SISTEM KOORDINAT Terdapat dua cara untuk menentukan letak
advertisement
SISTEM KOORDINAT Terdapat dua cara untuk menentukan letak suatu titik pada bidang datar, yaitu dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius dan sistem koordinat kutub (Polar) A. Sistem koordinat Kartesius Sistem Koordinat Kartesius dibentuk dengan menggunakan dua garis bilangan yang berpotongan pada titik pangkal O. Kedua garis bilangan itu dinamakan sumbu-sumbu koordinat. Bilangan dua garis bilangan itu saling berpotongan tegak lurus, maka dinamakan Sistem Koordinat Kartesius Siku-siku. Sedangkan bila kedua garis bilangan itu tidak tegak lurus, maka sistem koordinar itu dinamakan Sistem Koordinat Kartesius Miring. Sumbu-sumbu koordinat biasanya diberi nama sumbu X (sumbu mendatar/horizontal) dan sumbu Y (sumbu tegak/vertikal). Letak suatu titik pada bidang datar akan tertentu, apabila diketahui jarak-jarak titik itu dari sumbusumbu koordinat. Jarak-jarak ini diambil sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat. Misal T suatu titik pada bidang datar tersebut. Dari T ditarik garis-garis sejajar sumbu X dan sumbu Y. Titik-titik potong garis itu dengan sumbu-sumbu berturutturut adalah T1 dan T2 . Letak titik T tertentu oleh jarak OT1 dan OT2. Bilangan yang menunjukkan jarak OT1 disebut koordinat X titik T atau absis titik T. Bilangan yang menunjukkan jarak OT2 disebut koordinat Y titik T atau ordinat titik T. Gambarkan Pasangan absis dan ordinat titik suatu titik disebut koordinat titik itu. Letak titik T pada Sistem Koordinat Kartesius ditulis T(x,y) dengan absis x dan ordinat y. Contoh Sistem Koordinat Kartesius siku-siku dan Sistem koordinat kartesius miring dapat dilihat pada gambar 1.1 pada umumnya, dalam ilmu ukur analitik datar dapat digunakan Sistem Koordinat Kartesius siku-siku. Sedangkan sistem Koordinat Kartesius miring hanya digunakan dalam keadaan tertentu yang memungkinkan perhitungan lebih mudah. Sumbu-sumbu koordinat membagi bidang datar menjadi 4 daerah atau 4 kwadran yaitu kwadran pertama, kedua, ketiga, dan keempat. Jarak-jarak yang diukur pada sumbu X di sebelah kanan O diberi tanda positif dan di sebelah kiri O diberi tanda negatif. Jarak-jarak yang diukur pada sumbu Y di atas O diberi tanda positif dan yang dibawah O diberi tanda negatif. Ketentuan itu disajikan pada tabel berikut. Kwadran I Kwadran II Kwadran III Kwadran IV X + - - + Y + + - - Pada tabel di atas, (x,y) merupakan pasangan berurutan dengan x sebagai absis suatu titik dan y sebagai ordinatnya. Tampak bahwa setiap titik dalam bidang menentukan sepasang bilangan nyata berurutan dan sebaliknya setiap bilangan berurutan mennentukan suatu titik pada bidang. Jadi terdapat korespondensi satu-satu antara titik-titik dalam bidang dan himpunan pasangan bilangan nyata beurutan. B. Jarak Dua Titik Gambarlah dua buah titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) pada sistem koordinat kartesius miring dan siku-siku. Untuk menentukan jarak titik A(x1,y1) dan B(x2,y2), terlebih dahulu ditarik ruas garis pertolongan AA1 dan BB1 yang masing-masing sejajar sumbu Y dan berturut-turut memotong sumbu X di A1 dan B1. Dilukis ruas garis AC sejajajr sumbu X dan memotong sumbu BB1 di C, sehingga terbentuk ABC dengan A(x1,y1), B(x2,y2), dan C(x3,y3). Pada sistem koordinat kartesius miring, mACB=180o – α. Dengan demikian berlaku AC | x1 x2 | dan BC | y1 y2 | Dalam ABC berlaku aturan cosinus sebagai berikut. AB2 = AC2 + CB2 -2AC.CB.cos(180o-α) atau AB ( x1 x2 )2 (y1 y2 )2 2( x1 x2 )(y1 y2 )cos( ) Ini adalah rumus jarak titik A(x1,y1) dan B (x2,y2) pada sistem koordinat kartesius miring. Lalu bagaimana pada sistem koordinat kartesius sikusiku ? AB ( x1 x2 )2 (y1 y2 )2 C. Sistem koordinat kutub (polar) Untuk menentukan koordinat suatu titik pada sistem koordinat kutub, terlebih dahulu ditentukan sebuah titik tetap O yang disebut kutub dan sebuah garis g OX yang disebut sumbu kutub. Pada umumnya diambil arah kanan dari titik kutub O sebagai arah positif. Jika sebuah titik T berjarak r dari O membentuk sudut α dengan sumbu kutub, maka letak titik T dinyatakan dengan T(r,α). Gambarkan Dalam hal ini, α disebut argumen titik T atau sudut penghantar titik T atau disebut pula sudut kutub (polar) titik T. Sedangkan r atau OT disebut vektor radius titik T. Pada sistem koordinat kutub, α dan r disebut koordinat-koordinat kutub T. Pada umumnya, diambil r positif dan α dihitung dari g arah positif kearah yang berlawanan dengan arah jarum jam sampai radius r dari titik yang bersangkutan. Setiap titik letaknya dapat ditunjukkan oleh r dan α. Sebaliknya setiap pasang r dan α menunjukkan letak suatu titik dalam bidang itu. Sebagai catatan, untuk titik O, berlaku r=0 dan α tak tentu. D. Hubungan Sistem Koordinat Kartesius Dan Sistem Koordinat Kutub Jika sumbu-sumbu sistem koordinat kartesius diletakkan sedemikian sehingga titik asal berimpit dengan sumbu kutub, dapat dilihat hubunga antara sistem koordinat kartesius dan sistem koornidat kutub. Gambarkan Pada gambar di atas, dibentuk OTT1 dengan T1 adalah proyeksi titik T pada sumbu X. Pada OTT1 berlaku x r cos , dan y r sin Sebaliknya akan berlaku juga r x 2 y 2 , dan arctg y x Dari uraian di atas, diperoleh 2 nilai α. Untuk menentukan nilai α yang sesuai, perlu ditinjau tanda cos berikut ini. r x2 y 2 arccos arcsin x x y2 2 y x2 y 2 , dan x x y2 2 . dengan demikian berlaku hubungan E. Koordinat titik pada suatu garis yang melalui dua titik Diketahui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2). Titik C(xc,yc) terletak pada garis AB sedemikian sehingga AC:CB = a:b Gambarkan Koordinat titik C dapat ditentukan sebagai berikut. Jarak titik C(xc,yc) ke A dan B adalah : A1C1=|xc – x1| dan C1B1 = |x2 – xc| Dengan pengingat arah-arah ruas garis-ruas garis itu, maka dipenuhi : A1C1:C1B1 = AC : CB = a :b (xc – x1):(x2 – xc) = a : b xc bx1 ax2 ab Dengan cara serupa adalah ( akan diperoleh yc by1 ay2 , jadi koordinat titik C ab bx1 ax2 by1 ay2 , ) ab ab Jika dimisalkan a , maka b x x2 y y2 xc 1 , yc 1 1 1 Terdapat beberapa kemungkinan letak titik C pada garis AB yang mempengaruhi nilai a. Jika titik C berimpit dengan titik A, maka =0 b. Jika titik C berimpit dengan titik tengah AB, maka =1. Dengan demikian koordinat titik tengah AB adalah ( x1 x2 y1 y2 , ) 2 2 Kemudian tentukan koordinat titik C, c. Jika titik C berimpit dengan titik B d. Jika titik C terletak pada perpanjangan AB e. Jika C terletak pada perpanjangan BA Contoh 1.1 Diketahui titik R terletak pada garis PQ dengan P(1, -4) dan Q(6,1). Jika RP:RQ = 2:3. Tentukan koordinat titik R. Latihan Soal : 1. Tuliskan dalam koordinat kartesius titik berikut ini a. A(6,50o) 5 b. B(6, 3 2. Nyatakan dalam koordinat kutub titik-titik berikut: a. P(3 3 , 3) b. Q(-3 3 , -3) 3. Tentukan koordinat titik P pada ruas garis AB, sehingga PA:PB = 2:3, jika A(5,9) dan B (4,3) 4. Diketahui A(3,60O) dan B (5,150O). Tetukan jarak titik A dan titik B. 5. Diketahui jajargenjang ABCD dengan A(1,-1), B(5,4), dan D(-3,1). Tentukan koordinat titik C dan luas jajargenjang itu.