pendahuluan - WordPress.com

PENDAHULUAN
1. Himpunan
Definisi 1.
Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang
dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari
himpunan.
Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital seperti A, B, D,
dsb. Sementara untuk menyatakan setiap elemennya digunakan huruf kecil
seperti a, b, c, dsb. Himpunan biasanya disajikan dengan beberapa cara
sebagai berikut:
1. Enumerasi
Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Setiap elemen dipisahkan
dengan tanda koma dan ditutup dengan tanda { }. Misalnya: Himpunan empat
bilangan asli pertama; A = {1, 2, 3, 4}. Metode enumerasi pada dasarnya
digunakan untuk himpunan yang terbatas dan tidak terlalu besar. Namun
demikian, untuk himpunan yang besar dan jumlah elemennya tidak terbatas
dapat digunakan tanda ellipsis “...” .
Misalnya: Himpunan alfabet ditulis
dengan {a, b, c, ..., z}.
2. Simbol-Simbol baku
Beberapa himpunan khusus dituliskan dengan simbol-simbol yang sudah
baku. Diantaranya: P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, ...}; N =
himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, ...}; Z = himpunan bilangan bulat = {..., -2, -1,
0, 1, 2, ...}; Q = himpunan bilangan rasional; R = himpunan bilangan riil; C =
himpunan bilangan kompleks.
1 | Analisis Real 1
@Aswad 2014
http://aswhat.wordpress.com/
3. Notasi pembentuk himpunan
Himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh
setiap anggotanya. Notasi: { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}. Misalnya:
A adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5, ditulis A = {
x | x bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5} atau A = {x | x ∈ P, x < 5}.
4. Diagram venn
Diagram venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara ini dikenalkan oleh
matematikawan inggris bernama John Venn pada tahun 1881. Misalnya:
Diketahui: U = {1, 2, ..., 8}, A = {1, 2, 3, 5}, dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram venn-nya adalah
Gambar 1.
Definisi 2.
Sebuah himpunan dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat n elemen
berbeda, dengan n bilangan bulat positif. Sebaliknya himpunan tersebut
dinamakan tak-berhingga (infinite set).
Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di
dalam A disebut kardinal dari himpunan A, dinotasikan dengan n(A) atau |A|.
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}. Maka n(A) = 4, dengan elemen-elemen A (yang
berbeda) adalah 1, 2, 3, 4.
Himpunan tak behingga mempunyai kardinal tak berhingga pula. Sebagai
contoh himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tak berhingga
maka n(R) = ∞.
2 | Analisis Real 1
@Aswad 2014
http://aswhat.wordpress.com/
Definisi 3.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki elemen, atau
dengan kata lain kardinalitasnya sama dengan 0.
Himpunan kosong dinotasikan dengan { } atau ∅. Misalnya ∅ = {x | x ≠ x}.
Definisi 4.
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B, A ⊆ B,
jika dan hanya jika setiap elemen di A merupakan elemen di B.
Pada Definisi 4, A disebut subset dari B atau B adalah superset dari A.
Contoh 1.
Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka A ⊆ B.
Misalkan K = {a, b, c}, L = {b, c, a}, maka K ⊆ L dan L ⊆ K. Atau dengan kata
lain A = B. ■
Perhatikan bahwa A ⊆ B tidak sama dengan A ⊂ B. A ⊆ B berarti bahwa A
adalah subset dari B dan memungkinkan A = B. Sedangkan A ⊂ B berarti
bahwa A adalah subset dari B tetapi A ≠ B.
Jika A ⊆ B maka A ⊂ B dan A = B
Jika A ⊂ B maka A ⊂ B dan A ≠ B
Contoh 2.
Misalkan X = {4, 5, 6} dan Z = { 4, 5, 6, 7, 8}. Tentukan semua kemungkinan
himpunan Y sedemikian sehingga X ⊂ Y dan Y ⊂ Z.
Penyelesaian:
Karena X ⊂ Y dan Y ⊂ Z, berarti Y harus mengandung semua elemen X dan
sekurang-kurangnya satu elemen dari Z. Dengan demikian: Y = {Y1, Y2}
dengan Y1 = {4, 5, 6, 7} dan Y2 = {4, 5, 6, 8}. ■
3 | Analisis Real 1
@Aswad 2014
http://aswhat.wordpress.com/
Definisi 5.
Dua buah himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika setiap
elemen di A juga elemen di B dan setiap elemen di B juga elemen di A. Atau
dengan katalain A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A.
Contoh 3.
 Jika A = {0, 1} dan B = {x | x(x – 1) = 0}, maka A = B
 Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 1, 4, 2}, maka A ⊆ B dan B ⊆ A sehingga A =
B = {1, 2, 3, 4}. ■
Definisi 6.
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika
kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi: A ≈ B ⟺ n(A) = n(B).
Contoh 4.
