metode-simpleks.

BAB IV. METODE SIMPLEKS
•
Penentuan solusi optimal menggunakan simpleks didasarkan pada
teknik eliminasi Gauss Jordan.
•
Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim
(ingat kembali solusi grafik) satu per satu dengan cara perhitungan
iteratif.
•
Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap
demi tahap yang kita sebut dengan iterasi.
•
Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1).
•
Ada beberapa istilah yang sangat sering kita gunakan dalam metode
simpleks, diantaranya iterasi, variabel non basis, variabel basis, solusi
atau nilai kanan, variabel slack, variabel surplus, variabel buatan,
kolom pivot, baris pivot, elemen pivot, variabel masuk, variabel keluar.
Semua istilah ini harus anda ingat baik-baik, karena akan selalu
digunakan dalam riset operasional.
BENTUK BAKU
Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk
baku/standar, yaitu:
1. fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum,
dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu
variabel slack.
2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum,
dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu
variabel surplus.
3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum,
ditambahkan satu artificial variable (variabel buatan).
Perhatikan kasus berikut:
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 1
Minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2
Kendala:
x1 + x2 = 90
0.001x1 + 0.002x2 ≤ 0.9
0.09x1 + 0.6x2 ≥ 27
0.02x1 + 0.06x2 ≤ 4.5
x1, x2 ≥ 0
Bentuk di atas adalah bentuk umum pemrograman linearnya. Kedalam
bentuk baku/standar, model matematik tersebut akan berubah menjadi:
Minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2
Terhadap:
x1 + x2 + s1 = 90
0.001x1 + 0.002x2 + s2 = 0.9
0.09x1 + 0.6x2 - s3 = 27
0.02x1 + 0.06x2 + s4 = 4.5
x1, x2, s1, s2, s3, s4 ≥ 0
Fungsi kendala pertama mendapatkan variabel buatan (s1), karena bentuk
umumnya sudah menggunakan bentuk persamaan.
Fungsi kendala
kedua dan keempat (s2 dan s4) mendapatkan variabel slack karena bentuk
umumnya menggunakan pertidaksamaan ≤, sedangkan fungsi kendala
ketiga mendapatkan surplus variabel (s3) karena bentuk umumnya
menggunakan pertidaksamaan ≥..
Perhatikan juga kasus berikut:
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2
Terhadap :
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 2
10x1 + 5x2 ≤ 600
6x1 + 20x2 ≤ 600
8x1 + 15x2 ≤ 600
x1, x2 ≥ 0
Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum.
Perubahan kedalam
bentuk baku hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi
kendala
menggunakan
bentuk
pertidaksamaan
≤
dalam
bentuk
umumnya. Maka bentuk bakunya adalah sebagai berikut:
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3
Terhadap :
10x1 + 5x2 + s1 = 600
6x1 + 20x2 + s2 = 600
8x1 + 15x2 + s3 = 600
x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0
s1, s2, s3 oleh karenanya merupakan variabel slack.
PEMBENTUKAN TABEL SIMPLEKS
Gunakan kasus di atas, maka tabel awal simpleksnya adalah :
VB
X1
X2
S1
S2
S3
solusi
z
-2
-3
0
0
0
0
S1
10
5
1
0
0
600
S2
6
20
0
1
0
600
S3
8
15
0
0
1
600
LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 3
Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut:
1. Periksa apakah tabel layak atau tidak. Kelayakan tabel simpleks
dilihat dari solusi (nilai kanan).
Jika solusi ada yang bernilai
negatif, maka tabel tidak layak. Tabel yang tidak layak tidak dapat
diteruskan untuk dioptimalkan.
2. Tentukan kolom pivot. Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien
fungsi tujuan (nilai di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari
bentuk tujuan. Jika tujuan berupa maksimisasi, maka kolom pivot
adalah kolom dengan koefisien negatif terbesar.
Jika tujuan
minimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien positif
terkecil.
Perhatikan, kita tidak menggunakan kata-kata nilai
terkecil dan terbesar, karena kita memang tidak memilih nilai
terkecil dan terbesar. Jika kolom pivot ditandai dan ditarik ke atas,
maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika nilai negatif
terbesar (untuk tujuan maksimisasi) atau positif terbesar (untuk
tujuan minimisasi) lebih dari satu, pilih salah satu secara
sembarang.
3. Tentukan baris pivot. Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai
solusi dengan nilai kolom pivot yang bersesuaian (nilai yang
terletak dalam satu baris). Dalam hal ini, nilai negatif dan 0 pada
kolom pivot tidak diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi pembagi.
