KONSEP DASAR ROBABILITAS

KONSEP DASAR
PROBABILITAS
Sesi-3
1
Pengantar :
Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang
sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian yang
akan datang.
Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti,
tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk
menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan
bahwa sesuatu akan terjadi.
Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari
munculnya hasil percobaan statistik disebut
Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P.
2
Konsep dan definisi dasar
 Eksperimen/percobaan probabilitas adalah segala
kegiatan dimana suatu hasil (outcome) diperoleh.
 Ruang sampel adalah himpunan seluruh
kemungkinan outcome dari suatu
eksperimen/percobaan. Biasanya dinyatakan
dengan S. Banyaknya outcome dinyatakan
dengan n(S).
 Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari
outcome dalam suatu ruang sampel.
3
Contoh :
 Dilakukan eksperimen, yaitu diperiksa 3 buah sikring
satu persatu secara berurutan dan mencatat kondisi
sikring tersebut dengan memberi notasi B untuk sikring
yang baik dan R untuk sikring yang rusak.
 Maka ruang sampel pada eksperimen probabilitas
pemeriksaan tersebut adalah S = {BBB, BBR, BRB, RBB,
BRR, RBR, RRB, RRR}. Jumlah outcome dalam ruang
sampel S adalah n(S) = 23 = 8.
 Jika A menyatakan peristiwa diperoleh satu sikring
yang rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah outcome
dalam ruang peristiwa adalah n(A) = 3.
4
Definisi probabilitas
• Bila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh n cara
yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu
mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul,
maka probabilitas kejadian A, ditulis P(A), dapat
dituliskan :
n( A) m
P( A) 

n( S ) n
5
Sifat-sifat probabilitas kejadian A :
• 0  P(A)  1 , artinya nilai probabilitas kejadian
A selalu terletak antara 0 dan 1
• P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A tidak
terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas
kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa
kejadian A mustahil untuk terjadi.
• P(A) = 1, artinya dalam hal kejadian A, maka
probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat
dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi.
6
Contoh (1):
 Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah
probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka?
Jawab :
 Misal M = Muka , B = Belakang
 Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S = {MM, MB,
BM, BB}
 Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka adalah A
= {MM, MB, BM}
Jadi,
 Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka
adalah
n( A) 3
P( A) 
n( S )

4
7
Contoh (2):
• Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4 coffee, dan 3
coklat. Bila seseorang membuat suatu pemilihan acak dari
salah satu kembang gula ini, carilah probabilitas untuk
mendapatkan : (a) mint, dan (b) coffee atau coklat.
Jawab :
• Misal, M = mint , C = coffee , T = coklat
n( M ) 6
(a). Probabilitas mendapatkan mint =
P( M ) 

n( S )
13
(b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat =
P(C  T ) 
n(C  T ) n(C )  n(T )  n(C  T ) 4  3  0 7



n( S )
n( S )
13
13
8
Probabilitas kejadian majemuk
(1):
• Bila A dan B kejadian sembarang pada
ruang sampel S, maka probabilitas
gabungan kejadian A dan B adalah
kumpulan semua titik sampel yang ada
pada A atau B atau pada keduanya.
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
9
Probabilitas kejadian majemuk (2):
• Bila A, B, dan C kejadian sembarang
pada ruang sampel S, maka
probabilitas gabungan kejadian A, B,
dan C adalah :
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( A  B)
 P( A  C )  P( B  C )  P( A  B  C )
10
Contoh :
 Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian matematika adalah 2/3
dan kemungkinan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9. Bila
probabilitas lulus keduanya adalah 1/4, berapakah
probabilitas Ari dapat paling tidak lulus salah satu dari
kedua pelajaran tersebut?
Jawab :
 Bila M adalah kejadian lulus matematika, dan B adalah
kejadian lulus bahasa inggris, maka :
Probabilitas Ari lulus salah satu pelajaran tersebut adalah :
P(M  B) = P(M) + P(B) – P(M  B)
= 2/3 + 4/9 – 1/4
= 31/36
11
Contoh:
• Sebuah sistem sembarang seperti terlihat pada gambar di bawah
tersusun atas tiga tingkat. Sistem ini akan bekerja dengan baik jika
ketiga tingkatnya berjalan dengan baik. Misal seluruh unit dalam
setiap tingkat saling bebas dan masing-masing berjalan baik.
Diketahui P(A) = 0,7; P(B) = 0,7 ; P(C ) = 0,9 ; P(D) = 0,8 ; P(E) = 0,6 ;
P(F) = 0,6 ; dan P(G) = 0,6. Hitunglah probabilitas sistem berjalan
dengan baik.
12
Jawab:
 P(T1) = P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
= P(A) + P(B) – P(A).P(B)
= 0,7 + 0,7 – (0,7)(0,7) = 0,91
 P(T2) = P(C  D) = P(C).P(D)
= (0,9)(0,8) = 0,72
 P(T3) = P(EF G)
= P(E) + P(F) + P(G) – P(EF) – P(EG) – P(FG) + P(EF G)
= P(E) + P(F) + P(G) – P(E).P(F) – P(E).P(G) – P(F).P(G) + P(E).P(F).P(G)
= 0,6 + 0,6 + 0,6 – (0,6)(0,6) – (0,6)(0,6) – (0,6)(0,6) + (0,6)(0,6) (0,6)
= 0,936
 Jadi,
P(sistem berjalan baik) = P(T1  T2  T3) = P(T1).P( T2).P( T3)
= (0,91).(0,72).(0,963) = 0,613.
Artinya sistem tersebut secara keseluruhan memiliki 61,3% kemungkinan dapat
berjalan dengan baik.
13
Dua kejadian saling lepas (disjoint
events atau mutually exclusive):
• Bila A dan B dua kejadian saling lepas,
maka berlaku :
P( A  B)  P( A)  P( B)

