BAB 10 ALJABAR PROPOSISI

BAB 10 ALJABAR PROPOSISI
 KALIMAT DEKLARATIF(Statements)
 KATA PENGHUBUNG (Connectives)
 KONJUNGSI (Conjunction)
 DISJUNGSI (Disjunction)
 NEGASI (Negation)
 CONDISIONAL
 BICONDISIONAL
 BOOLEAN POLYNOMIAL
 TABEL KEBENARAN (Truth Table)
 TAUTOLOGI (Tautology)
 KONTRADIKSI (Contradiction)
 EKIVALEN LOGIC (Logical Equivalence)
 ALJABAR PROPOSISI (Algebra of Proposition)
 IMPLIKASI LOGIK (Logical Implication)
KALIMAT DEKLARATIF
 Dinyatakan dengan huruf-huruf p, q, r
 Sifat dasar dari kalimat deklaratif adalah :
 Bisa Benar (True, T) atau Salah (False, F)
 T dan F disebut harga kebenaran (Truth Value)
 Tidak bisa keduanya (benar dan juga salah)
 p = “Amir sakit”
q = “Amir sudah tua” (statements)
 r = “ Kemana kamu pergi “ (bukan statement)
 Kalimat deklaratif dapat digabungkan dengan berbagai kata-kata
penghubung menjadi pernyatan komposit
 Amir sakit atau Amir sudah tua
 Amir sakit dan Amir sudah tua
 Harga kebenaran dari suatu pernyataan komposit tergantung pada
harga kebenaran dari masing-masing pernyataan penyusunnya
KONJUNGSI
• Diketahui pernyataan-pernyataan p dan q
• Konjungsi menggunakan kata penghubung 
• Pernyataan komposit dengan konjungsi ditulis p  q
– Amir sakit dan Amir sudah tua
– A  B = {x | x  A  x  B }
• Harga kebenaran dari pernyataan komposit hanya benar (T)
bila harga kebenaran dari kedua pernyataan penyusunnya
benar
p
q
pq
F
F
T
T
F
T
F
T
F
F
F
T
DISKONJUNGSI
• Diketahui pernyataan-pernyataan p dan q
• Diskonjungsi menggunakan kata penghubung 
• Pernyataan komposit dengan konjungsi ditulis p  q
– Amir sakit atau Amir sudah tua
– A  B = {x | x  A  x  B }
• Harga kebenaran dari pernyataan komposit hanya salah (F)
bila harga kebenaran dari kedua pernyataan penyusunnya
salah
p
T
q
F
pq
T
F
T
F
T
T
F
T
T
F
NEGASI
• Diketahui suatu pernyataan p
• Negasi menggunakan kata penghubung ~
• Negasi dari suatu pernyataan ditulis ~ p
– Amir tidak (not) sakit
– Harga kebenaran dari negasi suatu pernyataan selalu
berlawanan dengan harga kebenaran dari pernyataan
asalnya
p
T
~p
F
F
T
KONDISIONAL
• Diketahui pernyataan-pernyataan p dan q
• Condisional menggunakan kata penghubung 
• Pernyataan komposit dengan kondisional ditulis p  q
– Bila Amir sakit maka Amir sudah tua
– Bila p maka q (if p then q)
• Harga kebenaran dari pernyataan komposit selalu benar (T)
kecuali jika p benar dan q salah
p
q
p q
T
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
F
BIKONDISIONAL
• Diketahui pernyataan-pernyataan p dan q
• Condisional menggunakan kata penghubung 
• Pernyataan komposit dengan kondisional ditulis p  q
– Bila Amir sakit jika dan hanya jika Amir sudah tua
– p jika dan hanya jika q (p if and only if q)  p iff q
• Harga kebenaran dari pernyataan komposit hanya benar (T)
bila p dan q mempunyai harga kebenaran yang sama
p
q
pq
T
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
POLINOMIAL BOOLE
• Dalam aljabar biasa (ordinary algebra) suatu polinomial dibentuk
menggunakan operasi-operasi penjumlahan, perkalian dan perbedaan
dari variabel-variabel x dan y
f(x,y)= x x – x  y + y  y  y + x  x = 2 x2 – xy + y3
g(x,y) = (x-y)  (x+y) = x2 - y2
f(2,3) = 2 2 – 2  3 + 3  3  3 + 2  2 = 4 – 6 + 27 + 4 = 29
g (3,1) = (3-1)  (3+1)=2  4 = 8
• Operasi-operasi dapat juga dilakukan pada polinomial
– f(x,y) – g(x,y)
f(x,y)  g(x,y)
• Bila variabelnya adalah pernyataan-pernyataan maka polinomial yang
dibentuk dengan berbagai kata penghubung disebut polinomial Boole
(Boolean polynomial)
– f(p,q) = ~ p  (p  q) g(p,q) = (p  ~ q)  q
– f(p,q)  g(p,q) = [~ p  (p  q)] [(p  ~ q)  q]
PROPOSISI DAN TABEL KEBENARAN
• Suatu proposisi yang dinyatakan dengan :
P(p,q,….), Q(p,q,….), ……atau
P,Q,…. Adalah polinomial Boole dalam variabel p,q,….
• Untuk menentukan harga kebenaran dari suatu proposisi
dapat digunakan Tabel Kebenaran (Truth Table)
– Tabel kebenaran dari Proposisi ~ (p  ~q) adalah :
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
~q
F
T
F
T
p ~q
F
T
F
F
~ (p  ~q)
T
F
T
T
• Caralain untuk menentukan tabel kebenaran ~ (p  ~q)
p
T
T
q
T
F
F
F
Langkah
T
F
p
T
q
T
T
F
F
T
F
Langkah
F
~
(p
T
T

