teori perron-frobenius untuk matriks stokasti dan rantai markov

BAB II : LANDASAN TEORI
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas beberapa teori matematika keuangan dan statistika yang
mendukung dalam penurunan formula Lookback Options pada Bab III dan pembuatan
program pada Bab IV. Teori-teori yang akan dibahas berupa asset, dinamika harga
saham, distribusi normal dan lognormal, teorema limit pusat, random walk dan gerak
Brown, gerak Brown Geometrik, model harga saham, lemma Ito, formula BlackScholes, derivatives, opsi, lookback options, dan metode binomial. Teori-teori yang
telah disebutkan sebelumnya nantinya tidak akan disinggung lagi pada bab-bab
selanjutnya namun akan langsung diterapkan dalam analisis maupun komputasinya.
2.1
Asset
Asset adalah objek keuangan (finansial) yang nilainya sekarang diketahui dan
dapat berubah di masa datang, misalnya saham, komoditas, dan mata uang.
Harga dari asset-asset ini berfluktuasi dan terkadang mengalami fluktuasi yang
sangat besar. Jika seseorang dapat mengantisipasi fluktuasi harga ini maka
orang tersebut dapat menghasilkan uang dengan sangat cepat. Adapun yang
dimaksud dengan asset dalam tugas akhir ini adalah saham, khususnya saham
yang tidak memberikan dividen.
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik
Yohanna (10103030)
5
BAB II : LANDASAN TEORI
2.2
Dinamika Harga Saham
Pergerakan harga saham dikatakan mengikuti suatu proses stokastik bila
nilainya berubah setiap saat dalam ketidakteraturan. Proses stokastik merupakan
barisan peubah acak X t dengan t sebagai indeks parameter atas suatu himpunan
indeks Τ (Dalam kasus ini, parameter t merepresentasikan waktu). Untuk
kemudahan, kita akan gunakan notasi X ( t ) dibandingkan X t . Jika himpunan
indeks Τ diskrit maka proses stokastik
{ X ( t ) , t ∈ Τ}
disebut proses stokastik
diskrit sedangkan bila Τ kontinu maka disebut sebagai proses stokastik
kontinu. Pada kenyataannya, harga saham berubah hanya pada saat-saat tertentu
(diskrit) selama pasar saham dibuka. Untuk kemudahan, asumsikan set indeks
Τ adalah kontinu.
Proses Markov adalah suatu proses stokastik, diberikan nilai X s maka nilai dari
X t , t > s hanya bergantung terhadap X s dan bukannya terhadap X u , u < s .
Misalkan harga saham mengikuti Proses Markov maka hanya harga saham saat
inilah yang relevan digunakan untuk menaksir harga saham di masa datang.
Proses Markov ini sesuai dengan keadaan pasar saham yang mengasumsikan
bahwa harga saham saat ini sudah mengandung informasi-informasi dari masa
lampau dan suatu hal yang tidak relevan untuk menaksir harga saham di masa
mendatang dengan menggunakan pola lintasan harga-harga saham masa
lampau.
2.3
Distribusi Normal dan Lognormal
Fungsi padat peluang dari suatu peubah acak yang berdistribusi normal dengan
rata-rata μ dan variansi σ 2 adalah
⎛ 1 ⎛ x − μ ⎞2 ⎞
1
f ( x) =
exp ⎜ − ⎜
⎜ 2 ⎝ σ ⎟⎠ ⎟⎟
σ 2π
⎝
⎠
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik
Yohanna (10103030)
6
BAB II : LANDASAN TEORI
Jika peubah acak normal tersebut memiliki nilai rata-ratanya adalah 0 dan
variansinya adalah 1 maka disebut sebagai peubah acak normal standar. Fungsi
padat peluang dan fungsi distribusi dari peubah acak normal standar berturutturut dinyatakan oleh n ( x ) dan N ( x ) , yakni
n ( x) =
⎛ x2 ⎞
1
exp ⎜ − ⎟ ,
2π
⎝ 2 ⎠
1
N ( x) =
2π
⎛ t2 ⎞
∫−∞ exp ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ dt.
x
Jika x berdistribusi normal dengan rata-rata μ x dan variansi σ x2 , maka z = e x
dikatakan berdistribusi lognormal. Fungsi padat peluang lognormal adalah
g (z) =
1
xσ x
⎛ 1 ⎛ ln z − μ ⎞2 ⎞
x
exp ⎜ − ⎜
⎟ ⎟
⎜
2⎝ σx ⎠ ⎟
2π
⎝
⎠
dan nilai rata-rata dan variansinya berturut dinyatakan oleh μ z dan σ x 2 , yakni
⎛
μ z = exp ⎜ μ x +
⎝
σ x2 ⎞
⎟,
2 ⎠
σ z2 = exp ( 2μ x + σ x2 ) ⎡⎣ exp (σ x2 ) − 1⎤⎦ .