Misalkan A = {1, 3, 5, 7} dan B = {a, b, c, d}. Maka A ≈ B karena n(A) = n(B) = 4.
■
Definisi 7.
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau disjoint (notasi: A // B)
jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
Contoh 5.
Jika A = {x | x ∈ P, x < 8} dan B = {10, 20, 30, ...}, maka A // B. ■
Definisi 8.
Himpunan kuasa atau power set dari himpunan A adalah suatu himpunan
yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A termasuk
himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri. Notasi: P(A) = {X | X ⊆ A}.
4 | Analisis Real 1
@Aswad 2014
http://aswhat.wordpress.com/
Contoh 6.
 Misalkan A = {a}, maka P(A) = {∅, {a}}.
 Misalkan B = {a, b}, maka P(B) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}. ■
Secara umum, jika n(A) = x, dengan A suatu himpunan, maka n(P(A)) = 2x.
Operasi terhadap himpunan akan menghasilkan suatu himpunan baru.
Operasi dasar yang biasa digunakan adalah operasi irisan (intersection),
gabungan (union), komplemen, selisih (difference), perkalian kartesian
(cartesian product), dan beda-setangkup (symmetric difference).
Definisi 9.
Misalkan A dan B adalah dua buah himpunan. Maka:
a. Irisan dari A dan B: A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}
b. Gabungan dari A dan B: A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}.
c. Pengurangan A oleh B: A\B = A – B = {x | x ∈ A dan x ∉ B} = A ∩ Bc
d. Komplemen dari A; Ac = {x | x ∈ U dan x ∉ A}
e. Hasil kali kartesian (cartesian product): A x B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B}
Definisi 10.
Misalkan An, dengan n ∈ ℕ, adalah sekelompok himpunan. Maka:

An   x | x  An untuk n  
1
5 | Analisis Real 1
@Aswad 2014
http://aswhat.wordpress.com/
2. Fungsi
Definisi 11.
Misalkan A dan B suatu himpunan. Fungsi dari A ke B adalah sebuah relasi
yang memetakan setiap a ∈ A ke tepat satu b ∈ B.
Notasi fungsi: f : A → B. Artinya, f adalah fungsi yang memetakan setiap
anggota di A ke tepat satu anggota di B.
Himpunan A disebut domain/daerah asal, B disebut kodomain / daerah
kawan, dan himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan setiap
anggota di A disebut range / daerah hasil.
Definisi 12.
Misalkan f : A → B adalah suatu fungsi dari A ke B.
a. Fungsi f disebut injektif / satu-satu jika untuk semua x1, x2 ∈ A dengan
f(x1) = f(x2) maka x1 = x2. Atau jika x1 ≠ x2 maka f(x1) ≠ f(x2).
b. Fungsi f disebut surjektif / pada / on-to jika ∀b ∈ B ∃1 a ∈ A ∋ f(a) = b.
c. Fungsi f disebut bijektif apabila f injektif dan surjektif.
Contoh 7.
 f : ℤ → 2ℤ dengan f (x) = 4x, ∀ x ∈ ℤ, merupakan fungsi satu-satu.
 g : ℝ → ℝ dengan g(x) = x2, ∀ x ∈ ℝ, bukan merupakan fungsi satu-satu,
karena g(2) = 4 = g(-2), tetapi 2 ≠ -2.
 h: A → B, dengan A = {x ∈ ℝ | x ≠ 1}, B = {y ∈ ℝ | y ≠ 2}, dan h(x) = 2x/(x –
1) merupakan fungsi bijektif ■
Definisi 13.
Misalkan f: A → B adalah bijektif, maka terdapat g = {(b, a) ∈ B x A | (a, b) ∈ f}
yang merupakan fungsi dari B ke A. Fungsi g tersebut disebut dengan fungsi
invers dari f, ditulis f -1.
6 | Analisis Real 1
@Aswad 2014
http://aswhat.wordpress.com/
Contoh 8.
Invers dari fungsi h(x) = 2x/(x – 1) adalah h-1(y) = y/y – 2 atau h-1(x) = x/x –
2. ■
Definisi 14.
Jika f: A → B dan g: B → C, dan R(f) ⊆ D(g) = B, maka g o f adalah fungsi
komposisi dari A ke C yang didefinisikan oleh
g o f(x) = g(f(x)), ∀ x ∈ A.
Contoh 9.
Diketahui f(x) = 2x dan g(x) = 3x2 – 1, untuk x ∈ ℝ.
Karena D(g) = ℝ dan R(f) ⊆ ℝ = D(g), maka domain D(g o f) juga = ℝ.
Sehingga:
g o f (x) = g(f(x)) = g(2x) = 12x2 – 1.
f o g (x) = f(g(x)) = f(3x2 – 1) = 6x2 – 2
Jelas g o f (x) ≠ f o g (x). ■
7 | Analisis Real 1
@Aswad 2014
http://aswhat.wordpress.com/