Bab 5 Migrasi Planet

Bab 5
Migrasi Planet
Planet-planet raksasa diduga memiliki inti padat yang dibentuk oleh material yang tidak
dapat terkondensasi jika terletak sangat dekat dengan bintang utamanya. Karenanya
sangatlah mungkin jika planet-planet tersebut terbentuk pada daerah yang cukup jauh
dari bintang utamanya dalam nebula dan kemudian bermigrasi selama dan/atau setelah
pembentukannya.
Hingga sekarang terdapat tiga mekanisme yang diusulkan untuk menjelaskan keberadaan planet-planet raksasa yang mengorbit sangat dekat dengan bintang utamanya.
Yang pertama memerlukan interaksi gravitasi setidaknya dari dua planet raksasa dengan
orbit yang saling memotong. Interaksi ini mengakibatkan salah satu planet lepas dan
planet yang lain mendekat ke bintang utamanya. Mekanisme yang kedua sering disebut
dengan ’ketidakstabilan migrasi’. Mekanisme ini berdasarkan pada interaksi resonan antara suatu planet dan sejumlah planetesimal yang berada di interior orbit planet. Interaksi
ini akan mengakibatkan sejumlah planetesimal terlepas dan pada waktu yang bersamaan
planet akan bermigrasi ke orbit yang lebih dekat. Mekanisme yang ketiga berbasiskan
pada interaksi gravitasi antara planet dan gas dalam cakram di mana planet ’terendam’
di dalamnya.
Terdapat tiga tipe migrasi yang terkait dengan mekanisme ketiga:
1. Migrasi tipe I: Berlaku untuk planet dengan massa kecil, planet-planet di bawah 10
M⊕ , di mana cakram memberikan respon linier (Goldreich & Tremaine 1979; Ward
1997).
2. Migrasi tipe II: Berlaku untuk planet dengan massa yang cukup besar, lebih besar
dari sekitar massa Jupiter (Lin & Papaloizou 1986). Planet-planet dengan ukuran
ini akan cukup besar untuk menghasilkan celah (gap).
27
5.1. Persamaan Dasar dan Keadaan Kesetimbangan
28
3. Migrasi tipe III: Disebut juga sebagai runaway migration. Migrasi ini berlaku untuk
planet-planet dengan massa sekitar massa Saturnus sampai ∼1Mjup , dan berada
dalam cakram yang masif (Masset & Papaloizou 2003; Artymowicz 2004).
Dalam semua kasus, migrasi disebabkan oleh pertukaran momentum sudut antara
gerak rotasi gas dalam cakram dan gerak orbital planet akibat torsi gravitasi yang diberikan
oleh planet pada cakram. Migrasi tipe I terjadi akibat transport momentum sudut oleh
gelombang kerapatan yang dieksitasi oleh planet menuju eksterior cakram. Sedangkan migrasi tipe II terjadi akibat disipasi dari gelombang kerapatan pada suatu kejutan (shock)
akibat dari ketidaklinearan di sekitar planet. Migrasi tipe III dihasilkan dari pertukaran
langsung momentum sudut dengan gas yang memotong orbit planet.
5.1
Persamaan Dasar dan Keadaan Kesetimbangan
Jika cakram cukup tipis, yaitu tebal H(r) pada jarak r dari bintang pusat adalah sangat kecil dibandingkan dengan r, maka berbagai variabel yang menguraikan cakram
dapat dirata-ratakan terhadap tebal cakram. Dalam kondisi ini, persamaan gerak (atau
persamaan momentum) dan persamaan kekekalan massa (persamaan kontinuitas) masingmasing dapat dituliskan:
∂v
+ (v·∇)v = −∇P − Σ∇Ψ
Σ
∂t
(5.1)
∂Σ
+ ∇·(Σv) = 0
(5.2)
∂t
dengan v adalah kecepatan aliran, P tekanan rata-rata terhadap tebal cakram, Σ kerapatan massa permukaan dan Ψ potensial gravitasi, di mana kebergantungan pada koordinat
vertikal z diabaikan. Untuk menutup persamaan (5.1) dan (5.2), kita mengambil suatu
persamaan keadaan barotropik:
P = P (Σ)
(5.3)
dan kecepatan suara diberikan oleh:
c2 =
dP
dΣ
(5.4)
Dalam kesetimbangan, cakram memiliki simetri silindrik dan berotasi mengitari bintang pusat dengan kecepatan v = (0, rΩ(r)), di mana Ω adalah kecepatan sudut.