2.4
Teorema Limit Pusat
Teorema Limit Pusat menyatakan bahwa sejumlah besar dari peubah acak yang
saling bebas dan memiliki distribusi peluang yang sama akan mendekati peubah
acak normal.
Untuk lebih jelasnya, misalkan X1 , X 2 ,... adalah barisan dari peubah acak yang
identik dan saling bebas dengan rata-rata dan variansinya masing-masing adalah
μ dan σ 2 dan misalkan
n
Sn = ∑ X i .
i =1
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik
Yohanna (10103030)
7
BAB II : LANDASAN TEORI
Teorema. “ Untuk nilai n yang sangat besar, Sn akan menghampiri peubah
acak normal dengan rata-rata nμ dan variansi nσ 2 . Hasilnya, untuk setiap x
sembarang diperoleh
⎧ S − nμ
⎫
P⎨ n
≤ x ⎬ ≈ Φ(x )
⎩ σ n
⎭
dan hampiran yang diperoleh menjadi lebih akurat seiring dengan bertambah
besarnya nilai n. “
2.5
Random Walk dan Gerak Brown
Sesuai dengan namanya, random walk berarti gerak yang random (acak) dan
biasanya di dalam keuangan digunakan untuk mendeskripsikan pergerakan dari
harga saham. Harga saham dikatakan mengikuti random walk yang dikatakan
sebagai gerak Brown karena keacakannya. Berikut akan diterangkan mengenai
random walk satu dimensi.
Misalkan terdapat partikel pada titik pusat sumbu-x. Si partikel hanya dapat
melompat ke kiri atau ke kanan sejauh jarak yang sama, yakni δ . Definisikan
xi adalah peubah acak posisi partikel yang bernilai δ atau −δ ketika partikel
bergerak ke kanan atau ke kiri pada saat ke-i. Asumsikan bahwa peluang dari
lompatan ke kanan dan ke kiri tidak pernah berubah atau dengan kata lain,
selalu sama untuk setiap saat. Tuliskan peluangnya sebagai
Pr ( xi = δ ) = p,
Pr ( xi = −δ ) = q,
dengan p + q = 1 , p dan q saling bebas terhadap i. Tiap lompatan saling bebas
sehingga peubah acak xi saling bebas juga. Definisikan peubah acak
X n = x1 + x2 + ... + xn ,
yang menyatakan posisi si partikel pada saat langkah ke–n. Nilai ekspektasi dari
xi adalah
E ( xi ) = δ p − δ q = ( p − q ) δ , i = 1, 2,..., n,
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik
Yohanna (10103030)
8
BAB II : LANDASAN TEORI
dan karena xi saling bebas maka kita peroleh
⎛ n ⎞ n
E ( X n ) = E ⎜ ∑ xi ⎟ = ∑ E ( xi ) = n ( p − q ) δ .
⎝ i =1 ⎠ i =1
Variansi dari xi adalah
2
2
2
var ( xi ) = ⎡δ 2 p + ( −δ ) q ⎤ − ⎡⎣ E ( xi ) ⎤⎦ = δ 2 − ( p − q ) δ 2 = 4 pqδ 2 ,
⎣
⎦
sehingga
var ( X n ) = 4 pqδ 2 n .
Dengan mengambil jarak pindah sekecil mungkin dari random walk di atas
maka dapat dihasilkan gerak Brown satu dimensi. Gerak Brown pertama kali
diamati oleh seorang ahli botani, Robert Brown, pada tahun 1827. Beliau
mendeskripsikan adanya gerak tak sewajarnya oleh suatu partikel yang
terdispersi di dalam zat cair atau gas. Penjelasan mengenai gerak ini pertama
kali dikemukakan oleh Albert Einstein pada tahun 1905. Gerak Brown pertama
kali dikenalkan oleh matematikawan Perancis, Bachelier, pada tahun 1900 yang
menggunakannya dalam disertasi doktornya untuk memodelkan pergerakan
harga saham dan komoditas.