~
F
F
1
~
(p
T
q)
T
F
T
F
1

~
F
q)
T
T
F
T
F
F
T
F
1
T
2
F
1
p
T
T
F
F
Langkah
q
T
F
T
F
~
(p
T
T
F
F
1

F
T
F
F
3
~
F
T
F
T
2
q)
T
F
T
F
1
p
T
T
F
q
T
F
T
~
T
F
T
(p
T
T
F

F
T
F
~
F
T
F
q)
T
F
T
F
Langkah
F
T
4
F
1
F
3
T
2
F
1
TAUTOLOGI DAN KONTARDIKSI
• Suatu proposisi P(p,q,…) disebut tautologi bila selalu benar
untuk sembarang pernyataan po, qo,….
p
T
F
~p
F
T
p  ~p
T
T
•Suatu proposisi P(p,q,…) disebut kontradiksi bila selalu salah
untuk sembarang pernyataan po, qo,….
p
T
F
~p
F
T
p  ~p
F
F
(p  q)  (q  r)  (p  r) adalah tautologi
p q r
T T T
T T F
T F T
T F F
F T T
F T F
F F T
F F F
Langkah
(p  q)
T T T
T T T
T F F
T F F
F T T
F T T
F T F
F T F
1 2 1

T
F
F
F
T
F
T
T
3
(q 
T T
T F
F T
F T
T T
T F
F T
F T
1 2
r)
T
F
T
F
T
F
T
F
1
 (p 
T T T
T T T
T T T
T T F
T F T
T F T
T F T
T F T
4 1 2
r)
T
F
T
F
T
F
T
F
1
EKIVALEN LOGIK
• Dua proposisi P(p,q,…) dan Q(p,q,….) disebut ekivalen
logic bila keduanya mempunyai tabel kebenaran yang sama
P(k,q,…) = Q(p,q,…)
p
q
p q
qp
pq
T
(p q) ( q 
p)
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
F
T
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
T
ALJABAR PROPOSISI
• Proposisi berikut adalah ekivalen logik
ppp
(p  q)  r  p  (q  r)
pqqp
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
pfp
pt t
p~p t
~~p p
~(p q)  ~ p  ~ q
ppp
(p  q)  r  p  (q  r)
pqqp
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
ptp
pff
p~pf
~t  f, ~ f  t
~(p  q)  ~ p  ~ q
HUKUM-HUKUM ALJABAR PROPOSISI
• Proposisi berikut adalah ekivalen logik
PPP
(P  Q)  R  P  (Q  R)
PQQP
P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R)
PFP
PT T
P~P T
~~P P
~(P Q)  ~ P  ~ Q
Hukum Idem
Hukum Asosiatif
Hukum Komutatif
Hukum Distributif
Hukum Identitas
Hukum Identitas
Hukum Komplemen
Hukum Komplemen
Hukum De Morgan
Hukum Idem
Hukum Asosiatif
Hukum Komutatif
Hukum Distributif
Hukum Identitas
Hukum Identitas
Hukum Komplemen
Hukum Komplemen
Hukum De Morgan
PPP
(P  Q)  R  P  (Q  R)
PQQP
P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R)
PFP
PT T
P~P T
~~P P
~(P Q)  ~ P  ~ Q
IMPLIKASI LOGIK
• Misalkan P(p,q,…) dan Q(p,q,….)adalah proposisi. Maka
tiga kondisi di bawah ini adalah ekivalen
(1) ~ P(p,q,…)  Q(p,q,…) adalah tautologi
(2) P(p,q,…)  ~ Q(p,q,…) adalah kontradiksi
(3) P(p,q,…)  Q(p,q,…) adalah tautologi
•Suatu proposisi P(p,q,…) disebut implikasi logik ke
proposisi Q(p,q,….) dinyatakan dengan :
P(p,q,…)  Q(p,q,….)
Bila satu dari ketiga kondisi di atas berlaku