Perbandingan Kekonvergenan Beberapa Model

III PERBANDINGAN MODEL-MODEL BINOMIAL
3.1
Model Kontinu dan Model Diskret Perkembangan Harga Saham
Saham merupakan aset finansial yang nilainya berubah-ubah mengikuti harga
pasar, sehingga dalam jangka waktu tertentu harga saham dapat mengalami kenaikan
maupun penurunan atau bahkan tidak mengalami perubahan harga. Jadi perubahan
harga saham dipengaruhi oleh perubahan waktu dan dipengaruhi pula oleh peubahpeubah pengganggu yang berupa peubah acak yang mengikuti gerak Brown.
Perubahan harga saham tersebut dapat dimodelkan sebagai berikut:
dS
S dt
(3.1)
S dW
dengan:
S
: harga saham
: tingkat harapan pendapatan
: volatilitas dari harga saham
dt
W
: periode waktu
: peubah acak dengan drift rate 0 dan variance rate 1, serta mengikuti
gerak Brown (Hull 2003).
Perkembangan harga saham ditinjau dari sisi waktu terdiri atas dua macam,
yaitu
model diskret dan model kontinu. Dari model harga saham itu,
ditentukan
nilai
suatu
akan
aset turunannya, di antaranya adalah opsi call yang
mempunyai harga eksekusi K dan waktu jatuh tempo T.
Suatu portofolio lindung nilai yang didefinisikan pada (2.6) yang memuat
aset S dan sejumlah pinjaman tanpa risiko pada suku bunga r dibentuk
untuk
mereplikasi nilai dari suatu opsi pada setiap titik waktu t . Dengan syarat tanpa
adanya arbitrase, portofolio itu
bersesuaian dengan persamaan diferensial Black-
Scholes untuk fungsi c(t , S ) yaitu
c
t
rS
c
S
1
2
2
2
S2
c
S2
(3.2)
rc
Solusi dari persamaan diferensial (PD) dengan batas
f :x
fungsi payoff yang diberikan oleh formula opsi Black-Scholes
c(t , S ) S N (d1 ) K e
rT
N (d 2) dengan
( x K ) merupakan
23
1
2
ln( S / K ) (r
d 1,2
dengan
2
)T
(3.3)
T 1/ 2
N (.) adalah fungsi distribusi normal baku. Sesuai dengan Harrison dan
Pliska (1981) maka nilai dari c(t , S ) merupakan present value dari nilai opsi pada
waktu T yang dapat dituliskan sebagai
c(t , S ) : e
rT
E ([ f ( ST )] .
(3.4)
Solusi di atas apabila diselesaikan dengan model binomial memerlukan
beberapa penyesuaian, yaitu perkembangan harga saham pada interval waktu (0, T )
akan dibuat menjadi sub-sub interval yang lebih kecil. Misalkan diberikan ruang
peluang ( , F , P) , dan suatu bilangan n yang menyatakan waktu perdagangan, di
mana perdagangan saham hanya terjadi pada waktu tin
t in 1 tin
tn
T
, (i
n
(0 t0n , t1n ,..., t nn T ) dengan
0,1,..., n 1).
Pendapatan dalam satu periode Rn ,i (i=1,..., n) dimodelkan oleh dua variabel
acak binomial yang iid (independent identically distributed) pada ruang peluang
( , F , P) dengan
Rn ,i
un dengan peluang p n
(3.5)
d n dengan peluang 1 p n q n
dengan un menyatakan faktor kenaikan harga saham dan d n menyatakan faktor
penurunan harga saham. Sehingga untuk semua k
0,..., n perkembangan
aset
diskret pada waktu tkn dinyatakan oleh
k
Sn, k
S0
i 1
Rn , i .
(3.6)
Deskripsi dari pendapatan satu periode perdagangan telah menggambarkan
perkembangan harga aset diskret
terbatas dari Rn
( Rn ,i )i
1,...,n
S n secara keseluruhan. Selanjutnya barisan
disebut sebagai lattice (tree). Sedangkan pemberian
nilai tertentu terhadap parameter r ,
disebut sebagai pendekatan lattice.
