungsi mengukur
semua panjang ? Tidak. Fakta ini ditemukan oleh orang
yunani kuno beberapa abad sebelum masehi.
Kalkulus Dasar
4
Pendahuluan
 Kita lihat sebuah segitiga siku-siku :
1
2
1
2 merupakan panjang sisi miring sebuah segitiga, tetapi
bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil
bagi 2 bilangan bulat. Jadi bilangan tersebut adalah
bialngan irrasional.
Kalkulus Dasar
5
Pendahuluan
Contoh bilangan irrasional yang lain adalah 3 , 5 , 
dan lain-lain.
Secara geometri, sistem bilangan riil digambarkan pada
suatu garis bilangan.
Dari garis bilangan tersebut, muncul suatu yang dinamakan
interval. Interval yaitu suatu himpunan bagian dari R yang
memenuhi pertidaksamaan tertentu.
Definisi interval, notasi dan gambarnya adalah sebagai
berikut :
Kalkulus Dasar
6
Pendahuluan
Definisi
{x x < a}
Notasi
(- , a )
{x x  a}
{x a < x < b}
{x a  x  b}
{x x > b}
{x x  b}
{x x  }
(- , a]
(a, b)
[a, b]
(b, )
[b, )
(, )
Kalkulus Dasar
7
Pendahuluan
• Sifat-sifat urutan :
Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku
salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz,
sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
Kalkulus Dasar
8
Pertidaksamaan
 Pertidaksamaan satu variabel adalah
suatu bentuk aljabar dengan satu variabel
yang dihubungkan dengan relasi urutan.
 Bentuk umum pertidaksamaan :
A(x ) D(x )
<
B( x ) E ( x )
 dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku
banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
Kalkulus Dasar
9
Pertidaksamaan
 Menyelesaikan suatu pertidaksamaan
adalah mencari semua himpunan
bilangan riil yang membuat
pertidaksamaan berlaku.
 Cara menyelesaikan pertidaksamaan :
1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
P( x)
<0
Q( x)
, dengan cara :
Kalkulus Dasar
10
Pertidaksamaan
 Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
 Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk
pembilangnya
2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan
penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan
menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada
garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -)
pertidaksamaan di setiap selang bagian yang
muncul
Kalkulus Dasar
11
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
1
13  2 x - 3  5
 13  3  2 x  5  3
 16  2 x  8
8 x4
4 x8
Hp = [4,8]
4
Kalkulus Dasar
8
12
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2
- 2 < 6 - 4x  8
 -8 < -4 x  2
 8 > 4x  2
 2  4x < 8
1
 x<2
2
1 
  ,2 
2 
Hp
1
Kalkulus Dasar
2
2
13
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
3 2 x - 5x - 3 < 0
2
 (2 x  1)(x - 3) < 0
1
Titik Pemecah (TP) : x  2
++
--
-
1
dan
x3
++
3
2
 1 
Hp =  - ,3 
 2 
Kalkulus Dasar
14
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
4 2 x - 4  6 - 7 x  3x  6
 2 x - 4  6 - 7 x dan 6 - 7 x  3x  6
 2 x  7 x  6  4 dan - 7 x - 3x  -6  6
 9 x  10 dan
10
x
dan
9
10
dan
x
9
- 10 x  0
10 x  0
x0
Kalkulus Dasar
15
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
10 

Hp =  - ,   [0,  )
9

0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
 10 
Hp = 0, 
 9
Kalkulus Dasar
16
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
1
2
<
5.
x  1 3x - 1
1
2

<0
x  1 3x - 1
--1
(
3x - 1) - (2 x  2)

<0
(x  1)(3x - 1)
3x - 1 - 2 x - 2

<0
(x  1)(3x - 1)
1
,3
TP : -1, 3
++
-1
--
++
3
3
 1 
Hp = (- ,-1)   - ,3 
 3 
Kalkulus Dasar
17
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
6.
x 1
x

2- x 3 x
x 1
x

0
2- x 3 x
(
x  1)(3  x ) - x(2 - x )