Definisi. Proses Stokastik
{ X ( t ) , t ≥ 0}
disebut Gerak Brown dengan
koefisien drift μ dan parameter variansi σ 2 apabila:
1. Setiap inkremen X ( t + s ) − X ( s ) berdistribusi normal dengan rataan μt
dan variansi σ 2t ; μ dan σ bernilai konstan.
2. Untuk setiap t1 < t2 < ... < tn , inkremen X ( t2 ) − X ( t1 ) ,..., X ( tn ) − X ( tn −1 )
adalah peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi seperti yang tertera
pada poin (a). { X ( t ) , t ≥ 0} memiliki inkremen stasioner dan saling bebas.
3. X ( 0 ) = 0 dan lintasan dari X ( t ) adalah kontinu.
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik
Yohanna (10103030)
9
BAB II : LANDASAN TEORI
2.6
Gerak Brown Geometrik
Gerak Brown dan gerak Brown Geometrik sama-sama memegang prinsip
bahwa harga saham masa mendatang hanya bergantung pada harga saham saat
ini. Pada gerak Brown, selisih harga sahamlah yang berdistribusi normal
sedangkan pada gerak Brown Geometrik logaritma dari rasio harga sahamlah
yang berdistribusi normal. (Ross, 1997)
Misalkan X ( t ) adalah gerak Brown dengan parameter drift μ ≥ 0 dan
parameter variansi σ 2 . Proses stokastik
Y ( t ) = e X (t ) ,
t≥0
disebut gerak Brown Geometrik dengan rata-rata dan variansi untuk Y ( t )
berturut-turut dinyatakan oleh
⎛
σ 2t ⎞
E (Y ( t ) | Y ( 0 ) = y0 ) = y 0 exp ⎜ μt +
⎟
2 ⎠
⎝
var (Y ( t ) | Y ( 0 ) = y0 ) = y02 exp 2μ t + σ 2t ⎡⎣ exp σ 2t − 1⎤⎦
(
)
( )
Kita katakan bahwa Y ( t ) berdistribusi lognormal dengan rata-rata dan variansi
seperti di atas. Fungsi padat peluang dari Y ( t ) adalah
⎛ ( ln y − μt )2 ⎞
1
⎟,
g ( y) =
exp ⎜ −
⎜
⎟
2σ 2t
yσ 2π t
⎝
⎠
2.7
y>0
Model Harga Asset
Model diskrit merupakan model harga saham yang sederhana namun
mempunyai tingkat kepercayaan yang cukup tinggi. Pada model diskrit, selang
waktu [ 0, t ] dibagi dalam n subselang seragam dengan lebar δ t =
t
. Misal
n
S (t i ) adalah harga asset pada saat t i = iδ t .
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik
Yohanna (10103030)
10
BAB II : LANDASAN TEORI
Model
S ( ti +1 ) = S ( ti ) + μ δ t S ( ti ) + σ δ t Yi S ( ti )
dengan μ > 0, σ ≥ 0, dan Y0 , Y1 , Y2 ,...iid ~ N (0,1) .
Dengan rekursif diperoleh
n −1
(
)
S ( t ) = S0 ∏ 1 + μ δ t + σ δ t Yi ,
i =0
⎛ S ( t ) ⎞ n −1
ln ⎜
⎟ = ∑ ln 1 + μ δ t + σ δ t Yi
⎝ S0 ⎠ i =0
(
)
.
Untuk δ t → 0 dan ln (1 + x ) ≈ x −
x2
kita peroleh
2
⎛ S ( t ) ⎞ n −1 ⎛
1 2
2⎞
ln ⎜
⎟ ≈ ∑ ⎜ μ δ t + σ δ t Yi − σ δ t Yi ⎟ .