, S 0 dan t untuk masing-masing perbaikan n
24
Beberapa
pendekatan lattice yang berbeda telah
memperhitungkan
argumentasi risiko netral seperti yang disampaikan oleh Harrison dan Pliska (1981)
yang menunjukkan bahwa harapan pendapatan satu periode
E[ Rn ,1 ] harus sama
dengan pendapatan satu periode dari obligasi bebas risiko rn
exp{r tn } . Cox,
Ross dan Rubinstein, Jarrow dan Rudd dan Tian telah merumuskan beberapa definisi
alternatif dari parameter tree yang hanya bersandar pada penentuan faktor kenaikan
dan faktor penurunan harga aset, yang tertuang dalam tabel berikut
Tabel 3.1 Definisi alternatif dari parameter tree pada pendekatan lattice oleh model
CRR, model JR dan model Tian.
CRR
un
exp
dn
exp
JR
T
n
Tian
un
T
n
dn
'
exp
'
exp
'
r
1
2
T
n
T
n
T
n
T
n
un
rn vn
vn 1 (vn 2
2
dn
rnvn
vn 1 (vn 2 2vn 3)1/ 2
2
1/ 2
1/ 2
2
rn
exp r
vn
exp
2vn
3)1/ 2
T
n
2
T
n
Keterangan: CRR : Model yang disampaikan oleh Cox, Ross dan Rubinstein
JR
: Model yang disampaikan oleh Jarrow dan Rudd
Tian : Model yang disampaikan oleh Tian.
Substitusi parameter pada tabel 3.1 ke dalam persamaan 3.8 diperoleh nilai opsi call
dengan metode binomial untuk masing-masing model. Metode binomial tersebut
untuk kali yang pertama disampaikan oleh Cox, Ross dan Rubinstein yang
menyatakan bahwa harga opsi pada t = 0 merupakan present value dari nilai harapan
harga opsi pada t = T yang dinyatakan sebagai
cn (0 t0n , S0 )
rn n E[ f ( Sn ,n ) S0 ]
n
rn n
j 0
n j
pn (1 pn )n j [ Sn ,n
j
(3.7)
K]
(3.8)
dan menurut Leisen dan Reimer (1996) persamaan (3.8) ekivalen dengan
cn (0 t0n , S0 ) S0
dengan
[a; n, p 'n] K r n n [a; n, p n]
(3.9)
25
( rn d n )
, p 'n
(u n d n )
pn
dan
ln( K / S 0) n ln d
un
p n, a=
ln u n ln d n
rn
n
(.) menyatakan fungsi distribusi binomial.
Formula (3.7), (3.8), dan (3.9) merupakan suatu pendekatan terhadap formula
Black-Scholes pada (3.3). Pendekatan
ini diperoleh dengan diskretisasi waktu
terhadap perkembangan harga saham pada (3.1). sehingga secara implisit
menggambarkan perkembangan harga opsi melalui argumentasi replikasi backward.
3.2
Uji Kekonvergenan Model Binomial
Semua pendekatan lattice disusun sedemikian sehingga S n ,n konvergen
ke
ST . Selanjutnya ditentukan rata-rata serta varian dari ln S n ,n , yaitu ˆ n , ˆ 2 n dan
rata-rata serta varian dari ln ST adalah
t,
2
t . Menurut Leisen dan Reimer (1996),
dengan teorema limit pusat dan syarat batas Liapunov telah memberikan jaminan
terhadap kekonvergenan masalah berikut.
n
ˆn
n
ˆ 2n
n
n
k 1
2
(3.10)
(3.11)
n
E (ln Rn, k
( ˆ n )3
ˆ )3
n
(3.12)
0
Ketiga model (CRR, JR dan Tian) konvergen lemah pada akhir periodenya.
Tetapi dalam penelitian ini hanya akan memfokuskan pada perilaku dan kecepatan
kekonvergenannya.
Gambar 3.1, 3.2, dan 3.3 memperlihatkan suatu pola tertentu dari perubahan
harga opsi yang diperoleh dari beberapa refinement tree yang berbeda. Garis lurus
horizontal menunjukkan solusi Black-Scholes. Untuk penghitungan dengan metode
binomial, hasil dari setiap refinement
dihubungkan dengan
garis yang
menggambarkan perubahan hasil. Dari ketiga model di atas ditemukan suatu pola
khusus yaitu perkembangan harga opsi berosilasi dan bergelombang. Lebih jauh
digambarkan bahwa interval dengan pengurangan error diikuti oleh interval dengan
peningkatan error kembali. Pada suatu refinement n tertentu dari harga opsi selalu
26
berada di atas solusi Black-Scholes tetapi untuk n yang cukup besar, solusi dengan
metode binomial akan konvergen ke solusi Black-Scholes.
