luas dan volume benda putar

LUAS SUATU LUASAN
a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.
Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini
R
adalah
bidang datar yang dibatasi oleh grafik-grafik y  f ( x), x  a, x  b, dan y  0
Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan
b
A( R)   f ( x)dx
a
Jika luasan terletak dibawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai
negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral
tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam
bentuk
b
A( R)    f ( x)dx 
a
b
 f ( x)dx
a
Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkahlangkah sebagai berikut :
a) Gambar daerah yang bersangkutan
b) Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu
c) Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang
d) Jumlahkan luas jalur-jalur pada daerah tersebut
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-107
e) Ambil limit dari jumlah diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperoleh
integral tertentu.
Perhatikan contoh-contoh berikut:
1. Segitiga ABC terletak pada XOY, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam
koordinat Cartesius. Titik A(0,0), B(3,0) dan C(3,7). Dengan menggunakan
integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.
y
C (3,7)
x
A(0,0)
B(3,0)
Persamaan garis AC dapat dinyatakan dengan rumus
y  yA
x  xA

yc yA
xc  x A
Diperoleh persamaan
3 y  7 x atau y 
y0 70

x
30
7x
3
b
Sehingga luas yang dicari dinyatakan den A( R)   f ( x) dx
a
3
7x
7 
dx   x 2 
3
 6 0
0
3

7 
  9   10,5
6 
2. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva y  4  x 2 dan sumbu-sumbu
koordinat.
Jawab
y
x
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-108
3. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva x  y 2 dan garis x  4
Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini :
Luasan R dibatasi oleh
grafik-grafik
x  g ( y ), y  c, y  d , dan x  0 .
Dengan integral tertentu luas luasan R yang berada disebelah kanan sumbu x
d
dinyatakan dalam bentuk
A( R)   g ( y)dy
c
Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu x maka integral tertentu di atas
bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai
integral tersebut dimutlakkan, sehingga diperoleh:
d
d
c
c
A( R)    g ( y )dx   g ( y )dy
Perhatikan contoh-contoh berikut:
1. Segitiga ABC terletak pada XOY, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam
koordinat Cartesius. Titik A(0,0), B(-3,0) dan C(-3,-7). Dengan menggunakan
integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-109
2. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva y  4  x 2 dan sumbu-sumbu
koordinat.
3. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva x  y 2 dan garis x  4
b. Daerah antara 2 Kurva
Perhatikan kurva-kurva y  f (x) dan y  g (x) dengan f ( x)  g ( x) pada selang
a, b , seperti gambar berikut :
A   f ( x)  g ( x)x
Sehingga luas luasannya dinyatakan dengan:
b
A( R)   ( f ( x)  g ( x)) dx
a
Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah
kanan sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan
d
A( R)   ( f ( y )  g ( y )) dy
c
Soal-soal
2
1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x  2 dan
2
y = 2x  x  4
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-110
2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x, y = 2x dan
y=5–x
3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y =
x dan y = -x + 6
4. Gambarlah daerah R yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x + 6, y = x3 dan
2y + x = 0. Kemudian hitunglah luasnya.
4.2 Volume Benda Putar
a. Pemutaran mengelilingi sumbu X
b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y
d
1. V    x 2 dy
c
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-111
d
2. V    ( x12  x112 )dy
c
Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan
besar volume adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung.
Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas
alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar
adalah panjang selang [ a,b ] maka volume benda putar dapat dihitung
menggunakan integral tentu sebagai berikut :
b
V   A( x)dx
a
Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah
diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode
yaitu metode cakram dan kulit tabung.
Metode Cakram
Misal daerah dibatasi oleh y  f ( x), y  0, x  1, dan x  b diputar dengan sumbu
putar sumbu x. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan
memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga
cakram yang berpusat di titik-titik pada selang a, b .
Misal pusat cakram x0 ,0 dan jari-jari r  f x0  . Maka luas cakram dinyatakan :
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-112
A x0   f
2
x0 
Oleh karena itu, volume benda putar :
b
V     f ( x) dx
2
a
Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan x  g ( y ), x  0, y  c dan y  d
diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :
d
V    g ( y)  dy
2
c
Bila daerah yang dibatasi oleh y  f x  0 , y  g x  0, f ( x)  g ( x) untuk
setiap
x  a, b, x  a dan x  b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka
volume:
b


V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx
a
Bila daerah yang dibatasi oleh x  f  y   0, x  g  y   0, f ( y)  g ( y) untuk setiap
y  c, d , y  c dan y  d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :
d


V    f 2 ( y)  g 2 ( y) dy
c
Contoh :
1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : y  x 2 dan
y 2  8 x diputar mengelilingi
a. sumbu X.
b. sumbu Y
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-113
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).
a. Pada selang 0,2 , 8 x  x 2 .
Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh
2
   
2
2
48
V     8 x  x 2  dx  


5
0
b. Pada selang 0,4, y 
y2
8
Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh

V   

0
2
 
 y2 
y   
 8 
2
2

 dy  48 

5

2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva :
y  2  x 2 , y   x dan sumbuY bila diputar mengelilingi garis y  2
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di  1,1 dan 2,2. Pada selang  1,0 berlaku
2  x2  x .
Jarak kurva y  2  x 2 , y   x terhadap sumbu putar (garis y = -2) dapat
dipandang sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah 4  x dan
2  x .
Sehingga volume benda putarnya adalah:
0

V    4  x2
1
  2  x   dx  365 
2
2
Metode Kulit Tabung
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-114
Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume
benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan
metode cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan
jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung
adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih
memperjelas kita lihat uraian
berikut.
Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut
r1 dan r2 , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :
V  r2  r1 h  2rhr
dengan :
r2  r1
 r rata  rata, jari  jari , r2  r1  r
2
Bila daerah yang dibatasi oleh y  f ( x), y  0, x  a, x  b diputar mengelilingi
sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r  x dan r  x dan
tinggi tabung h  f (x) Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah
b
V   2xf x dx
a
Misal daerah dibatasi oleh
kurva y  f x, y  g x, f ( x)  g ( x), x  a, b , x  a dan x  b diputar
mengelilingi sumbu Y. Maka volume benda putar
b
V   2x f ( x)  g ( x)  dx
a
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan
x  f ( y ), x  0, y  c, y  d diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =
d
V   2y f ( y)  dy
c
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-115
Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh
x  f  y , x  g  y , f ( y)  g ( y), y  c, d , dan y  c dan y  d diputar mengelilingi
sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan
d
V   2y f ( y)  g ( y )  dx
c
Contoh :
1. Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama
dibawah parabola
Jawab
y  2  x 2 dan di atas parabola y  x 2 diputar mengelilingi sumbu Y.
1



V  2  x 2  x 2  x 2 dx  
0
Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian
yaitu : pada selang 0  y  1 dibatasi x  2  y dan sumbu Y sedang pada
selang dibatasi 1  y  2
dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =
1
V 
 y  dx    
2
2
0

2
2  y dy  
1
2. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh y  1  x 2 ,
sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1
Jawab
Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi


benda pejal, 1  x 2 dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1
), ( 1 + x ). Oleh karena itu,
volume benda putar :
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-116
0


5
V  2  1  x  1  x 2 dx  
6
1
4.3 Luas Permukaan Benda Putar
4.4 Panjang Busur
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-117