0
(2 - x )(3  x )
2x 2  2x  3

0
(2 - x )(x  3)
Kalkulus Dasar
18
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Untuk pembilang 2 x 2  2 x  3 mempunyai nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu
positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
--
++
-3
Hp =
--
2
(,-3)  (2, )
Kalkulus Dasar
19
Pertidaksamaan nilai mutlak
 Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai
jarak x dari titik pusat pada garis bilangan,
sehingga jarak selalu bernilai positif.
 Definisi nilai mutlak :
 x ,x  0
x 
- x , x < 0
Kalkulus Dasar
20
Pertidaksamaan nilai mutlak
 Sifat-sifat nilai mutlak:
1
x  x2
x  a, a  0  - a  x  a
3 x  a, a  0  x  a atau x  -a
4 x  y  x2  y 2
2
5
x
x

y
y
6. Ketaksamaan segitiga
x y  x  y
x- y  x - y
Kalkulus Dasar
21
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Contoh :
1. 2 x - 5 < 3
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
 -3 < 2 x - 5 < 3
 5 - 3 < 2x < 3  5
 2 < 2x < 8
1< x < 4
Hp = (1,4)
1
Kalkulus Dasar
4
22
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2.
2x - 5 < 3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
 (2 x - 5) < 9
 4 x 2 - 20 x  16 < 0
2
 4 x 2 - 20 x  25 < 9
2
 2 x - 10 x  8 < 0
 (2 x - 2)(x - 4) < 0
++
--
1
++
4
Hp = (1,4)
TP : 1, 4
Kalkulus Dasar
23
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian pake definisi
3. 2 x  3  4 x  5
Kita bisa menggunakan sifat 4
 (2 x  3)  (4 x  5)
2
2
 4 x 2  12 x  9  16 x 2  40 x  25
 -12 x 2 - 28x -16  0
2
 3x  7 x  4  0
TP :
4 , -1
3
Kalkulus Dasar
24
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jika digambar pada garis bilangan :
++
--4
3
++
-1
Hp = - 4 ,    (- ,-1]
 3 
Kalkulus Dasar
25
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
4.
x
7  2
2
x
 7  2
2
x
  -5
2
 x  -10
atau
atau
atau
x
 7  -2
2
x
 -9
2
x  -18
Hp = [- 10, )  (- ,-18]
-18
-10
Kalkulus Dasar
26
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
5. 3 x - 2 - x  1  -2
Kita definisikan dahulu :
 x  1 x  -1
x 1  
- x - 1 x < -1
x - 2 x  2
x-2  
2 - x x < 2
Jadi kita mempunyai 3 interval :
I
(- ,-1)
II
III
[- 1,2)
-1
[2, )
2
Kalkulus Dasar
27
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
I. Untuk interval x < -1
atau
(- ,-1)
3 x - 2 - x  1  -2
 3(2 - x ) - (- x - 1)  -2
 6 - 3x  x  1  -2
 7 - 2 x  -2
 -2 x  -9
 2x  9
9
x
2
atau
9

 - , 
2

Kalkulus Dasar
28
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
9
Jadi Hp1 =  - ,   (- ,-1)
2

-1
9
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (- ,-1)
sehingga Hp1 = (- ,-1)
Kalkulus Dasar
29
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
II. Untuk interval - 1  x < 2 atau
[- 1,2)
3 x - 2 - x  1  -2
 3(2 - x ) - (x  1)  -2
 6 - 3x - x - 1  -2
 5 - 4 x  -2
 -4 x  -7
 4x  7
7
 x
4
7

atau  - , 
4

Kalkulus Dasar
30
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
7
Jadi Hp2 =  - ,   [- 1,2)


-1
4
7
4
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
7
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 
- 1, 4 
 7
sehingga Hp2 = - 1, 
4

Kalkulus Dasar
31
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
III. Untuk interval
x  2 atau [2,  )
3 x - 2 - x  1  -2
 3(x - 2) - (x  1)  -2
 3x - 6 - x - 1  -2
 2 x - 7  -2
 2x  5
5
x
2
atau
5 
 2 ,  
Kalkulus Dasar
32
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp3 =  5 ,    [2,  )

2

2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah  5 
sehingga
 2 ,  
5 
Hp3 =  ,  
2

Kalkulus Dasar
33
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Hp = Hp1  Hp2  Hp3
 7 5 
Hp  (- ,-1)  - 1,    ,  
4 2 

Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval
digambarkan dalam sebuah garis bilangan
Kalkulus Dasar
34
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
-1
7
4
2
5
-1
7
-1
7
Jadi Hp =
5
4
4
5
2
2

7 5 
 -, 4    2 ,  
 


Kalkulus Dasar
35
Soal Latihan
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
1 x  2  1- x
4 - 2x
x - 2 x 1

2
2
x
x3
3 2 - x  3 - 2x  3
4 x 1 2  2 x  2  2
5 2x  3  4x  5
6 x  3x  2
Kalkulus Dasar
36