Gambar 3.1, 3.2, dan 3.3 adalah grafik yang menunjukkan pola
kekonvergenan dari model CRR, JR dan Tian untuk suatu pilihan parameter:
S
100, K
110, T
1, r
0.05,
0.3, n 10,...,100 .
Gambar 3.1 Grafik pola kekonvergenan model CRR
Gambar 3.2 Grafik pola kekonvergenan model JR
Gambar 3.3 Grafik pola kekonvergenan model Tian
27
Barisan dari (un ) n dan (dn ) n akan konvergen ke satu dengan bertambahnya
refinement n, demikian pula untuk perubahan S n ,n akan mendekati saham awalnya.
Posisi harga akhir opsi senantiasa bersilangan dengan jarak yang semakin kecil.
Sebagai hasilnya, penghitungan harga opsi berosilasi dan bergelombang konvergen
ke solusi Black-Scholes.
Pola kekonvergenan yang ada pada semua model binomial dengan pilihan
parameter acak dapat ditunjukkan dengan nilai distribusi error. Nilai itu diperoleh
dengan cara membandingkan antara solusi formula Black-Scholes dengan solusi dari
perluasan barisan Rn
( Rn ,i )i
1,...,n
untuk setiap model binomialnya.
Untuk melihat kecepatan kekonvergenan, maka diambil satu barisan lattice
tertentu, di mana harga yang diperoleh dari model diskret dan model kontinu tidak
sama, maka akan terdapat error en
diperoleh
lim n
en
c(0, S0 ) cn (0, S0 ) . Dengan teorema limit pusat
0 , yang berarti bahwa harga yang dihitung oleh barisan
lattice konvergen ke solusi Black-Scholes.
Gambar 3.4, 3.5 dan 3.6 adalah grafik yang menunjukkan error dari setiap
nilai perbaikan n beserta batas error yang digambarkan dengan garis lurus pada
model CRR, JR dan Tian. Sumbu-x dan sumbu-y digambarkan dengan skala log.
Contoh untuk suatu pilihan parameter berikut:
S
100, K
110, T
1, r
0.05,
0.3, n 10,...,100
Gambar 3.4 Grafik error dan batas error untuk model CRR
28
Gambar 3.5 Grafik error dan batas error untuk model JR
Gambar 3.6 Grafik error dan batas error untuk model Tian
Dalam kaitan dengan pola gelombang pada perilaku kekonvergenan, maka
akan dideskripsikan suatu pendekatan kecepatan secara formal, yang menggunakan
batas atas untuk error en . Untuk ini digunakan konsep matematika
kekonvergenan”. Untuk menjelaskan masalah tersebut diperlukan
“derajat
pendefinisian
berikut.
Definisi 3.1
Misalkan
f :x
( x K ) adalah fungsi payoff opsi call Eropa. Suatu barisan
lattice konvergen berderajat
0 , jika ada suatu konstanta
0 sedemikian
sehingga
n N : en
n
.
(3.13)
Suatu pendekatan lattice konvergen dengan derajat
S0 , K , r ,
0 , jika untuk semua
, T barisan khusus dari lattice konvergen dengan derajat
0.
Derajat kekonvergenan selalu lebih besar dari nol. Semakin tinggi derajatnya
berarti
semakin
cepat
kekonvergenannya.
Konsep
teoritis
untuk
derajat
29
kekonvergenan tidak tunggal, artinya pendekatan lattice dengan derajat
mempunyai derajat
juga
.
Derajat kekonvergenan sangat mudah diamati pada simulasi, yaitu dengan
menggambarkan error en terhadap perbaikan n pada skala log-log. Karena
log / n
log
gradien
log n , maka fungsi batas
seiring dengan perubahan
menjadi garis lurus dengan
/n
. Garis lurus pada gambar 3.4, 3.5 dan 3.6
minimal melalui satu titik dari nilai error-nya. Nilai log
pada
n 10
menggambarkan letak suatu titik pada sumbu log en yang berpotongan dengan garis
yang bergradien
. Nilai log
untuk masing-masing model di atas untuk n = 10
adalah: model CRR = 0.2482, JR = 0.3248 dan Tian = 0.3375.