5.2. Linierisasi Persamaan Dasar
29
Keadaan kesetimbangan diganggu oleh suatu planet dengan massa Mp M yang mengelilingi bintang dalam orbit lingkaran dengan radius rp , dan dengan kecepatan sudut:
GM
Ωp rp3
(5.5)
Pada titik (r, ϕ) pada cakram, planet memberikan potensial gravitasi:
GMp
Ψp (r, ϕ, t) = Ψp (r, φ) = − r02 + rp2 + r 2 − 2rrp cos φ
(5.6)
di mana φ = ϕ−Ωp t dan r0 adalah panjang softening, yang diperlukan untuk menghindari
singularitas pada r = rp dan φ = 0 yang digunakan dalam aproksimasi yang mengabaikan
tebalnya cakram.
Dengan kata lain, karena cakram dalam kesetimbangan bersifat stasioner dan memiliki
simetri silinder, maka kita dapat menguraikan Ψp ke dalam deret Fourier terhadap variabel
φ, yaitu:
Ψp (r, φ) =
∞
Ψm (r)cos mφ
(5.7)
m=0
dengan
Ψ0 (r)
Ψm=0 (r) =
1π =
Ψ (r, φ)dφ
π 0 p
2
π
π
0
Ψp (r, φ)cos mφdφ
(5.8)
(5.9)
yang menyatakan komponen radial dari gangguan planet kepada cakram.
5.2
Linierisasi Persamaan Dasar
Apabila planet penggangu mempunyai massa yang cukup kecil, gangguan yang diberikan
terhadap cakram adalah linier. Semua fungsi yang menguraikan cakram dapat dinyatakan
dalam bentuk:
X(r, ϕ, t) + X (r, ϕ, t)
di mana X adalah fungsi dalam kesetimbangan dan X menyatakan gangguan Eulerian.
5.3. Resonansi Lindblad dan Resonansi Korotasi
30
Karena cakram dalam kesetimbangan bersifat simetri silindrik dan stasioner, gangguan dalam deret Fourier terhadap variabel φ dan persamaan-persamaan tersebut dapat
dipecahkan secara independen untuk setiap nilai m.
Kita dapat menuliskan gangguan Eulerian kompleks dalam bentuk:
X (r, ϕ, t) =
∞
Xm
(r)ei(mϕ−ωt)
(5.10)
m=0
Karena itu, gangguan fisis terkait dengan bagian real dari kuantitas kompleks tersebut.
Dengan mensubtitusikan semua variabel gangguan tersebut, maka linierisasi persamaan
(5.1) dan (5.2) memberikan:
d
(Ψm + Wm )
dr
(5.11)
κ2 im vmr = −
(Ψm + Wm )
2Ω
r
(5.12)
imvmϕ
imσ
1 d
(rΣvmr ) −
= 2 Wm
−
rΣ dr
r
c
(5.13)
− 2Ωvmϕ
=−
imσvmr
imσvmϕ
+
di mana σ ≡ Ω − Ωp , W = Σ c2 /Σ adalah gangguan linear dari entalpi dan κ adalah
frekuensi episiklik yang didefinisikan oleh:
κ2 =
2Ω d(r 2 Ω)
r
dr
(5.14)
Dalam cakram Keplerian, κ = ±Ω. Sistem persamaan (5.11) – (5.13) dapat dipecah
, vmϕ
, dan
kan secara numerik dengan syarat batas yang sesuai untuk perhitungan vmr
Wm .
5.3
Resonansi Lindblad dan Resonansi Korotasi
Persamaan yang mengandung gangguan linier semacam (5.11) – (5.13) pada mulanya
digunakan untuk memodelkan struktur spiral dalam galaksi. Lynden-Bell dan Kalnajs
(1972) menyelidiki mekanisme yang membangkitkan struktur spiral tersebut di mana terjadi transfer momentum sudut keluar dari galaksi. Torsi gravitasi membawa momentum
sudut keluar hanya dalam bentuk struktur spiral. Mereka mendapati bahwa kehadiran
gelombang kerapatan akan mengurangi momentum sudut di bagian dalam, namun momentum sudut meningkat di bagian luar.
5.3. Resonansi Lindblad dan Resonansi Korotasi
31
Eksitasi gelombang kerapatan ini kemudian dipelajari secara lebih terperinci oleh Goldreich dan Tremaine (1979) untuk suatu galaksi dengan gangguan gravitasi dari sumber
eksternal. Menurut Goldreich dan Tremaine (1979), persamaan momentum yang dilinierisasi memberikan komponen kecepatan gangguan dalam arah radial (menggunakan notasi
mereka):
d
+
u1 = − Di (mΩ − ω) dr
2mΩ
r
(ϕ1 + ϕD
1 + η1 )
dan dalam arah azimutal:
1
d
m
2B + (mΩ − ω) (ϕ1 + ϕD
v1 =
1 + η1 )
D
dr
r
(5.15)
D = κ2 − (mΩ − ω)2
(5.16)
di mana
Substitusikan komponen persamaan ini ke dalam persamaan kontinuitas, maka akan
didapati persamaan diferensial orde kedua berbentuk:
d2
d
σr
+
ln
2
dr
dr
D
2mΩ
d
d
σr
+
ln
dr r(mΩ − ω) dr
D
m2
Dη1
− 2 (ϕ1 + ϕD
1 + η1 ) =
r
c2
(5.17)
Persamaan ini jelas mengandung singularitas untuk mω − Ω = 0 (yaitu pada r = rp , atau
disebut resonansi korotasi) dan untuk D = 0 (atau disebut resonansi Lindblad).