S
2
⎠
⎝ 0 ⎠ i =0 ⎝
Selanjutnya,
⎡⎛
1
1
⎞⎤
E ⎢⎜ μ δ t + σ δ t Yi − σ 2 δ t Yi 2 ⎟ ⎥ = μ δ t − σ 2 δ t Yi 2 ,
2
2
⎠⎦
⎣⎝
⎡⎛
1
⎞⎤
Var ⎢⎜ μ δ t + σ δ t Yi − σ 2 δ t Yi 2 ⎟ ⎥ = σ 2 δ t + ο (δ t ) ,
2
⎠⎦
⎣⎝
dan Teorema Limit Pusat membawa kita kepada perolehan
⎛ S (t ) ⎞
⎛
⎞
1
⎟⎟ ~ N ⎜⎜ ⎛⎜ μ − σ 2 ⎞⎟t , σ 2t ⎟⎟ .
ln⎜⎜
2 ⎠
⎝⎝
⎠
⎝ S0 ⎠
Berdasarkan perolehan di atas, formulasi harga asset pada saat t
S ( t ) = S0 e
1 2⎞
⎛
⎜ μ − σ ⎟t +σ t Z
2 ⎠
⎝
dengan Z ~ N (0,1) .
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik
Yohanna (10103030)
11
BAB II : LANDASAN TEORI
Perhatikan bahwa S ( t ) dapat dituliskan dalam bentuk eksponensial dengan
1 2⎞
⎛
⎜ μ − σ ⎟ t + σ t Z adalah peubah acak normal, sehingga S (t ) berdistribusi
2 ⎠
⎝
lognormal dengan
E ⎡⎣ S ( t ) ⎤⎦ = S0 e μ t ,
(
)
Var ⎡⎣ S ( t ) ⎤⎦ = S0 2 e 2 μ t eσ t − 1 .
2.8
2
Derivatives
Derivatives adalah suatu asset yang harganya bergantung pada harga suatu asset
lainnya (biasa disebut underlying asset). Dengan derivatives, para investor
dapat memilih cara mereka dalam menjajaki pasar asset dengan cara
berspekulasi,
berharap
mendapatkan
keuntungan
besar
dengan
hanya
menanamkan investasi kecil ataupun melakukan hedging dengan harapan
mengurangi risiko yang sebelumnya telah mereka miliki.
2.9
Opsi
Opsi adalah salah satu derivatives yang banyak diperdagangkan dan menjadi
favorit para investor. Dua jenis opsi yang paling sering dijumpai adalah call dan
put. Call adalah opsi untuk membeli sedangkan put adalah opsi untuk menjual.
Sebuah call option memberikan hak, bukan kewajiban, kepada pemiliknya
untuk membeli sebuah saham dari writer dengan harga yang telah disepakati
(disebut strike price atau exercise price), dan hak tersebut berakhir pada waktu
yang telah ditentukan (disebut maturity atau expiration date). Sebuah put option
memberikan hak, bukan kewajiban, kepada pemiliknya untuk menjual sebuah
saham kepada writer dengan harga yang telah ditentukan (disebut strike price
atau exercise price), dan hak tersebut berakhir pada waktu yang telah ditentukan
(disebut maturity atau expiration date).
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik
Yohanna (10103030)
12
BAB II : LANDASAN TEORI
Opsi yang dapat di-exercise pada setiap saat sebelum ataupun pada saat
expiration date dikenal sebagai American options sedangkan opsi yang hanya
dapat di-exercise pada saat expiration date-nya dikenal sebagai European
options. Masing-masing European dan American option memiliki dua tipe
yakni call dan put.
Pada saat maturity time T, setiap opsi baik European maupun American akan
memberikan suatu nilai ekstrinsik, yakni payoff. Payoff dapat diartikan sebagai
keuntungan yang diperoleh oleh si pemilik opsi tersebut. Berikut ini adalah
contoh payoff untuk European call option dan European put option.
1. Pada saat T, sebuah European call option dengan strike price K dan
maturity time T mempunyai payoff sebesar
payoff = maks (S (T ) − K ,0 )
2. Pada saat T, sebuah European put option dengan strike price K dan maturity
time T mempunyai payoff sebesar
payoff = maks (K − S (T ),0 )
2.10 Lemma Itô
Misalkan X ( t ) adalah proses stokastik yang didefinisikan oleh
dX ( t ) = a ( X , t ) dt + b ( X , t ) dZ ( t )
dengan dZ adalah proses Wiener. Jika u adalah fungsi dari X ( t ) dan t maka
berlaku
2
⎛ ∂u
∂u 1
∂u
2 ∂ u ⎞
du = ⎜ + a ( X , t )
dt + b ( X , t )
dZ ( t ) .