Sebagai contoh
ilustrasi, pada gambar 3.4, 3.5, dan 3.6 ditunjukkan bahwa model CRR, JR dan Tian
konvergen berderajat satu karena garis batas untuk en bergradien satu.
Untuk memeriksa kriteria yang lebih spesifik pada penentuan derajat
kekonvergenan untuk pendekatan lattice tertentu diberikan definisi berikut.
Definisi 3.2
Untuk suatu barisan lattice ( Rn ) n N dan untuk semua n
N maka
m1n : E[ Rn ,1 1] E[ Rn ,1 1]
(3.14)
mn2 : E[( Rn ,1 1)2 ] E[( Rn ,1 1)2 ]
(3.15)
mn3 : E[( Rn ,1 1)3 ] E[( Rn ,1 1)3 ]
(3.16)
disebut momen dan
pn : E[(ln Rn ,1 )( Rn ,1 1)3 ]
(3.17)
disebut momen semu.
Untuk sebarang n N dinotasikan Rn
( Rn )n
N
sebagai pendapatan kontinu
antara waktu tin dan tin 1 , yang merupakan varibel acak iid pada ruang peluang
( , F , P ) sedemikian sehingga St n
k
S0
k
i 1
Rn ,i
k
0,..., n.
Momen sebagaimana pada definisi 2 merupakan generalisasi dari momen per
periode. Momen per periode pada pendekatan
diskret tidak sama dengan momen
per periode pada pendekatan kontinu sehingga mengakibatkan adanya error.
30
Implikasi
dari persamaan (3.10), (3.11) dan (3.12)
adalah momen
m1n , mn2 dan mn3 akan konvergen ke nol. Sedangkan dari simulasi diperoleh bahwa
tiga pendekatan lattice yang telah didefinisikan di atas konvergen sangat lemah.
Suatu pendekatan lattice konvergen dengan derajat
0 akan berimplikasi
pada kekonvergenan harga opsi. Akan tetapi, kekonvergenan harga opsi tidak
memberikan
informasi tentang derajat kekonvergenan. Sementara kekonvergenan
yang sesuai dengan momen tidak cukup menjamin kekonvergenan opsi. Pada
pembahasan
ini
akan
ditetapkan
suatu
formula
lain
untuk
menentukan
kekonvergenan harga opsi.
Teorema 3.1
Misalkan ( Rn ) n N barisan lattice dan mn2 , mn3 , pn masing-masing adalah momen
(semu). Derajat kekonvergenan ( Rn ) n
N
merupakan derajat paling kecil yang dimuat
dalam mn2 , mn3 dan pn dikurangi 1, tetapi tidak lebih kecil dari pada 1.
Pembuktian teorema 3.1 ada pada Leisen (1996).
Persepsi lain dari teorema di atas menyatakan bahwa derajat kekonvergenan
dari ( Rn ) n
N
paling sedikit 1. Sehingga derajat kekonvergenan yang dimiliki oleh
momen semu harus lebih dari satu. Selanjutnya agar memberikan kriteria yang lebih
spesifik untuk membandingkan model yang titik perhatiannya pada kecepatan
kekonvergenan, maka diberikan proposisi berikut.
Proposisi 3.1
Pendekatan lattice yang disampaikan Cox, Ross dan Rubinstein (1979) konvergen
dengan derajat 1.
Proposisi 3.2
Pendekatan lattice yang disampaikan Jarrow dan Rudd (1983) konvergen dengan
derajat 1.
Proposisi 3.3
Pendekatan lattice yang disampaikan Tian (1993) konvergen dengan derajat 1.
Pembuktian proposisi 3.1, 3.2, dan 3.3 ada pada Leisen (1996).
Pada gambar 3.7, 3.8 dan 3.9 ditunjukkan
penggunaan simulasi dari
pendekatan lattice CRR, JR, dan Tian. Bagian kiri menunjukkan error dengan pola
gelombang tertentu. Bagian kanan menggambarkan momen semu. Untuk semua
31
model, tingkah laku kekonvergenan dari momen semu sangat halus dan berbanding
lurus dengan barisan (1/ n2 ) n artinya momen tersebut berderajat dua. Ketiga model
tidak
ditemukan
suatu
perbedaan
yang
nyata.
Namun
demikian
derajat
kekonvergenan momen semu dapat disimpulkan secara mudah lewat simulasi.
Menurut teorema 3.1 terdapat kekonvergenan
harga
berderajat satu.
