Taksiran Interval un

BAHAN AJAR STATISTIKA MATEMATIKA 2
Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang
Pertemuan 10
7. PENAKSIRAN ( Taksiran Interval untuk rataan, varian dan
proporsi)
7.1 Pendahuluan
Pada pembahasan sebelumnya adalah meletakkan dasar untuk menarik kesimpulan dari parameter-parameter populasi dari data percobaan.
Sebagai contoh, teorema limit pusat memberi informasi tentang distribusi sampel X distribusinya mengandung rataan dari populasi. Jadi setiap kesimpulan
yang ditarik mengenai µ dari suatu rata-rata sampel yang diamati haruslah tergantung pada pengetahuan distribusi sampelnya.
7.2 Inferensi Statistika
Inferensi statistik dapat dibagi dalam dua bagian besar yaitu penaksiran dan
pengujian hipotesis.
7.3 Metode penaksiran klasik
Nilai x suatu statistik X, dihitung dari suatu sampel ukuran n, merupakan suatu taksiran parameter populasi µ
Contoh 7.1
Tunjukkan bahwa S 2 merupakan penaksir tak bias parameter σ 2
Kendatipun S 2 merupakan penaksir tak bias σ 2 , tetapi sebaliknya S suatu penaksir σ yang bias dan bias itu menjadi tak bearti bila sampelnya besar.
Defenisi 7.1
Dari semua penaksir tak bias yang mungkin di buat, penaksir yang memberikan
variansi terkecil disebut penaksir yang paling efisien.
Penaksir tak bias yang paling efisien sekalipun jarang akan menaksir parameter populasi µ dengan tepat. Memang benar bahwa ketelitian meningkat bila
sampelnya membesar, tetapi masih tetap tidak beralasan mengharapkan suatu
taksiran titik dari suatu sampel tertentu akan tepat sama dengan parameter
populasi yang hendak ditaksir. Dalam banyak hal kita akan lebih menyukai
menentukan suatu selang yang kedua ujungnya kita harapkan akan mengapit
nilai parameter yang sesungguhnya. Selang seperti ini disebut taksiran selang.
7.4 Menaksir rataan
Penaksir titik rataan populasi µ diberikan oleh statistik X. Sekarang pandang
taksiran selang µ.
P (−zα/2 < Z < zα/2 ) = 1 − α
bila Z =
X−µ
√
σ/ n
1
Jadi
P (−zα/2 <
X−µ
√
σ/ n
< zα/2 ) = 1 − α
atau
P (X − zα/2 √σn < µ < X + zα/2 √σn ) = 1 − α
bila α = 0, 05, diperoleh selang kepercayaan 95%. Dan bila α = 0, 01, diperoleh
selang kepercayaan 99%.
Contoh 7.2
Rataan nilai sampel acak 36 mahasiswa tingkat sarjana adalah 2,6. Hitunglah
selang kepercayaan 95% dan 99% untuk rataan nilai matematika semua mahasiswa tingkat sarjana. Anggap bahwa simpangan baku populasi 0,3.
Teorema 7.1
µ maka dengan kepercayaan (1 − α)100% galatBila x dipakai untuk menaksir √
nya akan lebih kecil dari zα/2 σ n
Teorema 7.2
Bila x dipakai untuk menaksir µ, maka dengan kepercayaan (1 − α)100% galatnya akan lebih kecil dari suatu bilangan g yang ditetapkan sebelumnya asal saja
ukuran sampel
n=(
zα/2 σ 2
g )
Contoh 7.3
Berapa besar sampel diperlukan pada contoh 7.2 bila ingin percaya 95& bahwa
taksiran untuk µ meleset kurang dari 0,05?.
Sering kita ingin menaksir rataan populasi padahal variansi tidak diketahui.
Telah diketahui sebelumnya bila ada suatu sampel acak dari suatu distribusi
normal maka peubah acak
T =
X−µ
√
S/ n
sehingga kita akan dapatkan
P (X − tα/2 √Sn < µ < X + tα/2 √Sn )
Contoh 7.4
Tujuh botol yang mirip masing-masing berisi asam sulfat 9,8, 10,2, 10,4, 9,8,
10,0, 10,2, dan 9,6 liter. Carilah selang kepercayaan 95% untuk rataan isi botol
semacam itu bila distribusinya dianngap hampir normal.