+ b( X ,t)
2 ⎟
∂X 2
∂X ⎠
∂X
⎝ ∂t
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik
Yohanna (10103030)
13
BAB II : LANDASAN TEORI
2.11 Formula Black-Scholes
Untuk dapat menurunkan formula Black-Scholes maka terdapat beberapa
asumsi yang harus dipatuhi, yakni:
1. Transaksi dapat terjadi setiap saat dan tidak dikenai biaya tambahan;
2. Suku bunga diketahui dan nilainya konstan;
3. Asset tidak memberikan dividen;
4. Harga saham berdistribusi lognormal dengan rata-rata dan variansi yang
konstan;
5. Jumlah asset yang dibeli bisa dalam bentuk pecahan;
6. Short selling diijinkan;
7. Tidak ada peluang terjadinya arbitrage.
Misalkan kita ingin menurunkan bentuk PDP Black-Scholes untuk call Eropa
dengan C adalah harga European call option dan perubahan harga saham
diberikan oleh persamaan
dS = μ S dt + σ S dZ .
Dengan Lemma Itô, kita peroleh bentuk PDP Black-Scholes untuk European
call option adalah
⎛ ∂C
∂C 1 2 2 ∂ 2C ⎞
∂C
dC = ⎜
dt + σ S
dZ .
+ μS
+ σ S
2 ⎟
∂S 2
∂S ⎠
∂S
⎝ ∂t
2.12 Lookback Options
Lookback options adalah salah satu jenis opsi yang nilai payoff-nya bergantung
pada perjalanan harga saham pada suatu periode dan bukan hanya bergantung
pada harga saham akhir periode saja. Opsi dengan sifat seperti ini sering disebut
sebagai path dependent options. Beberapa contoh lain dari path dependent
options adalah Asian options dan Barrier options. Salah satu hal yang
membedakan ketiga jenis opsi ini adalah pada saat penentuan nilai payoff-nya.
Sebagai contoh, Asian options bergantung pada nilai rata-rata harga saham,
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik
Yohanna (10103030)
14
BAB II : LANDASAN TEORI
Barrier options bergantung pada nilai batas (barrier), dan Lookback options
bergantung pada nilai maksimum atau minimum harga saham.
2.13 Metode Binomial
Metode Binomial berangkat dari suatu model diskrit pergerakan harga saham
yang sederhana. Selang waktu [ 0,T ] yakni maturity time dibagi menjadi N sub
selang yang sama panjang dengan titik-titik bagi 0 = t0 < t1 < ... < t N = T dengan
ti = iΔt ( i = 0,1,..., N ) , Δt =
T
dan Si = S ( ti ) adalah harga saham pada saat ti .
N
Asumsi :
1. Dalam selang waktu Δt , harga saham dapat naik atau turun menjadi
S → S u atau S → S d dengan 0 < d < 1 < u
2. Peluang harga saham naik P ( naik ) = p
Su
p
Harga saham naik dengan
faktor kenaikan u dengan
peluang p
(1-p)
Harga saham turun dengan
faktor penurunan d dengan
peluang (1-p)
S
Sd
Δt
Gambar 1 Skema pergerakan harga saham pada metode binomial
3. Ekspektasi return harga saham besarnya sama dengan risk-free rate r
sehingga untuk harga saham S yang bergerak secara acak dari Si pada saat
ti menjadi Si +1 pada saat ti +1 . Ini berarti E ( Si +1 ) = Si e r Δt
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik
Yohanna (10103030)
15
BAB II : LANDASAN TEORI
Dari asumsi (3) kita peroleh
E ( return ) = r Δt ,
⎛S −S ⎞
E ⎜ i +1 i ⎟ = r Δt.
⎝ Si ⎠
Dari asumsi (1) dan (2) diperoleh
E ( Si +1 ) = p Si u + (1 − p ) Si d
sehingga
e r Δt = p u + (1 − p ) d ,
p=
e r Δt − d
.
u−d
(2.1)
Perhatikan persamaan (2.1), karena 0 ≤ p ≤ 1 maka d ≤ e r Δt ≤ u .
Dari model kontinu kita miliki
(
)
E Si +12 = Si 2 e
(
)
( 2 r +σ )Δt
2
,
(
Var ( Si +1 ) = E Si +12 − ( E ( Si +1 ) ) = Si 2 e 2 r Δt eσ
2
2
Δt
)
−1 ,
dan dari model diskrit kita punyai
Var ( Si +1 ) = p ( Si u ) + (1 − p )( Si d ) − Si 2 ( p u + (1 − p ) d ) .