Seperti juga resonansi korotasi, resonansi Lindblad terjadi saat D di persamaan (5.17)
memiliki nilai nol. Solusi menghilang dengan cepat di sekitar resonansi korotasi dan
menjadi beriak dari orbit planet di luar posisi yang disebut dengan resonansi Lindblad
efektif yang merupakan titik balik (berbeda dengan resonansi korotasi yang merupakan
singularitas). Resonansi ini diberikan oleh radius ref f yang diberikan oleh:
κ2 − m2 σ 2 +
m2 c2
=0
r2
(5.18)
Karena c ΩH, suku ketiga di ruas kiri dapat diabaikan terhadap kedua suku pertama
apabila m ≤ r/H, dan titik-titik balik berhimpit dengan resonansi Lindblad biasa, di sini
disebut nominal, untuk membedakan dengan resonansi efektif.
Resonansi Lindblad adalah radius rLR di mana κ2 −m2 σ 2 = 0, yaitu di mana frekuensi
gangguan dalam acuan yang berotasi dengan fluida, −mσ, sama dengan frekuensi ±κ
dari osilasi bebas (epicycle) dari gas dalam cakram. Untuk setiap nilai m, resonansi
Lindblad internal adalah radius yang lebih kecil dari rp , jika terdapat di mana mσ = −κ.
5.4. Torsi
32
Untuk m > r/H terdapat penyimpangan antara resonansi Lindblad efektif dan nominal.
Hal ini akan memberikan konsekuensi penting bagi torsi gravitasi yang diberikan oleh
planet kepada cakram. Gangguan pada resonansi menjalar menuju limit (internal dan
eksternal) dari cakram dalam bentuk gelombang kerapatan, yaitu gelombang akustik
yang dimodifikasi oleh rotasi.
5.4
Torsi
Torsi yang diberikan planet pada cakram antara radius r1 dan r2 adalah:
T(r1 , r2 ) =
∞
Tm (r1 , r2 )
(5.19)
m=0
dengan, dalam rezim Linier
Tm (r1 , r2 ) = −
r2 2π
r1
0
Re[Σ + Σm eim(ϕ−Ωp t) ]r×Re[∇(Ψm eim(ϕ−Ωp t) )]rdϕdr
(5.20)
Dari periodisitas dalam ϕ, suku orde pertama adalah nol, dan torsi hanya memiliki komponen vertikal yang dituliskan:
Tm (r1 , r2 ) = 2π
r2
r1
m
Im(Σ∗
m Ψm )rdr
2
(5.21)
Pada interior resonansi Lindblad efektif dan pada r = rp , tanggapan cakram menghilang dan sefase dengan gangguan, dalam hal Σ∗
m Ψm adalah real. Di luar resonansi Lindblad efektif, panjang gelombang gangguan kecil dibandingkan skala terhadap potensial
pengganggu bervariasi, sehingga integral dari rΣ∗
m Ψm terhadap radius kecil.
Torsi yang diberikan pada resonansi Lindblad efektif adalah positif pada r > rp dan
negatif pada r < rp . Pada kenyataannya, partikel yang terletak pada r > rp memiliki
kecepatan sudut lebih kecil dari kecepatan planet. Akibatnya, mereka mendapatkan momentum sudut selama interaksi dengan planet. Sebaliknya, partikel yang terletak pada
r < rp dan memiliki kecepatan sudut lebih besar, akan kehilangan momentum sudut.
Potensial pengganggu Ψm semakin dilokalisasi di sekitar rp perlahan-lahan sehingga m
meningkat, dan resonansi Lindblad efektif tetap dilokalisasi pada suatu jarak berhingga
rp . Torsi antara potensial dan gangguan menjadi hilang. Ini yang disebut dengan torsi
cutoff.
5.4. Torsi
33
Tidak ada akumulasi momentum sudut di sekitar resonansi Lindblad: gelombang
kerapatan memindahkan semua momentum sudut menuju eksterior cakram. Torsi yang
diberikan oleh planet kepada cakram ditumpuk dalam cakram pada resonansi tersebut.