7.5 Galat Baku Taksiran titik
Telah diketahui
σx2 =
σ2
n
Jadi simpangan baku dari X atau galat baku dari X. Sehingga batas kepercayaan untuk µ berbentuk
x ± tα/2 √sn = x ± tα/2 galatbakux
2
7.6 Batas Toleransi
Jika rataan µ dan variansi σ tidak diketahui, batas toleransi diberikan x ± ks, k
ditentukan sedemikian rupa sehingga dapat ditegaskan 100(1−γ)% kepercayaan
bahwa batas tersebut mengandung paling sedikit 1 − α proporsi pengukuran
7.1 Menaksir selisih dua rataan
Bila ada dua populasi masing-masing dengan rataan µ1 dan µ2 dan variansi
σ12 dan σ22 , maka penaksir titik untuk selisih µ1 dan µ2 diberikan oleh statistik
X1 − X2
Menurut teorema pada bab 6, dapat diharapkan distribusi sampel X 1 −X 2 akan
berdistribusi hampir
normal dengan rataan µx1 −x2 = µ1 − µ2 dan simpangan
p
baku σx1 −x2 = (σ12 /n1 ) + (σ22 /n2 ), Jadi dengan peluang 1 − α peubah normal
baku
2 )−(µ1 −µ2 )
√ 1 −X
Z = (X
2
2
(σ1 /n1 )+(σ2 /n2 )
peluangnya adalah
P (−zα/2 < Z < zα/2 ) = 1 − α
ganti Z pada rumus diatas, maka diperoleh :
q 2
q 2
σ
σ2
σ
(x1 − x2 ) − zα/2 n11 + n22 < µ1 − µ2 < (x1 + zα/2 n11 +
σ22
n2
dengan n1 = banyak sampal populasi pertama dan n2 = banyak sampel pada
populasi kedua.
Contoh 7.5
Suatu ujian kimia yang telah dibakukan diberikan pada 50 siswa wanita dan
75 siswa pria. Nilai rata-rata wanita 76, sedangkan murid pria mendapat nilai rata-rata 82. Carilah selang kepercayaan 96% untuk selisih µ1 − µ2 , bila
µ1 menyatakan rataan nilai semua siswa pria dan µ2 rataan nilai semua siswa
wanita yang mungkin akan mengikuti ujian ini. Anggap simpangan baku populasi unntuk wanita dan pria, masing-masing 6 dan 8.
Bila variansinya tidak diketahui dan kedua distribusi hampir normal, maka distribusi t kembali harus digunakan seperti sampel tunggal.
q
q
(x1 − x2 ) − tα/2 sp n11 + n12 < µ1 − µ2 < (x1 + x2 ) − tα/2 sp n11 + n12
Contoh 7.6
Dalam makalah ”Macro invertebrate Community Structure as an Indicator of
Acid Mine Pollution” yang diterbitkan di Journal of Environmental Pollution
(Vol.6,1974), disajikan laporan mengenai penelitian yang dilakukan di Cane
Creek, Alabama, untuk menentukan hubungan antara paremeter fisiokimia yang
terpilih dengan ukuran yang berlainan dari struktur kelompok makroinvertebrata. Satu segi dari peneltian itu ialah penilaian dari keefektifan. Suatu indeks
keragaman spesies makroinvertebrata seharusnya menunjukkan sistem perairan
yang tidak terganngu, sedangkan indeks keragaman yang rendah menunjukkan
sistem perairan yang terganggu.
Dua stasion sampling yang bebas dipilih untuk tujuan penelitian ini, satu dititik
3
muara pembuangan asam tambang dan satu lagi dihulu. Sebanyak 12 sampel
bulanan diambil dari station muara, data indeks keragaman spesiesnya menghasilkan nilai rataan x1 = 3, 11 dan simpangan baku s1 = 0, 771, sedangkan dari
satsion hulu diambil 10 sampel bulanan dengan nilai rataan indeks x2 = 2, 04
dan simpangan baku s2 = 0, 448. Buat selang kepercayaan 90% untuk selisih
rataan populasi dari kedua stasion, anggap kedua populasi berdistribusi hampir
normal dengan variansi yang sama.
Bila variansi populasi yang tidak diketahui mungkin sekali tidak sama.
q 2
q 2
s2
s2
s
s
(x1 − x2 ) − tα/2 n11 + n22 < µ1 − µ2 < (x1 + tα/2 n11 + n22
Contoh 7.7
Suatu penelitian mengenai ”Nutrient retention and Macroinvertebrata Community Response to Swage Stress in a Stream Ecosystem” yang dilakukan oleh
departement of zoology di Virginia Polytechnic Institute dan State University
tahun 1980 menaksir selisih banyaknya bahan kimia ortofosfor yang diukur pada
dua station yang berlainan di sungai james. Ortofosfor diukur dalam mg per
liter. Lima belas sampel dikumpulkan dari stasion 1 dan 12 sampel dari stasion
2. Ke 15 sampel dari stasion 1 mempunyai rata-rata kadar ostofosfor 3,84 mg per
liter dan simpangan baku 3,07 mg per liter, sedangkan ke 12 sampel dari stasion
2 mempunyai rata-rata kadar ostofosfor 1,49 mg per liter dan simpangan baku
0,8 mg per liter. Cari selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor sesungguhnya pada kedua stasion tersebut, anggap bahwa pengamatan
berasal dari populasi normal dengan variansi berbeda.