2
2
2
Dengan menyamakan kedua variansi (diskrit dan kontinu) maka kita dapatkan
e2 r Δt +σ
2
Δt
= p u 2 + (1 − p ) d 2
(2.2)
Persamaan (2.1) dan (2.2) memberikan 2 hubungan untuk u, d, dan p.
Persamaan ketiga dapat kita pilih. Persamaan ketiga yang sering digunakan
adalah
ud = 1 atau p = 1/ 2 .
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik
Yohanna (10103030)
16
BAB II : LANDASAN TEORI
Untuk p = 1/ 2 solusinya adalah
u = eσ
2
Δt
(1 +
eσ
2
Δt
)
d = eσ
−1 ,
2
Δt
(1 −
eσ
2
Δt
)
−1 ,
dan untuk ud = 1 solusinya adalah
β=
(
)
1 − r Δt ( r +σ 2 )Δt
e +e
,
2
u = β + β 2 − 1,
d = β − β 2 − 1,
p=
e r Δt − d
.
u−d
Pada solusi ud = 1 , nilai u dan d tersebut dapat dihampiri dengan nilai u dan d
(
pada metode Cox, Ross, dan Rubenstein yakni u = exp σ Δt
(
)
dan
)
d = exp −σ Δt . Hampiran ini dapat ditunjukkan dengan mudah.
Pertama-tama, kita hampiri nilai exp ( x ) dengan exp ( x ) ≈ 1 + x , sehingga
exp ( − r Δt ) ≈ 1 − r Δt ,
(
)
exp r + σ 2 Δt ≈ 1 + r Δt + σ 2 Δt.
Selanjutnya dapat pula kita hampiri,
β≈
(
)
1
1
2 + σ 2 Δt = 1 + σ 2 Δt
2
2
2
β ≈ 1 + σ Δt
( β − 1) ≈ σ 2 Δt
yang membawa kita kepada perolehan
(
)
1
u = β + β 2 − 1 ≈ 1 + σ 2 Δt + σ Δt = 1 + σ Δt = exp σ Δt .
2
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik
Yohanna (10103030)
17
BAB II : LANDASAN TEORI
Setelah itu, harga saham dihitung untuk setiap titik bagi ( ti ) yakni
S ji = S 0 u j d i − j
dengan S ji menyatakan harga saham pada saat ti dengan telah terjadi kenaikan
harga saham sebesar j kali serta penurunan harga saham sebesar (i-j) kali (untuk
i = 0,1,..., N dan j = 0,1,..., i ).
Proses mundur
S0u3
S3,3
S0u2
S2,2
S0u
S0
S 2,3
S0u
S1,1
(N+1) titik
S0
S1,2
S0d
S0d
S1,3
S0,1
S0d2
S0,2
S0d3
S0,3
t=0
t=1
t=2
t=3
t=N
Gambar 2 Skema perjalanan harga saham untuk setiap titik bagi t = i
Proses dilanjutkan dengan mencari nilai payoff
untuk semua nilai j yang
mungkin pada saat expiration date (t = N). Adapun pada saat ti selalu terdapat
i+1 kemungkinan sehingga pada saat expiration date terdapat (N+1)
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik
Yohanna (10103030)
18
BAB II : LANDASAN TEORI
kemungkinan.
Sehingga
V jM = maks {S jM − K , 0}
untuk
opsi
call
dan
V jM = maks { K − S jM , 0} untuk opsi put (untuk j = 0,1,..., N ).
Metode Binomial selanjutnya bekerja secara mundur (dalam waktu) untuk
memperoleh nilai opsi pada saat t = 0. Untuk tiap titik ti berlaku
V ji = e −rÄt ( pV j +1i +1 + (1 − p)V j i +1 )
Perhatikan bahwa persamaan tersebut hanya berlaku untuk European call
ataupun put. Untuk American options, masih perlu adanya pengujian
dikarenakan American options mengijinkan terjadinya early exercise. Sehingga
untuk American options berlaku
{
(
V ji = maks payoff *, e − rÄt pV j +1i +1 + (1 − p)V j i +1
)}
payoff * = maks {S ji − K , 0} untuk call
payoff * = maks { K − S ji , 0} untuk put
Perlu diingat pula bahwa kita akan menghitung V ji secara mundur sehingga nilai
i dan j yang digunakan adalah i = N − 1, N − 2,..., 0 dan j = 0,1,..., i
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik
Yohanna (10103030)
19