Perbandingan tingkah laku kekonvergenan pada sisi kiri dan kanan pada setiap
gambar, tercatat bahwa derajat kekonvergenan harga opsi melalui momen semu lebih
mudah diamati dari pada melalui gambar error-nya.
Gambar 3.7, 3.8 dan 3.9 adalah grafik yang merupakan ilustrasi dari proposisi
3.1, 3.2, dan 3.3, yang menyatakan perbandingan derajat kekonvergenan dari model
CRR, JR dan Tian dengan derajat kekonvergenan pada momennya, yang diuji untuk
pilihan parameter yang berbeda.
Gambar 3.7 Grafik ilustrasi proposisi 3.1 dengan pilihan parameter berikut:
S 100, K 90, T 1, r 0.05,
0.3, n 10,...,1000
Gambar 3.8 Grafik ilustrasi proposisi 3.2 dengan pilihan parameter berikut:
S 100, K 110, T 1, r 0.05,
0.3, n 10,...,1000
32
Gambar 3.9 Grafik ilustrasi proposisi 3.3 dengan pilihan parameter berikut:
S 100, K 100, T 1, r 0.05,
0.3, n 10,...,1000 .
Gambar 3.7, 3.8,, dan 3.9 menunjukkan bahwa model CRR, JR, dan Tian
konvergen berderajat satu sebab momen kedua, momen ketiga dan momen semu
masing-masing model konvergen berderajat dua. Hal tersebut sesuai dengan
pernyataan pada Teorema 3.1.
3.3 Model Binomial dengan Perbaikan Sifat-Sifat kekonvergenan
Sebelumnya telah dipelajari pengujian perilaku dan kecepatan kekonvergenan
dengan pendekatan lattice. Secara umum definisi dan teorema untuk pengukuran
derajat kekonvergenan telah dibangkitkan. Aplikasi teorema tersebut terhadap model
CRR, JR, dan Tian tidak menunjukkan adanya perbedaan yang signifikan pada
kekonvergenan ke solusi Black-Scholes. Konstruksi perbaikan dengan pendekatan
tree dilakukan untuk menghitung harga opsi agar diperoleh
kekonvergenan yang besar.
kecepatan
Pada dasarnya, kekonvergenan tidak dapat dicapai
dengan dua titik peubah acak. Selanjutnya yang mungkin digunakan adalah sifatsifat struktur lain dari opsinya. Metode ini dikatakan sebagai perluasan pendekatan
lattice, untuk memberikan penekanan perbedaan terhadap pendekatan lattice yang
biasa.
CRR menunjukkan kekonvergenan dari model-model tersebut pada formula
Black-Scholes dengan pengujian
binomial secara terpisah pada (3.9). Hal yang
sama untuk penilaian opsi call Eropa dapat digambarkan sebagai
dari tipe
( a; n, p )
Penghitungan
dua pendekatan
N ( z ) . Pendekatan ini digunakan sebagai awal perbaikan.
peluang
binomial
sangat
sulit
karena
melibatkan
penghitungan beberapa faktorial dari bilangan bulat yang besar atau penjumlahan
33
suatu bilangan
besar dari masing-masing elemen. Oleh karena itu, pendekatan
normal untuk distribusi binomial diturunkan dengan metode pendekatan Peizer dan
Pratt (1968). Metode tersebut mengungkapkan suatu pendekatan yang baik, dengan
peluang kebenaran P dihitung secara binomial yang didekati dengan fungsi normal
standar
N ( z ) . Input ditentukan oleh fungsi z = h( a; n, p ) dengan a adalah
banyiaknya pergerakan naik dari harga saham pada saat eksekusi n periode binomial
dengan
ukuran peluang p . Pada kasus sederhana digunakan teorema Moivre-
Laplace. P 1
dengan
( a; n, p ) didekati oleh P
N[ h( a; n, p) ( a np /( np(1 p))1/ 2 )]
( a; n, p ) merupakan fungsi distribusi binomial dari (3.9).
Harga suatu opsi dapat diselesaikan dalam dua pendekatan yang berbeda.