Pengamatan berpasangan
√
√
d − tα/2 s d n < µD < d + tα/2 s d n
Contoh 7.8
Dalam makalah ’Essential Elements in Fresh and Canned Tomatoers”, yang
diterbitkan di Journal of Food Science (Jilid 46,1981), kandungan unsur penting ditentukan dalam tomat segar dan kalengan menggunakan spektrofotometer
penyerapan atom. Kandungan tembaga dalam tomat segar dibanding dengan
kandungan tembaga tomat yang sama setelah di kalengkan dicatat dan hasilnya
seperti beriku
Pasangan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tomat segar
0,066
0,079
0,069
0,076
0,071
0,087
0,071
0,073
0,067
0,062
Tomat kaleng
0,085
0,088
0,091
0,096
0,093
0,095
0,079
0,078
0,065
0,068
4
di
0,019
0,009
0,022
0,020
0,022
0,008
0,008
0,005
-0,002
0,006
7.8 Menaksir proporsi
Penaksir titik untuk proporsi P dalam suatu percobaan binomial diberikan oleh
statistik P̂ = X
n dengan X menyatakan banyaknya yang berhasil dalam n usaha. Jadi proporsi sampel p̂ = nx akan digunakan sebagai taksiran titik untuk
parameter p.Menurut teorema limit pusat, untuk n cukup besar, distribusi p̂
hampir normal dengan rataan
µp̂ = E(p̂) = E( X
p =
np
n
=p
=
pq
n
dan variansi
σp2 = σ 2x =
n
2
σx
n2
=
npq
n2
Sehingga dalam selang kepercayaan besar untuk p, hampiran selang kepercayaan
(1 − α)100% untuk parameter binomial p adalah
q
q
p̂q̂
P̂ − zα/2 p̂q̂
<
p
<
P̂
+
z
α/2
n
n
Contoh 7.9
Pada suatu sampel acak n = 500 keluarga yang memiliki pesawat televisi dikota
hamilton, Kanada, ditemukan bahwa x = 340 memiliki tv bewarna. Carilah selang kepercayaan 95% untuk proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki
tv bewarna di kota tersebut.
7.9 Menaksir selisih dua proporsi.
Diketahui P̂1 − P̂2 masing-masing berdistribusi hampir normal dengan
µp̂1 −p̂2 = p1 − p2
dengan variansi
σp̂1 −p̂2 = pn1 q11 +
p2 q2
n2
ganti p1 , p2 , q1 , dan q2 dengan taksiran p̂1 =
q̂2 = 1 − p̂2 , sehingga
x1
n1 ,
p̂2 =
x2
n2 ,
q̂1 = 1 − p̂1 , dan
Selang kepercayaan sampel besar untuk p1 − p2
q
q
(p̂1 − p̂2 ) − zα/2 p̂n1 q̂11 + p̂n2 q̂22 < p1 − p2 < (p̂1 − p̂2 ) + zα/2 p̂n1 q̂11 +
p̂2 q̂2
n2
Contoh 7.10
Suatu perubahan dalam cara pembuatan suku cadang sedang direncanakan.
Sampel diambil dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara
baru tersebut memberikan perbaikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang
berasal dari cara lama ternyata cacat dari 80 dari 2000 yang berasal dari cara
baru yang cacat, carilah selang kepercayaan 90% untuk selisih sesungguhnya
proporsi yang cacat dalam kedua cara.
7.10 Menaksir variansi
Taksiran selang untuk σ 2 dapat diturunkan dengan menggunakan statistik
X2 =
(n−1)S 2
σ2
sehingga
Untuk selang kepercayaan untuk σ 2
5
(n−1)S 2 )
X2α/2
< σ2 <
(n−1)S 2 )
X21−α/2
Contoh 7.11
Data berikut menyatakan berat, dalam gram, 10 bungkus bibit sejenis tanaman yang dipasarkan oleh suatu perusahaan : 46,4, 46,1, 45,8, 47,0, 46,1, 45,9,
45,8, 46,9, 45,2, dan 46,0. Carilah selang kepercayaan 95% untuk variansi semua bungkusan bibit yang dipasarkan perusahaan tersebut, anggap populasinya
normal.
7.11 Menaksir Nisbah dua variansi
Selang kepercayaan untuk
σ12
σ22
s21
1
s22 fα/2 (v1 ,v2
<
σ12
σ22
<
s21
f (v , v
s22 α/2 1 2
Contoh 7.12
Suatu selang kepercayaan untuk perbedaan rataan kadar ortofosfor, diukur
dalam mg per liter, pada dua stasion di sungai James telah dihitung pada contoh yang lalu, dengan menganggap kedua variansi populasi normal dan tidak
sama.
Tugas pertemuan 10 Statistik Matematika 2
1. 7.1,7.2,7.3,7.4,7.5,dan 7.6
halaman 279
nomor 10
2. 7.7 halaman 291
nomor 6
3. 7.8 dan 7.9
Halaman 300-302
Nomor 15
4. 7.10 dan 7.11
Halaman 307
Nomor 7
6