Ukuran Penyebaran Data Statistika

Pertemuan keempat
UKURAN PENYEBARAN DATA
Ukuran penyebaran data digunakan untuk melengkapi deskripsi dari sifat-sifat
sekelompok data, terutama dalam membandingkan sifat-sifat yang dimiliki oleh masing-masing
data terhadap kelompoknya atau sifat-sifat sekelompok data dengan kelompok data lainnya.
A. Range
Range adalah selisih antara nilai maksimum (highest value) dengan nilai minimum
(lowest value) dalam suatu gugus data. Range (R) = xn - x1
Contoh
Mencari range untuk data yang sudah dikelompokkan, adalah :
R = Batas bawah kelas terakhir – batas bawah kelas pertama, atau
R = Nilai tengah tertinggi – nilai tengah terendah
Solusi
No
1
2
3
4
5
6
7
Kelas interval
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
fi
1
2
5
15
20
25
5
Σfi = 73
xi
35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5
Berdasarkan tabel di atas :
Batas bawah kelas terakhir = 91
Batas bawah kelas pertama = 31
Maka range : R = 91 – 31 = 60, atau
Nilai tengah tertinggi = 95,5
Nilai tengah terendah = 35,5
Maka range : R = 95,5 – 35,5 = 60
B. Deviasi Kuartil
Deviasi kuartil merupakan selisih nilai kaurtil ketiga (Q3) dengan kuartil kesatu (Q1)
dibagi dua. Untuk menghitung deviasi kuartil data tak berkelompok dan data yang berkelompok
dipakai rumus sebagai berikut :
Contoh
Tentukan deviasi kuartil dari data berikut : 35, 40, 70, 80, 91, 50, 61, 25, 95 !
Solusi
Letak kuartil 1 (Q1) adalah : Q1 = 1(9 + 1) : 4 = 2,5. Jadi kuarti ke 1 terletak diantara data
ke 2 dan ke 3. Maka nilai kuartil 1 adalah data ke 2 + ½ (data ke 3 – data ke 2) = 35 + ½(40
– 35) = 35 + ½(5) = 37,5
Letak kuartil 2 (Q2 adalah Q2 = 2(9 + 1) : 4 = 5. Jadi kuartil ke 2 terletak pada data ke 5
yaitu 61 (nilai kuartil 2 adalah 61)
IBM LENOVO | FE-UWP-STATISTIKA
1
Letak kuartil 3 (Q3) adalah Q3 = 3(9 + 1) : 4 = 7,5. Jadi kuartil ke 3 terletak di antara data ke
7 dan data ke 8, maka kuartil 3 adalah data ke 7 + ½(data ke 8 – data ke 7) = 80 + ½(91 –
80) = 80 + ½(11) = 85,5.
Maka deviasi kuartilnya adalah :
= 24
C. Simpangan Absolut Rata-rata
Simpangan absolute rata-rata adalah jumlah mutlak penyimpangan setiap nilai
pengamatan terhadap rata-rata, dibagi banyaknya pengamatan. Simpangan absolute rata-rata
mencerminkan rata-rata selisih mutlak nilai data terhadap nilai rata-rata.
Untuk data yang tidak dikelompokkan, simpangan absolute rata-rata (MAD) dihitung dari :
Dimana :
Xi = Nilai data ke-i
= Rata-rata hitung
N = Banyaknya observasi
Contoh
Pengeluaran per bulan dari lima orang ibu rumah tangga untuk keperluan biaya hidup (dalam
ratusan ribu rupiah) pada tahun 2010 adalah sebagai berikut : 3; 4; 4,5; 5; 6. Tentukan deviasi
rata-ratanya !
Solusi
=
Untuk data yang dikelompokkan, simpangan absolute rata-rata (MAD) dihitung dari :
Dimana :
Xi = Nilai data ke-i
= Rata-rata hitung
N = Banyaknya observasi
fi = frekuensi kelas ke-i
Contoh
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
Kelas
Interval
53 – 58
59 – 64
65 – 70
71 – 76
77 – 82
83 – 88
89 – 94
95 - 100
Frekuensi
(fi)
2
12
10
23
14
10
5
4
Σ = 80
xi
fi.xi
55,5
61,5
67,5
…
111
738
…
Σ = ……
f.