Penghitungan pada harga opsi binomial menyatakan bahwa elemen dari distribusi
normal didekati dengan elemen dari distribusi binomial. Sehingga untuk perbaikan
tree dari binomial yang diberikan, merupakan kebalikan dari fungsi h( a; n, p ) yang
ditetapkan
P 1
dengan parameter h 1 ( z )
p untuk mendekati P
N ( z ) dengan
( a; n, p ) . Peizer dan Pratt dalam Leisen dan reimer (1996) menurunkan
suatu formula sebagai berikut:
A
Metode Invers Peizer-Pratt 1
h 1 ( z ) 0.5
B
0.25 0.25exp
z
n 1/ 3
2
n
1
2
1
6
Metode Invers Peizer-Pratt 2
1
2
2
h 1( z )
0.5
z
0.25 0.25exp
n
1
3
0.1
( n 1)
n
1
6
Selanjutnya akan paparkan langkah-langkah untuk mengkonstruksi model
binomial baru seperti CRR. Sistem persamaan dibangkitkan untuk menentukan
secara tunggal parameter tree yang menjamin kekonvergenan.
Pertama, menentukan dua komponen pada formula harga pada (3.3) dan
(3.9), d1 dan d 2 merupakan input dari persamaan (3.3) pada h 1 ( z ) dan didapatkan
34
p serta p ' sebagai parameter distribusi dari dua buah komponen binomial pada
(3.9). Nilai h 1 ( z ) diperoleh dengan menggunakan aturan A atau B.
Kedua, dibangkitkan parameter un dan d n dari persamaan (3.9). Ketiadaan
arbitrase mengakibatkan pn
(rn d n )
. Selanjutnya p 'n didefinisikan p 'n
(un d n )
ur
pn .
rn
Dari dua persamaan di atas diperoleh parameter un dan d n . Sehingga diperoleh
model binomial baru yang dituliskan sebagai:
p 'n : h 1 (d1 )
pn : h 1 (d 2 )
un : rn
dn :
p 'n
pn
rn pnu n
ln( K / S 0 ) n ln d n
dan parameter a dirumuskan a:=
.
ln u n ln d n
1 pn
Dengan mengambil nilai S 100, K
110, T
1, r
0.05,
0.3, pada
n 10,...,150 untuk penghitungan harga opsi dan n 10,...,1000 untuk error-relatif,
maka ilustrasi perkembangan harga opsi serta error-relatif model PP1 dan PP2
ditunjukkan pada Gambar 3.10.
Gambar 3.10 Grafik ilustrasi hasil perbaikan konstruksi binomial menggunakan
pendekatan PP1 dan PP2
Gambar 3.10 menunjukkan hasil dengan metode PP1 dan PP2. Penerapan
kedua metode untuk penentuan harga opsi tidak memperlihatkan perbedaan secara
signifikan di antara keduanya. Pemilihan n ganjil sebagai batasan daerah asal, tidak
35
akan berpengaruh pada
hasil penghitungan opsi. Selain itu pendekatan error
menurun secara monoton dengan derajat kekonvergenan dua.
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai untuk parameternya, dengan semua n
bilangan Asli, diperoleh suatu gambar yang menyatakan adanya pola osilasi dari
perkembangan harga opsi. Sedangkan untuk n genap didapatkan
suatu pola
kekonvergenan berupa garis lurus dengan derajat kekonvergenan satu. Metode ini
memperlihatkan adanya perbaikan kekonvergenan untuk penghitungan harga opsi
3.4
Perbandingan Kekonvergenan lima Model Binomial
Untuk melihat perbedaan kelima model binomial tentang perilaku dan
kecepatan kekonvergenan yang ditunjukkan dengan derajat kekonvergenan, maka
ditampilkan perbandingan dari kelima macam model.
Gambar 3.11 memperlihatkan perbandingan pola kekonvergenan model CRR,
JR, Tian, PP1, dan PP2 dengan pilihan parameter berikut:
S
100, K
110, T
1, r
0.05,
0.3, untuk n 10,...,150 , sedangkan model
PP1 dan PP2 dipilih untuk n ganjil.
model CRR
model JR
36
model Tian
model PP1 dan PP2
Gambar 3.11 Perbandingan perilaku kekonvergenan lima model
Gambar 3.12 memperlihatkan perbandingan error dan derajat kekonvergenan
model CRR, JR, Tian, PP1, dan PP2 dengan pilihan parameter berikut:
S
100, K
110, T
1, r
0.05,
0.3 , untuk n 10,...,150 , sedangkan model
PP1 dan PP2 dipilih untuk n ganjil.
model CRR
model Tian
model JR
model PP1 dan PP2
Gambar 3.12 Perbandingan error dan derajat kekonvergenan