Bila A, B, dan C tiga kejadian saling lepas,
maka berlaku :
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )
14
Contoh :
 Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 bila
sepasang dadu dilemparkan?
Jawab :
 Bila A adalah kejadian diperoleh total 7, maka A = {(1,6),
(6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}
 Bila B adalah kejadian diperoleh total 11, maka B = {(5,6),
(6,5)}
 Sehingga probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 adalah :
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
= 6/36 + 2/36 – 0
= 8/36
15
Dua kejadian saling komplementer:
• Bila A dan A’ dua kejadian dalam S yang saling
komplementer, maka berlaku :
P( A' )  1  P( A)
16
Contoh:
 Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya muka
dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua dadu yang
tidak sama.
Jawab :
 Misal A
= kejadian munculnya muka dua dadu yang sama
= {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
maka P(A) = 6/36
 Sehingga,
Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama = P(A’)
adalah:
P(A’) = 1 – P(A)
= 1 – 6/36
= 30/36
17
Dua kejadian saling bebas (independent):
• Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak saling
mempengaruhi.
• Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan
saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi
probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya
kejadian B tidak mempengaruhi probabilitas
terjadinya kejadian A.
• Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku :
P( A  B)  P( A) . P( B)
18
Contoh:
 Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, apakah kejadian munculnya muka dari
uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas?
Jawab :
 Ruang sampel S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)}
 Misalkan, A
= kejadian muncul muka dari uang logam 1  P(A) = 2/4 = ½
= {(m,m), (m,b)}
B
= kejadian muncul muka dari uang logam 2  P(B) = 2/4 = ½
= {(m,m), (b,m)}
AB
= kejadian muncul dua muka dari uang logam 1 dan 2
= {(m,m)}  P(A  B) = ¼
 Bila A dan B saling bebas berlaku :
P(A  B)
= P(A). P(B)
¼
= ½ . ½
¼
= ¼
Jadi, A dan B saling bebas.
19
Probabilitas bersyarat (conditional probability):
• Adalah probabilitas suatu kejadian B
terjadi dengan syarat kejadian A lebih
dulu terjadi atau akan terjadi atau
diketahui terjadi.
• Ditunjukkan dengan P(BA) yang dibaca
“probabilitas dimana B terjadi karena A
terjadi”
P( A  B)
P( B A) 
,
P( A)
jika P( A)  0
20
Contoh (1):
• Misalkan dipunyai kotak berisi 20 sekering, 5 diantaranya rusak. Bila 2
sekering diambil dari kotak satu demi satu secara acak tanpa
mengembalikan yang pertama ke dalam kotak. Berapakah peluang kedua
sekering itu rusak?
• Jawab :
Misalkan
A = kejadian sekering pertama rusak
B = kejadian sekering kedua rusak
Maka peluang kedua sekering itu rusak = P(A  B)
P(A  B) = P(A). P(BA)
= 5/20 . 4/19
= 1/19
21
Aturan Bayes :
• Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga kejadian
saling lepas dalam ruang sampel S.
• B adalah kejadian sembarang lainnya dalam
S.
S
B
A1
A2
A3
22
probabilitas kejadian B adalah :
P(B)
= P(BA1). P(A1) + P(BA2). P(A2) + P(BA3). P(A3)
=
3
 P( B A ).P( A )
i 1
i
i
disebut Hukum Probabilitas Total
23
• Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An kejadian
saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian
lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas
kejadian bersyarat AiB dirumuskan sebagai
berikut :
P( B Ai ).P( Ai )
P( B  Ai )
P( Ai B) 
 n
P( B)
 P( B Ai ).P( Ai )
i 1
disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes).
24
Contoh:
• Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1
berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola
putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup
Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan
kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang
terambil itu..
• Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah?
• Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 2?
25
Jawab
• P(bola yang terambil berwarna merah) =
P(M )  P(1).P(M 1)  P(2).P(M 2)  P(3).P(M 3)
1 2 1 1 1
2 1 3
 .  .  .0 
  0.5
3 2 3 2 3
6
6
• P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) =
P(2 M ) 
P(2).P( M 2)
P( M )
1 .1
1
1
 3 2  6   0.33
3
3
3
6
6
26