Baris
pivot
adalah
baris
dengan
rasio
pembagian
terkecil.
Perhatikan, rasio pembagian tidak mungkin bernilai negatif, karena
nilai kanan tidak negatif demikian juga dengan nilai kolom pivot.
Jika baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan
mendapatkan variabel keluar. Jika rasio pembagian terkecil lebih
dari satu, pilih salah satu secara sembarang.
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 4
4. Tentukan elemen pivot.
Elemen pivot merupakan nilai yang
terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot.
5. Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks baru dibentuk dengan
pertama sekali menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru
adalah baris pivot lama dibagi dengan elemen pivot.
Baris baru
lainnya merupakan pengurangan nilai kolom pivot baris yang
bersangkutan dikali baris pivot baru dalam satu kolom terhadap
baris lamanya yang terletak dalam satu kolom juga.
6. Periksa apakah tabel sudah optimal. Keoptimalan tabel dilihat dari
koefisien fungsi tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari
bentuk tujuan.
Untuk tujuan maksimisasi, tabel sudah optimal
jika semua nilai pada baris z sudah positif atau 0. Pada tujuan
minimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z
sudah negatif atau 0. Jika belum, kembali ke langkah no.2, jika
sudah optimal baca solusi optimalnya.
Kita selesaikan kasus di atas.
Iterasi 0 (tabel awal simpleks).
VB
X1
X2
S1
S2
S3
solusi
rasio
z
-2
-3
0
0
0
0
-
S1
10
5
1
0
0
600
600/5=120
S2
6
20
0
1
0
600
600/20=30
S3
8
15
0
0
1
600
600/15=40
X2 adalah variabel masuk dan s2 adalah variabel keluar.
adalah 20.
Iterasi 1
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 5
Elemen pivot
VB
X1
X2
S1
S2
S3
solusi
Rasio
z
-11/10
0
0
3/20
0
90
-
S1
8.5
0
1
-1/4
0
450
52.9
X2
3/10
1
0
1/20
0
30
100
S3
3.5
0
0
-¾
1
150
42.857
Perhitungan kita lanjutkan ke iterasi 2.
Variabel masuk adalah x1 dan variabel keluar adalah s3.
Iterasi-2
VB
X1
X2
S1
S2
S3
Solusi
z
0
0
0
9/70
1/35
94.2857
S1
0
0
1
11/7
-17/7 85.7155
X2
0
1
0
8/70
-3/35 17.1329
X1
1
0
0
-3/14
2/7
42.857
Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan!
Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi pengambil keputusan.
Ada beberapa hal yang bisa dibaca dari tabel optimal :
1. Solusi optimal variabel keputusan.
2. Status sumber daya.
3. Harga bayangan (dual/shadow prices).
Menggunakan tabel optimal di atas:
VB
X1
X2
S1
S2
S3
solusi
z
0
0
0
9/70
1/35
94.2857
S1
0
0
1
11/7
-17/7 85.7155
X2
0
1
0
8/70
-3/35 17.1329
X1
1
0
0
-3/14
2/7
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 6
42.857
Solusi optimal : x1 = 42.857; x2 = 17.1329 dan z = 94.2857, artinya untuk
mendapatkan
keuntungan
maksimum
sebesar
$94.2857,
maka
perusahaan sebaiknya memproduksi produk 1 sebesar 42.857 unit dan
produk sebesar 17.1329 unit.
Status sumber daya : sumber daya pertama dilihat dari keberadaan
variabel basis awal dari setiap fungsi kendala pada tabel optimal. Dalam
kasus di atas, fungsi kendala pertama periksa keberadaan s1 pada
variabel basis tabel optimal; periksa keberadaan s2 pada variabel basis
tabel optimal untuk fungsi kendala kedua; periksa keberadaan s3 pada
variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala ketiga.
¾ s1 = 85.7155. Sumber daya ini disebut berlebih (abundant)
¾ s2 = s3 = 0. Kedua sumber daya ini disebut habis terpakai (scarce).
Harga bayangan : harga bayangan dilihat dari koefisien variabel slack
atau surplus pada baris fungsi tujuan.
¾ koefisien s1 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 0, dengan
demikian harga bayangan sumber daya pertama adalah 0.
¾ Koefisien s2 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 9/70, dengan
demikian harga bayangan sumber daya kedua adalah 9/70.
¾ Koefisien s3 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 1/35, dengan
demikian harga bayangan sumber daya ketiga adalah 1/5.
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 7