19,88
13,88
…
39,76
166,56
…
Σ = ……
IBM LENOVO | FE-UWP-STATISTIKA
2
Solusi
Maka
D. R a g a m
Ragam adalah jumlah kuadrat dari selisih nilai observasi dengan rata-rata hitung dibagi
banyaknya observasi.
Untuk populasi, ragam dihitung dengan formula :
Untuk ukuran sampel :
Contoh
Cari SD dari data sebgai berikut : 5, 7, 8, 9, 10, 21 !
Solusi
x
5
7
8
9
10
21
∑ = 60
X-5
-3
…
(X - )2
25
9
…
∑=…
s=
Untuk data yang dikelompokkan formulanya :
Untuk ukuran sampel :
IBM LENOVO | FE-UWP-STATISTIKA
3
Di mana :
Xi = Nilai tengah kelas ke-i
N = Banyaknya data populasi / sampel
Fi = Frekuensi kelas ke-i
Contoh
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
Kelas
Interval
53 – 58
59 – 64
65 – 70
71 – 76
77 – 82
83 – 88
89 – 94
95 - 100
Frekuensi
(fi)
2
12
10
23
14
10
5
4
Σ = 80
xi
fi.xi
55,5
61,5
67,5
…
111
738
…
Σ = ……
2
395,21
192,65
…
2
f.
790,43
2311,9
…
Σ = ……
Maka
Varians = s2 =
Standar deviasi = s =
= …
E. Skor Baku
Skor baku merupakan suatu ukuran relative yang menyatakan penyimpangan data dari
nilai rata-ratanya yang diukur berdasarkan nilai standar deviasinya.
Formula untuk populasi :
Untuk sampel :
F. Koefisien variasi
Koefisien variasi merupakan ukuran variasi relative yang bertujuan membandingkan
variasi dari beberapa gugus data yang mempunyai satuan berbeda.
Koefisien variasi (KV) diperoleh dengan formula :
Untuk ukuran sampel :
G. K u r t o s i s
Kurtosis merupakan tingkat menggunungnya suatu distribusi, yang umumnya
dibandingkan dengan distribusi normal. Bentuk kurtosis, yaitu :
1. Leptokurtic, yaitu distribusi yang berpuncak tinggi dan ekornya relative panjang.
2. Platikurtik, yaitu distribusi yang berpuncak agak mendatar dan ekornya relative
pendek, dan
IBM LENOVO | FE-UWP-STATISTIKA
4
3. Mesokurtik, yaitu distribusi normal, puncaknya tidak begitu tinggi dan tidak begitu
mendatar
Rumus untuk data yang belum dikelompokkan :
Di mana :
= Koefisien kurtosi
= Rata-rata sampel
Xi = Nilai data ke-i
N = Jumlah data
S = Simpangan baku
Rumus untuk data yang sudah dikelompokkan :
Keterangan :
Fi = Frekuensi kelas ke-i
Ketentuan :
= / mendekati 3 : Bentuk Mesokurtik
> 3 : Bentuk Leptokurtik
< 3 : Bentuk Platikurtik
LATIHAN
1. Diketahui data sebagai berikut : 5, 9, 4, 10. Tentukan varians-nya !
2. Seorang peternak ikan hias mempunyai 10 ikan arwana yang dipelihara dan diberi
makanan special. Pada suatu waktu, ikan tersebut ditimbang. Setelah ditimbang ke 10
ikan tersebut mempunyai berat sebagai berikut (dalam gram) : 124, 125, 125, 123, 120,
124, 127, 125, 126, dan 121. Tentukan :
a. Varians
b. Standard deviation
c. Koefisien variasi
3. Besar omzet penjualan sampel acak 70 toko sebuah komplek pertokoan di kota
Surabaya pada bulan Juni 2010, dalam jutaan rupiah disusun sebgai berikut :
Omzet
Banyaknya Toko
penjualan
20 – 29
1
30 – 39
4
40 – 49
7
50 – 59
13
60 – 69
25
70 – 79
15
80 – 89
5
Tentukan :
a. Deviasi rata-rata omzet penjualan 70 toko
b. Standart deviation omzet penjulan 70 toko
c. Koefisien variasi
d. Kurtosisnya
IBM LENOVO | FE-UWP-STATISTIKA
5